【最新北师大版-】数学八下易错题(含答案)

1、-WORDB式-可编辑-专业资料八年级下册易错题第一章三角形的证明1 .已知等腰三角形的两边长分别为5 cm. 2 cm,则该等腰三角形的周长是（D ）A. 7 cm B . 9 cm C. 12 cm或者 9 cmD . 12 cm考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，因此只能是：5cm , 5cm,2cm.2 .一个等腰三角形的一个角是40° ,则它的底角是（D）A. 40B . 50C . 60D . 40 或70考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：当40 °是顶角时，底角就是 70 °

2、;40 °就是一个底角.3 .已知 ABC 的三边长分别是 6cm、8cm、10cm ,则最长 边 上 的 高 是（ D ）A24cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提75：设最长边上的高为 h,由题意可得 ABC是直角三角形，利用面积相等求，即 1.6.8.10.h22解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 0，腰长为6 ,则其底边上的高是3或3击.解：三角形是钝角三角形时，如图，AD= 1AB= 1 X 6=3 , 22，BAD= 1(90-30)=30,. AB=AC , ./ ABC= /ACB= ./ ABD= /ABC ,，底边上的高AE=AD=3

3、 ;三角形是锐角三角形时，如图2, /ABD=30，/ A=90-30=60, .ABC是等边三角形，底边上的高为"3 X 6= 3y325 .到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线 D.三条高 考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三 个顶点的距离相等 【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分 线上的点】还有一个： 三角形三个内角平分线的交点到三角 形三边的距离相等 【归纳为：点到线的距离相等，为角平分 线的交点，此时的距离有“垂直”】6 .如图，在 ABC中，AB=5 , AC=3 , BC的垂直平分线交 AB

4、于D ,交BC于E ,则 ADC的周长等于87 .用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60.答案：已知： ABC , 求证： ABC中至少有一个内角小于或等于60证明：假设 ABC中没有一个内角小于或等于60° ,即每一内角都大于60贝U/ A>60, / B>60，/ C>60/ A+ / B+ /C>60+60+60=180即/ A+ / B+ / C>180 ° ,这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立.ABC中至少有一个内角小于或等于60考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写生已知、求证，再假设求证的反面成立，推生

5、与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8 .如图所示，/ AOB=30 , OC平分/ AOB, P为OC上 任意一点，PD/ O应OB于点D, PELOA于点E,若解：过点P作PF ±OB于F, . /AOB=30 , OC 平分/ AOB , ./ AOC= /BOC=15 ,PD II OA , ./ DPO= /AOP=15, ./ DPO= /AOP=15,，/ BOC= / DPO ,，PD=OD=4cm ,./ AOB=30 , PD / OA ,，/ BDP=30 ,Rt APDF

6、中，PF=1PD=2cm ,2OC为角平分线，PELOA, PF，OB,PE=PF , PE=PF=2cm9 .如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线交于点 E , 过点E作MN/ BC 交AB于M ,交AC于N ,若BM+CN=9 , 则线段MN的长为（）A.6B.7C.8D.9BC解： / ABC、/ ACB的平分线相交于点 E ,. / MBE= / EBC , / ECN= / ECB , MN II BC ,. / EBC= / EBC , / ECN= / ECB ,.BM=ME , EN=CN , MN=BM+CN ,; BM+CN=9 , MN=9考查知识点：平行+

7、平分，必有等腰三角形10 .如图，AD是 ABC的角平分线，DFLAB,垂足为FDE=DG , 人口6和4 AED的面积分别为 50和39 ,则 EDF 的面积为（B） A.11B.5.5C.7D.3.5-学习资料分享£6, , Svmd g = Svadg - Svadm1SVDNM = SVDEF = _ SVMDG '2解：作 DM=DE 交 AC 于 M ,作 DN XAC , .在 AED 和 AMD 中，4D=且要， DE= DM.AED 白 AMD Svade - Svadm. DE=DG , DM=DE , .DM=DG ,AD是AABC的外角平分线， DFA

8、B, .DF=DN ,至 Rt ADEF 和 Rt ADMN 中，DXDFdm=de 'Rt ADEF iRt ADMN (HL ),人口6和4 AED的面积分别为 50和39 , =50-39=11="11=5.52考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形 的全等A. 1C. 1D.11 .在 Rt A ABC 中，/ C=90 ,AC=9 , BC=12 ,则点 C 到AB的距离是（A） 解：在 RtABC 中，AC=9 , BC=12 , 根据勾股定理得： AB= 、, AC2 BC2 =、92 122 = 15 过C作CD ±AB ,交AB于点D

9、 ,则由 Svabc=1aC. BC= 2AB. CD，得 CD=甯考查知识：利用面积相等法12 .如图，在 ABC中AD± BC, CE± AB,垂足分别为 D、E , AD、CE 交于点 H ,已知 EH=EB=3 , AE=4 ,贝U CH 的长是（A） A.1B.2C.3D.4解：.ADBC,，/ EAH+ / B=90,. CE ±AB ,/ EAH+ /AHE=90./ B= / AHE , .EH=EB ,在AAEH和ACEB中,ZAHE二乙 B EH=BE 45EC.AEH iACEB (ASA)，CE=AE ,.EH=EB=3 , AE=4 ,

