空间几何体的结构及其三视图和直观图

1、第七章立体几何第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征. .多面体的结构特征多面体的结构特征: :平行且相等平行且相等全等全等公共点公共点平行于底面平行于底面相似相似多边多边旋转体的结构特征旋转体的结构特征: :几何体几何体旋转图形旋转图形旋转轴旋转轴圆柱圆柱矩形矩形_所在的直线所在的直线圆锥圆锥直角三角形直角三角形_所在的直线所在的直线圆台圆台直角梯形直角梯形_所在的直线所在的直线球球半圆半圆_所在的直线所在的直线任一边任一边任一直角边任一直角边垂直于底边的腰垂直

2、于底边的腰直径直径(2)(2)空间几何体的三视图空间几何体的三视图. .三视图的形成与名称三视图的形成与名称: :()()形成形成: :空间几何体的三视图是用平行投影得到的空间几何体的三视图是用平行投影得到的, ,在这种投影之下在这种投影之下, ,与投影面平行的平面图形留下的影子与投影面平行的平面图形留下的影子, ,与平面图形的与平面图形的_和和_是完是完全相同的全相同的; ;()()名称名称: :三视图包括三视图包括_、_、_._.形状形状大小大小正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图三视图的画法三视图的画法: :()()在画三视图时在画三视图时, ,重叠的线只画一条重叠的线只画一条, ,挡住

3、的线要画成挡住的线要画成_._.()()三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、方、_方、方、_方观察几何体画出的轮廓线方观察几何体画出的轮廓线. .虚线虚线正前正前正左正左正上正上(3)(3)空间几何体的直观图空间几何体的直观图. .空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用_画法来画画法来画, ,基本步骤是基本步骤是: :画几何体的底面画几何体的底面: :在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴、轴、y y轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,画直观图时画直观图时, ,把把它们画成对应的它们画成对应的xx轴、轴

4、、yy轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,且使且使xOyxOy=_,=_,已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段轴的线段, ,在直观图中长度在直观图中长度_,_,平行于平行于y y轴的线段轴的线段, ,长度长度_._.斜二测斜二测4545( (或或135135) )不变不变减半减半画几何体的高画几何体的高: :在已知图形中过在已知图形中过O O点作点作z z轴垂直于轴垂直于xOyxOy平面平面, ,在直观图中对应的在直观图中对应的zz轴轴, ,也也垂直于垂直于xOyxOy平面平面, ,已知图形中平行于已知图形中平行于z z轴的线段轴的线段, ,在直观图中仍平在直观图中仍平行于行于

5、zz轴且长度轴且长度_._.不变不变2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)正棱柱、正棱锥的结构特征正棱柱、正棱锥的结构特征: :正棱柱正棱柱: :侧棱侧棱_于底面的棱柱叫做直棱柱于底面的棱柱叫做直棱柱, ,底面是底面是_的的直棱柱叫做正棱柱直棱柱叫做正棱柱. .反之反之, ,正棱柱的底面是正棱柱的底面是_,_,侧棱侧棱_于底于底面面, ,侧面是矩形侧面是矩形. .正棱锥正棱锥: :底面是正多边形底面是正多边形, ,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥的棱锥叫做正棱锥. .特别地特别地, ,各棱各棱_的正三棱锥叫正四

6、面体的正三棱锥叫正四面体. .垂直垂直正多边形正多边形正多边形正多边形垂直垂直均相等均相等(2)(2)简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征: :由简单几何体由简单几何体_或或_或或_一部分而成一部分而成. .(3)(3)三视图的长度特征三视图的长度特征: :一个几何体的三视图一个几何体的三视图_平齐、平齐、_对正、对正、_相等相等. .3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)三视图与直观图互相转换的方法三视图与直观图互相转换的方法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化与化归思想转化与化归思想. .拼接拼接截去截去挖去挖去高高长长宽宽【小题快练】【小题快练】1

