初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题17等腰三角形的判定

1、专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳 总结.1 .等腰三角形的判定：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等.2 .证明线段相等的方法：当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等.善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧.常见的构造方法有：平分线 +平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示：例题与求解【例1】如图，在 ABC

2、中，AB=7, AC=11,点 M是BC的中点，AD是/ BAC的平分线，MF / AD,则CF的长为.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点 M”.【例2】如图，在 ABC中，/ B=2/C,则AC与2AB之间的关系是（）A. AO2ABB. AC = 2ABC. AC w 2ABD. AC v 2AB（山东省竞赛试题）解题思路：如何条件/ B=2/C,如何得到2AB,这是解本题的关键.【例3】两个全等的含300, 600角的三角板 ADE和三角板ABC,如图所示放置，E、A、C三点在 一条直线上，连结 BD,取BD中点M,连结ME,

3、MC,试判断 EMC的形状，并说明理由.（山东省中考试题）解题思路：从 ADEA BAC出发，先确定 ADB的形状，为判断 EMC的形状奠定基础.【例4】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC,延长BE交 AC 于 F,求证：AF=EF.（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明/ FAE=/AEF,利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.例5如图，在等腰 ABC中，AB=AC, / A=200,在边 AB上取点D,使AD=BC,求/ BDC度（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300,这些角并不是特殊角，但它们的差却为600 , 600使我们联想

4、到等边三角形，由此找到切入口.如图，以 AC为边作等边 ACE.如图1 ,以BC为边在 ABC内作等边 BCO;A能力训练A级1 .已知 ABC为等腰三角形，由顶点 A所引BC边的高线恰等于 BC边长的一半，则/ BAC =.2 .如图，在RtAABC中，/ C=900, Z ABC=660, ABC以点C为中点旋转到 ABC的位置，顶 点B在斜边 A'B'上,AC与AB相交于D,则/ BDC=.（第2题）（第3题）（第4题）3 .如图，4ABC是边长为6的等边三角形，DELBC于E,EF，AC于F,FD，AB于D,则AD=.（天津市竞赛试题）4 .如图，一个六边形的六个内角都

5、是1200,其连续四边的长依次是 1cm, 9cm, 9cm, 5cm,那么这个六边形的周长是 cm .（“祖冲之杯”邀请赛试题）5 .如图， ABC 中，AB=AC, / B=36°, D、E 是 BC 上两点，使/ ADE= / AED =2/BAD ,则图中 等腰三角形共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6 .若 ABC 的三边长是 a, b , c ,且满足 a4 = b4 + c4 b2c 2 b4=a4+c4a2c2,c4 =a4 +b4 -a2b2,则4 ABC （）A.钝角三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7 .

6、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A. 300B. 300或 1500 C. 1200或 1500D. 300或 1200或 1500（“希望杯”邀请赛试题）8 .如图，已知 RtAABC中，Z 0=900, / A=300,在直线BC或AC上取一点P,使得 PAB是等腰 三角形，则符合条件的P点有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图第9题图9 .如图在等腰 RtAABC中，/ ACB=900, D为BC中点，DEXAB,垂足为 巳 过点B作BF /AC 交DE的延长线于点 F,连接CF交AD于G.求证：ADXCF;

7、连结AF,度判断 ACF的形状，并说明理由.10 .如图， ABC 中，ADLBC 于 D, /B=2/C,求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）11 .如图，已知 ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点 D,使得 CDE是等边三 角形，如果 M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证： CMN是等边三角形.（江苏省竞赛试题）12 .如图1, RtAABC中，/ ACB=900, CD LAB,垂足为 D, AF平分/ CAB,交CD于点 巳 交 CB于点F.求证：CE=CF; 将图1中的4ADE沿AB向右平移到 A'D'E的位置，使点E落在BC边上，其他条件

8、不变，如图2所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.（山西省中考试题）B级1.如图， ABC 中，AD 平分/ BAC, AB+BD=AC,则/ B: / C 的值=2.如图, BAC的度数是 ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC 于 D、E,若/ BAC+Z DAE=1500,则/3 .在等边 ABC所在平面内求一点 P,使 PAB、APBC> APAC都是等腰三角形，具有这样性质个.的点P有4.如图，在 ABC 中，/ ABC=600, / ACB=450,交 AD、CF 于 Q、A . 2S,则图中的等腰三角形的个数是（AD、CF都是高，相交于 P,角平分

9、线BE分别）D. 5B. 3A2C. 45.如图，在五边形ABCDE 中,/ A=Z B=1200,B. 450C. 60011，EA=AB=BC=- DC=- DE,则/ D=()22D. 67.50（“希望杯”竞赛试题）6 .如图，/ MAN =160, Ai点在AM上，在AN上取一点 A2,使A2A产AAi,再在AM上取一点 A3, 使A3A2=A2A1,如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A. A5B. A6C. A7D. A87,若P为 ABC所在平面内一点，且/ APB = /BPC=/CPA=1200,则点P叫作 ABC的费尔马点, 如图1.若点如图P为锐角

10、ABC的费尔马点，且/2,在锐角 ABC外侧作等边ABC=600, PA=3, PC=4,则 PB 的值为.ACB ；连结 BB'.求证：BB过4ABC的费尔马点 P,且BB =PA+PB+PC.（湖州市中考试题）8 .如图， ABC 中，/ BAC=600, /ACB=40°, P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分别是/ BAC、/ ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP.（全国初中数学联赛试题）9 .如图，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，M是BC的中点，过 M作ME / AD交BA延长线 于 E,交 AC 于 F,求证：BE = CF=1

11、（AB+AC）.2（重庆市竞赛试题）10 .在等边4 ABC的边BC上任取一点D ,作/ DAE=600, DE交/ C的外角平分线于 E,那么 ADE 是什么三角形？证明你的结论.（学习报公开赛试题）I _ JII .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l : y = -x + m与x轴、y轴的正半轴分2别相交于点 A、B,过点C( 4, 4)作平行于y轴的直线交AB于点D, CD=10.求直线l的解析式；求证： ABC是等腰直角三角形；将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 x, y轴分别相交于点 A'、B',在直线CD上存在点P,使得 ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(宁波市江东区模拟题)12.如图1,在平面直角坐标系中， AOB为等腰直角三角形， A(4