人教版高数必修一第9讲：指数运算与指数函数(学生版)

1、指数运算与指数函数8好作业完成情况)贵医教学目标)1、理解根式、分数指数哥的概念，掌握有理指数哥的运算性质.2、掌握指数函数的概念、图像和性质。出区知识梳理)一、有理数指数哥及运算性质1、有理数指数哥的分类(1)正整数指数哥an =a a a a (n w N”)；(2)零指数哥a0 = 1(a00)；1(3)负整数指数哥a=a - 0,n Na(4) 0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥没有意义。2、有理数指数哥的性质_m_n _m+_ n - m ,nmn 金 八.(1) a a =a (aA0,m,n=Q)(2)(a )=a (a>0,m,n=Q)(3) (ab ) =am

2、bm(a>0,b>0, meQ )二、根式1、根式的定义：一般地，如果xn = a，那么x叫做a的n次方根，其中(n > 1,n w N" ), UW叫 做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。2、对于根式记号 Ya,要注意以下几点:(1)nWN,且n>1； (2)当n是奇数，则1an =a ；当n是偶数，则nan(3)负数没有偶次方根；(4)零的任何次方根都是零。3、规定：m(1) ann mva (a >0, m,n = N ,n>1)；(2)a a>0a a<011-a 0,m, n Nm n m n - a a三、对指数函数定义的理

3、解一般地，函数y = ax(a a 0且a丰1)叫做指数函数。1、定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在 是任意实数。a >0的前提下，x可以（1）若 a =0 ,（2）若 a <0,（3）若 a =1,i ,其中1 >0 ,且第1。2、规定a > 0 ,且a。1的理由:当x>0时，ax恒等于0;j当x <cPt, ax无意义。11如y=(-2)，当x =、一等时，在实数范围内函数值不存在。42y =1x =1 ,是一个常量，没有研究的必要性。为了避免上述各种情况，所以规定a A 0 ,且a #1。3、式上的严格性：指数函数的定义表达式y

4、=ax中，ax前的系数必须是 1。自变量x在指数的位置上。比如y=2ax,y=ax+1,y = ax'等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如丫=2"(a>0且a#1),因为它可以化为四、指数函数的图象和性质：值域：0, ,二图像都过点 0,1在R上是增函数在R上是减函数特别提醒:角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在 y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小大。即不论在y轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。五、比较嘉值得大小底数相同：利用函数的单调性进行比较；指数相同：方法一：可转化为底

5、数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。六、指数方程的可解类型，可分为：形如 af2=ag(x)(a>0,a=1)的方程，化为 f (x)=g(x)求解。形如a2x+b,ax+c=0的方程，可令t=ax进行换元，转化成t2 + bt + c = 0(t a 0 )一元二次方程 进行求解。七、指数不等式的解法：当 a >1 时，af(x)> a¥与 f(x)g(x)同解，当 0<a<1 时，af

6、(x)<a¥y与f (x )< g(x 洞解。拿典例讲直类型一根式与分数指数哥的互化132例1 ： (1)用根式表示下列各式：a5 ； a4 ； a飞；(2)用分数指数哥表示下列各式：需； 相；.练习1：把根式化为分数指数哥的形式：40b3=31练习2：用根式表示下列各式：x5 ; x 3 .类型二根式与分数指数哥的混合运算2a例2:计算：计算: (a - 0)32a % a练习1：化简:练习2 ：化简J(3 _n)+，(3兀)=()D. -6A. 2 兀B. 6C. 2兀类型三指数函数的定义例3:下列函数中，哪些是指数函数？ y=10，； y = 10x 1; 丫=10

7、，+1; y = 2T0，; y=( 10)x； y=(10 +a)x(a>-10,且 aw9)； y = x10.练习1 ：若函数y= ( a3) (2 a1)x是指数函数，求 a的值.练习2：函数y= (a23a+ 3) ax是指数函数，则有()A. a=1 或 a=2B. a= 1C. a= 2D. a>0且 awl类型四指数函数的图象和性质例4：函数f (x) = ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1, b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0练习1

8、：若函数y=ax+mv 1( a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则 ()A.a>1B.a>1,且m<0C.0<a<1,且m>0D.0<a<1练习2：在同一坐标系中，函数 y=2x与y=匚)的图象之间的关系是()2A.关于原点又称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y = x对称类型五指数函数性质的应用 例5:比较下列各组数的大小: (1)1.72.5,1.73;(2)0.80.1,0.80.2;(3)1.70.3,0.93.1 ;练习1:比较下列各题中两个值的大小.(1)0.3 x与 0.3x+1;练习2:函数f(x) = ax

9、 1+2(a>0, aw 1)恒过定点 类型六指数函数性质的综合应用例 6:函数 f (x) =x2-bx+ c,满足 f(1 +x) =f (1 x),且 f (0) =3,比较 f(bx)与 f(cx)的大小.1-汉 x - 0练习 1:设 f (x)=，则 f f( -2)=2x x :二 0练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x= 1对称，且当x>l时，f(x)=3x 1,3, 2 ,1,则f(3)、f(2)、f(3)的大小关系为.金修当堂检测1、把下列各式中的 a写成分数指数哥的形式 5(1) a5 =256； (2) a =28；332、计算（1） 9

10、2 ； （2） 163、求下列各式的值（1）327； 41（-2）；4、用分数指数哥的形式表示下列各式：（1） a2 荷（2） a3 *3/a2x5、若函数y =（a2 -2a -3）是一个指数函数，求实数 a的取值范围。6、函数y=2x，+3恒过定点。，鼻当堂总结）1,卜列命题中正确命题的个数为 n/an=a；若 ae R,则(a2-A. 0C. 222.设a>0,将 / a写成一A/a - 3/a23A. a25C.之1收13.计算：2 2 +上+厂 -242 1基础巩固()-a + 1)0= 1 ； %4+ y3 = x3 + y ；5 =，(-5)2B. 1D. 3、数指数哥，其结果是 ()1B. a27D. £1-V5 0=.4.若a，则彳t简4/(4a -1 2的结果是()A. 1 4aB. *a1C._yjl 一 4aD._q4a - 15.函数y= ax在0,1上的最大值与最小值的和为3,则a=()1 _A.2B.2一-1C.4D4能力提升6 .函数y= ax*1( a>0且aw 1)的图象必经过定点 .7 .设f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x>0时，f (x) =2x-3,则当x<0时，f(x) =8 .设函数f(x) = kaxa-x(a>0且a