7、.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱底面是正方形的四棱柱为正四棱柱.(.() )(2)(2)有一个面是多边形有一个面是多边形, ,其余各面都是三角形的几何体是棱锥其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(.() )(3)(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.(.() )(4)(4)用斜二测画法画水平放置的用斜二测画法画水平放置的AA时时, ,若若AA的两边分别平行于的两边分别平行于x x轴和轴和y y轴轴, ,且且A=90A=90, ,则在直观图中则在直观图中,A=45,A=45.(.() )

8、(5)(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中正方体、球、圆锥各自的三视图中, ,三视图均相同三视图均相同.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .因为侧棱不一定与底面垂直因为侧棱不一定与底面垂直. .(2)(2)错误错误. .尽管几何体满足了一个面是多边形尽管几何体满足了一个面是多边形, ,其余各面都是三角形其余各面都是三角形, ,但但不能保证三角形具有公共顶点不能保证三角形具有公共顶点. .(3)(3)错误错误. .因为两个平行截面不能保证与底面平行因为两个平行截面不能保证与底面平行. .(4)(4)错误错误.A.A应为应为4545或或135135. .(5)(5)错误错误. .

9、正方体的三视图由于正视的方向不同正方体的三视图由于正视的方向不同, ,其三视图的形状可能其三视图的形状可能不同不同, ,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同圆锥的侧视图与俯视图显然不相同. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修2P10T12P10T1改编改编) )如图如图, ,长方体长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中被截去一部分中被截去一部分, ,其中其中EHAD.EHAD.剩下的几何体剩下的几何体是是( () )A.A.棱台棱台 B.B.四棱柱四棱柱C.C.五棱柱五棱柱 D

10、.D.简单组合体简单组合体【解析】【解析】选选C.C.由空间几何体的结构特征知由空间几何体的结构特征知, ,该剩下部分为五棱柱该剩下部分为五棱柱ABFEAABFEA-DCGHD-DCGHD. .(2)(2)(必修必修2P21T2(4)2P21T2(4)改编改编) )若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, ,则该几何体则该几何体为为. .【解析】【解析】由三视图知该几何体为上面为一圆柱由三视图知该几何体为上面为一圆柱, ,下面为一四棱柱组合下面为一四棱柱组合而成的简单组合体而成的简单组合体. .答案答案: :四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体3.3.

11、真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014江西高考江西高考) )一几何体的直观图如图所示一几何体的直观图如图所示, ,下列给出的四个俯下列给出的四个俯视图中正确的是视图中正确的是( () )【解析】【解析】选选B.B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影因为俯视图是几何体在下底面上的投影, ,所以选所以选B.B.(2)(2013(2)(2013四川高考四川高考) )一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的直则该几何体的直观图可以是观图可以是( () )【解析】【解析】选选D.D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致根据几何体的三

12、视图中正视图与侧视图一致, ,并且俯视并且俯视图是两个圆图是两个圆, ,可知只有选项可知只有选项D D适合适合, ,故选故选D.D.(3)(2015(3)(2015珠海模拟珠海模拟) )利用斜二测画法得到的利用斜二测画法得到的: :三角形的直观图一定是三角形三角形的直观图一定是三角形; ;正方形的直观图一定是菱形正方形的直观图一定是菱形; ;等腰梯形的直观图可以是平行四边形等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ;菱形的直观图一定是菱形菱形的直观图一定是菱形. .以上结论正确的个数是以上结论正确的个数是. .【解析】【解析】由斜二测画法的规则可知由斜二测画法的规则可知正确正确; ;错误错误, ,是

13、一般的平行四边是一般的平行四边形形; ;错误错误, ,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形等腰梯形的直观图不可能是平行四边形; ;而菱形的直观图而菱形的直观图也不一定是菱形也不一定是菱形, ,也错误也错误. .答案答案: :1 1考点考点1 1 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【典例【典例1 1】(1)(1)下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.有两个平面互相平行有两个平面互相平行, ,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.C.有两个平面互相平行有两个平面互相平

14、行, ,其余各面都是梯形的多面体是棱台其余各面都是梯形的多面体是棱台D.D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)(2)以下命题以下命题: :以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ;以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ;一个平面截圆锥一个平面截圆锥, ,得到一个圆锥和一个圆台得到一个圆锥和一个圆台. .其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.

