平衡微分方程

1、复习：弹性力学的内容和方法复习：弹性力学的内容和方法 理想弹性体：完全弹性、连续、均匀和理想弹性体：完全弹性、连续、均匀和各向同性这各向同性这4 4个基本假定的物体。个基本假定的物体。 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和弹性力学通常假设物体受力之后的位移和变形都远小于物体自身尺度，变形之后的变形都远小于物体自身尺度，变形之后的位置和尺度可义用变形之前的数值表示。位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 有关方程做线性简化，并满足叠加原理。弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系 弹性力学问题，通常是已知物体的形状、大小和弹性常数，物体边界受力或约束情况，而物体内部的受力、物体的变形或位移则是需

2、要求解的未知量。 考虑静力学建立平衡微分方程； 根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。 在物体的边界上，还要建立边界条件。复习：弹性力学的内容和方法复习：弹性力学的内容和方法 如何描述弹性体的受力如何描述弹性体的受力 与杆件不同，一般弹性体结构复杂，与杆件不同，一般弹性体结构复杂，各处受力不同，各个方向受力不同各处受力不同，各个方向受力不同 如何描述弹性体的变形，同样随位置、如何描述弹性体的变形，同样随位置、方向变而变化方向变而变化 位移可直接观测，但位移与变形不位移可直接观测，但位移与变形不同同复习：弹性力学的内容和方法复习：弹性力

3、学的内容和方法弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系 如何描述弹性体的受力如何描述弹性体的受力 与杆件不同，一般弹性体结构复杂，与杆件不同，一般弹性体结构复杂，各处受力不同，各个方向受力不同各处受力不同，各个方向受力不同 如何描述弹性体的变形，同样随位置、如何描述弹性体的变形，同样随位置、方向变而变化方向变而变化 位移可直接观测，但位移与变形不位移可直接观测，但位移与变形不同同悬 臂 梁悬 臂 梁弹性体的受力：外力和内力弹性体的受力：外力和内力外界作用于物体力称为外力。力的单位 N外力可以分为体积力和表面

4、力。体积力有时也称为质量力，重力和惯性力；体积力的单位 N/m3 高速旋转的物体可能因离心力作用而发生 破坏。不过，体积力一般可不考虑 表面力是作用在物体表面的力，如流体压表面力是作用在物体表面的力，如流体压力和接触力。力和接触力。表面力的单位：表面力的单位：N/m 2 = Pa弹性体的受力：外力和内力弹性体的受力：外力和内力 物体内部材料的相互作用力称为内力，物体内部材料的相互作用力称为内力，单位面积的内力称为应力。单位面积的内力称为应力。 设想将物体切开，分开两部分设想将物体切开，分开两部分的相互作用可以用力来表示。的相互作用可以用力来表示。力随位置而变化。力随位置而变化。 取微小面积，将

5、作用力除以面取微小面积，将作用力除以面积，在面积趋于零即趋于一点积，在面积趋于零即趋于一点时的极限，就是该点处应力。时的极限，就是该点处应力。弹性体的受力：外力和内力弹性体的受力：外力和内力 物体内部材料的相互作用力称为内力，物体内部材料的相互作用力称为内力，单位面积的内力称为应力。单位面积的内力称为应力。 应力在作用截面的法线方向和应力在作用截面的法线方向和切线方向上的两个分量，分别切线方向上的两个分量，分别称为正应力称为正应力和剪应力和剪应力。 一点处的正应力和剪应力，其一点处的正应力和剪应力，其大小和方向随选用的截面而变大小和方向随选用的截面而变化。以单向拉伸为例说明。化。以单向拉伸为例

6、说明。弹性体的受力：外力和内力弹性体的受力：外力和内力 物体内部材料的相互作用力称为内力，物体内部材料的相互作用力称为内力，单位面积的内力称为应力。单位面积的内力称为应力。 应力的方向和正应力的方向和正负 正应力与面外法向一致正应力与面外法向一致为正，即以拉应力为正为正，即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴在面外法向与坐标轴一致时，剪应力与坐标一致时，剪应力与坐标轴一致为正；反之亦然轴一致为正；反之亦然应力张量的概念 两个坐标面上应力知两个坐标面上应力知道后，其它任一方向道后，其它任一方向上应力可以求出来。上应力可以求出来。以平面问题说明以平面问题说明xxyyx,剪应力是对称的。剪应力是对称的。