15、2C.2D.3D.3【解题提示】【解题提示】(1)(1)根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行判断根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行判断. .(2)(2)根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.AB.A错错, ,如图如图1;B1;B正确正确, ,如图如图2,2,其中底面其中底面ABCDABCD是矩形是矩形, ,可证明可证明PAB,PCBPAB,PCB都是直角都是直角, ,这样四个侧面都是直角三角形这样四个侧面都是直角三角形;C;C错错, ,如如图图3;D3;D错错, ,由棱台的定义知由棱台的定义知, ,其侧棱必相

16、交于同一点其侧棱必相交于同一点. .(2)(2)选选B.B.命题命题错错, ,因为这条边若是直角三角形的斜边因为这条边若是直角三角形的斜边, ,则得不到圆锥则得不到圆锥; ;命题命题错错, ,因为这条腰必须是垂直于两底的腰因为这条腰必须是垂直于两底的腰; ;命题命题对对; ;命题命题错错, ,必必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以. .【规律方法】【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)(1)熟悉空间几何体的结构特征熟悉空间几何体的结构特征, ,依据条件构建几何模型依据条件构建几何模型, ,在条件不变在

17、条件不变的情况下的情况下, ,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素, ,然后再依然后再依据题意判定据题意判定. .(2)(2)利用反例对结构特征进行辨析利用反例对结构特征进行辨析, ,即要说明某个命题是错误的即要说明某个命题是错误的, ,只要只要举出一个反例即可举出一个反例即可. .【变式训练】【变式训练】给出下列命题给出下列命题: :棱柱的侧棱都相等棱柱的侧棱都相等, ,侧面都是全等的平行四边形侧面都是全等的平行四边形; ;用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥, ,棱锥底面与截面之间的部分是棱台棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ;若三棱锥的三条

18、侧棱两两垂直若三棱锥的三条侧棱两两垂直, ,则其三个侧面也两两垂直则其三个侧面也两两垂直; ;若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, ,则该四棱柱为直则该四棱柱为直四棱柱四棱柱; ;存在每个面都是直角三角形的四面体存在每个面都是直角三角形的四面体; ;棱台的侧棱延长后交于一点棱台的侧棱延长后交于一点. .其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选C.C.错误错误, ,因为棱柱的侧面不一定是全等的因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形平行四边形; ;错误错误, ,必须用平行于底面的平面去

19、截棱必须用平行于底面的平面去截棱锥锥, ,才能得到棱台才能得到棱台; ;正确正确, ,根据面面垂直的判定定理判根据面面垂直的判定定理判断断; ;正确正确, ,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱, ,又垂直于又垂直于底面底面; ;正确正确, ,如图所示如图所示, ,正方体正方体ACAC1 1中的三棱锥中的三棱锥C C1 1-ABC,-ABC,四个面都是直四个面都是直角三角形角三角形; ;正确正确, ,由棱台的概念可知由棱台的概念可知. .因此因此, ,正确命题的序号是正确命题的序号是. .【加固训练】【加固训练】(2015(2015北京模拟北京模拟)

20、 )下列结论正确的是下列结论正确的是( () )A.A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴以三角形的一条边所在直线为旋转轴, ,其余两边旋转形成的曲面所其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥围成的几何体叫圆锥C.C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, ,则此棱锥可能是六棱锥则此棱锥可能是六棱锥D.D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解析】【解析】选选D.AD.A错误错误, ,如图所示如图所示, ,由两个结构相同的三棱由两个结

21、构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体锥叠放在一起构成的几何体, ,各面都是三角形各面都是三角形, ,但它不但它不是三棱锥是三棱锥; ;B B错误错误, ,如图如图, ,若若ABCABC不是直角三角形或是直角不是直角三角形或是直角三角形三角形, ,但旋转轴不是直角边但旋转轴不是直角边, ,所得的几何体都所得的几何体都不是圆锥不是圆锥; ;C C错误错误, ,若六棱锥的所有棱长都相等若六棱锥的所有棱长都相等, ,则底面多边形是正六边形则底面多边形是正六边形. .由几何由几何图形知图形知, ,若以正六边形为底面若以正六边形为底面, ,侧棱长必然要大于底面边长侧棱长必然要大于底面边长. .考点考点2

22、2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图知知考情考情空间几何体三视图的确认与应用是高考考查空间几何体的一个重空间几何体三视图的确认与应用是高考考查空间几何体的一个重要考向要考向, ,常与空间几何体的结构特征、直观图、表面积与体积等知识常与空间几何体的结构特征、直观图、表面积与体积等知识综合综合, ,以选择题、填空题的形式出现以选择题、填空题的形式出现. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:根据几何体的结构特征确认其三视图根据几何体的结构特征确认其三视图【典例【典例2 2】(2015(2015厦门模拟厦门模拟) )如图所示如图所示, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C

23、C1 1D D1 1中中,E,E为棱为棱BBBB1 1的中点的中点, ,若用过点若用过点A,E,CA,E,C1 1的平面截去该正方体的上半部分的平面截去该正方体的上半部分, ,则剩余则剩余几何体的侧视图为几何体的侧视图为( () )【解题提示】【解题提示】结合原正方体先确定剩余几何体的形状结合原正方体先确定剩余几何体的形状, ,再确认其侧视再确认其侧视图图. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.设过点设过点A,E,CA,E,C1 1的截面与棱的截面与棱DDDD1 1相交于点相交于点F,F,且且F F是棱是棱DDDD1 1的中点的中点, ,该正方体截去上半部分后该正方体截去上半部分后, ,剩余

24、几何体如图所示剩余几何体如图所示, ,则它的侧视则它的侧视图应选图应选C.C.【易错警示】【易错警示】解答本题有两点易出错解答本题有两点易出错: :(1)(1)将剩余的几何体搞错将剩余的几何体搞错, ,错误认为截面过错误认为截面过D D1 1点而误选点而误选B B或或D.D.(2)(2)将剩余几何体确认正确将剩余几何体确认正确, ,但将但将ECEC1 1的投影搞错而误选的投影搞错而误选A.A.命题角度命题角度2:2:根据三视图还原直观图根据三视图还原直观图( (几何体的结构特征几何体的结构特征) )【典例【典例3 3】(2014(2014新课标全国卷新课标全国卷)如图所示如图所示, ,网格纸的

25、各小格都是正网格纸的各小格都是正方形方形, ,粗实线画出的是一个几何体的三视图粗实线画出的是一个几何体的三视图, ,则这个几何体是则这个几何体是( () )( (本题源于教材必修本题源于教材必修2P15T4)2P15T4)A.A.三棱锥三棱锥B.B.三棱柱三棱柱C.C.四棱锥四棱锥D.D.四棱柱四棱柱【解题提示】【解题提示】结合三视图进行判断结合三视图进行判断, ,特别注意垂直关系的转化特别注意垂直关系的转化. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.将三视图还原为几何体即可将三视图还原为几何体即可. .如图所示如图所示, ,几何体为三几何体为三棱柱棱柱. .悟悟技法技法1.1.根据几何体确认三

26、视图的技巧根据几何体确认三视图的技巧由实物图画三视图或判断选择三视图由实物图画三视图或判断选择三视图, ,按照按照“正侧一样高正侧一样高, ,正俯一样长正俯一样长, ,俯侧一样宽俯侧一样宽”的特点确认的特点确认. .2.2.根据三视图还原几何体的技巧策略根据三视图还原几何体的技巧策略(1)(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. .(2)(2)明确三视图的形成原理明确三视图的形成原理, ,并能结合空间想象将三视图还原为直观图并能结合空间想象将三视图还原为直观图. .(3)(3)遵循遵循“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的原则的原则. .提醒提醒: :对

27、于简单组合体的三视图对于简单组合体的三视图, ,首先要确定正视、侧视、俯视的方向首先要确定正视、侧视、俯视的方向, ,其次要注意组合体由哪些几何体组成其次要注意组合体由哪些几何体组成, ,弄清它们的组成方式弄清它们的组成方式, ,特别应注特别应注意它们的交线的位置意它们的交线的位置, ,区分好实线和虚线的不同区分好实线和虚线的不同. .通通一类一类1.(20151.(2015天津模拟天津模拟) )一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示俯视图如图所示, ,则其侧视图为则其侧视图为( () )【解析】【解析】选选C.C.根据一个正方体截去