7、中心点 C 力矩平衡应力张量的概念：正应力、剪应力的极值正应力、剪应力的极值选取坐标轴为应力主向正应力极值：正应力极值：剪应力的极值：剪应力的极值：平面应力的Mohr 圆圆),cos(xnl ),cos(ynm 选取坐标轴为应力主向21(1+2)/22cossin)(212221cos)(弹性体的变形弹性体的变形 弹性体受力之后的变形和位移都很小， 可以用变形之前的位置和尺度表示变形之 后的位置和尺度。 对于物体中的每一点，都有确定的空间位置，用坐标表示。 物体受力之后，各点都会产生微小的位置变化，也就是位移。 不同的点位移不同，就会引起变形。 悬 臂 梁悬 臂 梁弹性体的变形弹性体的变形UA

8、VAVBUBPA 的伸长量的伸长量UAPB 的伸长量的伸长量VB弹性体的变形弹性体的变形: : 正应变正应变UAVAVBUBPA 的伸长量的伸长量UAPB 的伸长量的伸长量VByvxuyx,弹性体的变形弹性体的变形: : 剪应变剪应变UAVAVBUBPA 的转动量的转动量VAPB 的转动量的转动量UByuxvyuxv弹性体的变形弹性体的变形UAVAVBUByvxuyx,刚体移动：刚体移动：平移和转动平移和转动yuxvxy弹性体的变形弹性体的变形: : 正应变正应变 和和 剪应变剪应变yvxuyx, 3 个应变是有两个位移确定的，个应变是有两个位移确定的，因而应变分量不是独立的，满足关系因而应变

9、分量不是独立的，满足关系 ：yuxvxy22222xyyxyxxy 变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题 一切弹性体的空间的，三维的。那为什么要考虑平面问题？ 空间问题比较困难，平面问题比较简单 先做简单的事情，积累经验 对有些特定的物体，将其间化为平面问题， 可能更能体现物体的受力和变形特征。模型应尽可能简单，简单到不失真为止；模型应尽可能简单，简单到不失真为止；模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止；模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止；弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题 平面应力问题： 很薄的等厚薄板受力情况：只在板边上受平行于板面且不沿厚度变化的

10、面力和约束弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题平面应变问题： 很长的柱形体，截面形状受力等都不沿长度变化，位移仅在横截面内，按说应称为平面位移问题。现在说平面应变问题，是将错就错注意，每一个截面都是对称平面注意，每一个截面都是对称平面00zz物理方程：广义虎克（胡克）定律物理方程：广义虎克（胡克）定律 力与变形成正比：刚度力与变形成正比：刚度 正应力与正应变成正比：杨氏模量正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形，泊松效应侧向变形，泊松效应 虎 克 定 律虎 克 定 律平面应变平面应变平面应力平面应力弹性力学的平衡微分方程弹性力学的平衡微分方程 新课新课弹性体受到外力作用之后，内部产生应力

11、。如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力的共同作用下，应该处于平衡状态。这就是说，物体内部的应力之间必须满足一定的关系：力平衡关系。 为了便于理解平衡微分方程的建立过程，先复习圆轮摩擦力的欧拉公式圆轮摩擦力的欧拉公式摩擦力的概念：WFABR取一个微小的弧段进行力平衡分析RT2T1NNFeT TTdd弹性力学的平衡微分方程弹性力学的平衡微分方程弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力的共同作用下，应该处于平衡状态。弹性力学的平衡微分方程弹性力学的平衡微分方程弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力的共同作用下，应该处于平衡状态。弹性力学的平衡微分方程弹性力学的平衡微分方程弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力的共同作用下，应该处于平衡状态。TTdd弹性力学的基本方程：平面应力问题弹性力学的基本方程：平面应力问题1) 力平衡方程2