28、两个角后所得几何体的正视图、俯根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为视图可得几何体的直观图为: :所以侧视图为所以侧视图为: .: .2.(20132.(2013湖南高考湖南高考) )已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为1,1,其俯视图是一个面积为其俯视图是一个面积为1 1的正方形的正方形, ,侧视图是一个面积为侧视图是一个面积为 的矩形的矩形, ,则该正方体的正视图的面则该正方体的正视图的面积等于积等于( () ) 【解析】【解析】选选D.D.由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的, ,正视图的正视图的面积与侧视图的面积

29、相等面积与侧视图的面积相等, ,为为 . .2321A. B.1 C. D. 22223.(20153.(2015威海模拟威海模拟) )一空间几何体的三视图如图所示一空间几何体的三视图如图所示, ,则此空间几何体的直观图为则此空间几何体的直观图为( () )【解析】【解析】选选A.A.由正视图与俯视图知由正视图与俯视图知, ,上部的三棱锥的顶点应在棱的中上部的三棱锥的顶点应在棱的中点处点处. .选选A.A.4.(20154.(2015郑州模拟郑州模拟) )一只蚂蚁从正方体一只蚂蚁从正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点的顶点A A处出发处出发, ,经正方

30、体的表面经正方体的表面, ,按最短路线爬行到达顶点按最短路线爬行到达顶点C C1 1位置位置, ,则下列图形中可以则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选C.C.由已知得最短路线应有四条由已知得最短路线应有四条, ,其正视图符合要求的只有其正视图符合要求的只有. .故选故选C.C.考点考点空间几何体的直观图空间几何体的直观图【典例】【典例】(1)(2015(1)(2015宜春模拟宜春模拟) )已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为a,a,那么那么ABCABC的平面直

31、观图的平面直观图ABCABC的面积为的面积为( () )22223366A.a B.a C.a D.a48816(2)(2)如图所示如图所示, ,四边形四边形ABCDABCD是一水平放置的是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图平面图形的斜二测画法的直观图, ,在斜二测直观图在斜二测直观图中中, ,四边形四边形ABCDABCD是一直角梯形是一直角梯形,AB,ABCD,ADCD,CD,ADCD,且且BCBC与与yy轴平行轴平行, ,若若AB=6,AB=6,DC=4,AD=2,DC=4,AD=2,则这个平面图形的实际面积为则这个平面图形的实际面积为. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)先建立

32、坐标系先建立坐标系, ,然后画出然后画出ABCABC的直观图的直观图A AB BC C, ,求出求出A AB BC C相关的边相关的边, ,确定其面积确定其面积. .(2)(2)按照斜二测画法按照斜二测画法, ,将直角梯形还原为平面图形再求解将直角梯形还原为平面图形再求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.如图如图所示的实际图形和直观图所示的实际图形和直观图, ,由由可知可知,AB=AB=a,OC= ,AB=AB=a,OC= 在图在图中作中作CDABCDAB于于D,D,则则CD= CD= 所以所以S SABCABC= AB= ABCDCD13OCa24，26O Ca.28 1

33、22166aaa .2816 (2)(2)根据斜二测画法规则可知根据斜二测画法规则可知: :该平面图形是直角梯形该平面图形是直角梯形, ,且且AB=6,CD=4.AB=6,CD=4.由于由于CB= AD=2 .CB= AD=2 .所以所以CB=4 .CB=4 .故平面图形的实际面积为故平面图形的实际面积为 (6+4)(6+4)4 =20 .4 =20 .答案答案: :202022212222【互动探究】【互动探究】若本例若本例(1)(1)改为改为“A A1 1B B1 1C C1 1是边长为是边长为a a的正三角形的正三角形, ,且且A A1 1B B1 1C C1 1是是ABCABC的直观图

34、的直观图”, ,则则ABCABC的面积为多少的面积为多少? ?【解析】【解析】如图如图, ,可知可知在在A A1 1D D1 1C C1 1中中, ,由正弦定理由正弦定理 得得x= a,x= a,所以所以S SABCABC= = axsin 45sin 120，62216a6aa .22 【规律方法】【规律方法】直观图画法的关键与结论直观图画法的关键与结论(1)(1)关键关键: :在斜二测画法中在斜二测画法中, ,要确定关键点及关键线段要确定关键点及关键线段.“.“平行于平行于x x轴的轴的线段平行性不变线段平行性不变, ,长度不变长度不变; ;平行于平行于y y轴的线段平行性不变轴的线段平行

35、性不变, ,长度减半长度减半.”.”(2)(2)结论结论: :按照斜二测画法得到的平面图形的直观图按照斜二测画法得到的平面图形的直观图, ,其面积与原图形其面积与原图形的面积的关系的面积的关系:S:S直观图直观图= S= S原图形原图形. .24【变式训练】【变式训练】如图如图, ,正方形正方形OABCOABC的边长为的边长为1cm,1cm,它是水平放置的一个平它是水平放置的一个平面图形的直观图面图形的直观图, ,则原图形的周长为则原图形的周长为. .【解析】【解析】将直观图还原为平面图形将直观图还原为平面图形, ,如图如图. .可知还原后的图形中可知还原后的图形中OB=2 ,AB= OB=2

36、 ,AB= 于是周长为于是周长为2 23+23+21=8(cm).1=8(cm).答案答案: :8cm8cm22212 23,【加固训练】【加固训练】1.1.如图所示是水平放置三角形的如图所示是水平放置三角形的直观图直观图,D,D是是ABCABC的的BCBC边中点边中点,AB,BC,AB,BC分别与分别与yy轴、轴、xx轴平行轴平行, ,则三条线段则三条线段AB,AD,ACAB,AD,AC中中( () )A.A.最长的是最长的是AB,AB,最短的是最短的是ACACB.B.最长的是最长的是AC,AC,最短的是最短的是ABABC.C.最长的是最长的是AB,AB,最短的是最短的是ADADD.D.最长

37、的是最长的是AC,AC,最短的是最短的是ADAD【解析】【解析】选选B.B.由条件知由条件知, ,原平面图形中原平面图形中ABABBC,BC,从而从而ABADAC.ABADAC.2.2.水平放置的水平放置的ABCABC的斜二测直观图如图所示的斜二测直观图如图所示, ,若若A A1 1C C1 1=2,=2,ABCABC的面积为的面积为2 ,2 ,则则A A1 1B B1 1的长为的长为. .【解析】【解析】由直观图可知由直观图可知ACACBC,BC=2BBC,BC=2B1 1C C1 1,AC=2,AC=2,又因为又因为 ACACBC=2 ,BC=2 ,所以所以BC=2 ,BC=2 ,则则B

38、B1 1C C1 1= BC= ,= BC= ,所以所以 =2=22 2+( )+( )2 2-2-22 2 cos45cos45=2,=2,解得解得A A1 1B B1 1= .= .答案答案: : 21222122211A B22223.3.如图所示如图所示, ,梯形梯形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是一个平面图形是一个平面图形ABCDABCD的直观图的直观图. .若若A A1 1D D1 1OO1 1y,Ay,A1 1B B1 1CC1 1D D1 1,A,A1 1B B1 1= C= C1 1D D1 1=2,A=2,A1 1D D1 1=O=O1 1D D1 1=1.=1.请画出原来的平面几何图形的形状请画出原来的平面几何图形的形状, ,并求原图形的面积并求原图形的面积. .23【解析】【解析】如图如图, ,建立直角坐标系建立直角坐标系xOy,xOy,在在x x轴上截取轴上截取OD=OOD=O1 1D D1 1=1;OC=O=1;OC=O1 1C C1 1=2.=2.在过点在过点D D的的y y轴的平行线上截取轴的平行线上截取DA=2DDA=2D1 1A A1 1=2.=2.在过点在