10、，CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.CF13.如图，在 ABC中，AD是中线，AE是角平分线, XAE 于点 F, AB=5,AC=2,则 DF 的长为 3.BD E C解：延长CF交AB于点G,. AE 平分/ BAC ,. / GAF= / CAF ,/AF垂直CG ,./ AFG= / AFC ,在4AFG 和4AFC中，'Z GHF= Z CAFAafg- Aafc .AFG 白MFC (ASA) .AC=AG , GF=CF ,又点D是BC的中点， DF MACBG 的中位线，DF= 1BG= 1 (AB-AG )=(AB-AC ) =32222

11、BD E C点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是 作由辅助线，一般由现既是角平分线又是高的情况，我 们就需要寻找等腰三角形.14 .如图，在 ABC 中，AD为/ BAC 的平分线，FE垂直 平分AD ,交AD于E ,交BC的延长线于 F.求证：/ CAF= / B.B DCF解：/B=/CAF.FE垂直平分AD ,，FA=FD ,./ FAD= /ADF,AD为/ BAC的平分线，/ CAD= / BAD又./ CAF= / FAD= / CAD，/ B= / ADF- / BAD , ，/ B= / CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义 及三角形的外角

12、等知识点.15 .如图，OA、OB表示两条相交的公路，点 M、N是两个 工厂，现在要在/ AOB内建立一个货物中转站 P,使中转站 到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂 M、N的距离也 相等，用尺规作由货物中转站 P的位置.解：作/ AOB的角平分线；连接MN，作MN的垂直平分线，交 是所求货物中转站的位置.OM于一点，交点就16.如图，在 ABC 中，/ C=90 , CB于点D ,过点D作DE ±AB于点(1 )求证： ACD 白 AED ;AD平分/ CAB ,交 E.,求BD的长.(1)证明：/AD平分/ CAB，/ CAD= / EAD . DE XAB , / C=90

13、 ，/ACD= /AED=90 X v AD=AD , ， ACDAED(2)解：:ACD AED，DE=CD=1,/ B=30, / DEB=90，BD=2DE=217.如图，4ABC 中，AB=BC , BE，AC 于点 E, AD ± BC 于点D , / BAD=45 ° , AD与BE交于点F,连接CF .A(1)求证：BF=2AE ;(2)若CD= 求AD的长.(1 )证明：; AD ± BC , / BAD=45./ ABD= /45=/ BAD，AD=BD. BE ±AC，/ CAD+ / AFE=90. AD ±BC，/ FB

14、D= / BFD=90又/ AFE= / BFD，/ CAD= / FBD又/ADC= /BDF=90.ADC BDF，AC=BF. AB=BC , BE ±AC，AC=2AE，BF=2AE(2)解：设 AD=x ,则 BD=x，AB=BC= 2 +x.ABD是等腰直角三角形，AB= 2 AD . 2+x= 2x解得x=2+ 2即 AD=2+218.如图，已知 ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且 AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F ,使EF=BC.ABC是等边三角形，/ B=60, AB=BC，AB=BC=EF. AD=BE , BD=AB+AD,

15、BF=BE+EF.BD=BF.BDF是等边三角形/ F=60, BD=FD在ABCD和AFED中， BC=EF/ B= / F=60 BD=FD.BCD 9N FED (SAS) DC=DE19.如图，在 ABC 中，AC=BC , /ACB=90 , D 是 AC上一点，AE XBD 交BD的延长线于 E,且 AE= 2bD ,求 证：BD是/ABC的角平分线.证明：延长AE、BC交于点F. AE XBE./ BEF=90 ,又/ ACF= /ACB=90/ DBC+ / AFC= / FAC+ /AFC=90，/ DBC= / FAC在AACF和ABCD中<AC=3C， ACF BC

16、D (ASA)，AF=BD又 AE= 1BD.AE=EF,即点E是AF的中点.AB=BF.BD是/ ABC的角平分线20.如图，在 ABC中，分别以 AC、AB为边，向外作正 ACD ,正4 ABE , BD 与AE相交于F ,连接 AF ,求证: AF平分/ DME过点A分另I作 AM ±BD,AN ±CE,分别交 BD , CE于M , N两点,ABE fflAACD均为等边三角形，. / EAB= / CAD=60 , AD=AC , AB=AE ,/ EAC= / BAD=60 +/ BAC ,. EAC BAD ,iiSveac -ce.an =Svbad = b

17、d.am CE=BD 22 .AN=AM AF平分/ DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知： AB=AC , / A=90, AF=BE,BD=DC.证明：连接AD./ A=90 AB=AC D 是 BC 的中点AD ± BC / ADB=90 / B=45 = / CAD AD=BDBE=AF（直角三角形中，中线等于斜边的一半）且，易证 BED AFD (SAS)，/ BDE= / ADF ,/ ADE+ / EDB= / ADB=90，/ ADF+ / ADE=90.ED ±FD第二章不等式（组）不等式基本性质例：如果x>y,

18、那么下列各式中正确的是（ C） 1.系数含有字母的不等式（组）A. x-2 v y-2C . -2x v -2yD . -x > -y解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范 围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=” 一定要考虑，如果满足题意则要取，不 满足题意就不取】【自己做】（1 ）已知关于x的方程3k 5x = 9的解是非 负数，求k的取值范围.（2）已知关于x的不等式（1-a） x>2的解集为x< ,1 - a则a的取值范围是a > 1.提示：利用不等式的基本性质三：a-1 <0（3）如果不等式组：x-a>

19、0的解集是3<x<5,那么a=3,b=-5.、x + b<0提示：解得不等式组的解集为：a<x<-b而不等式组的解集为：3<x<5，a=3,b=-5 如果不等式 ；x<8 无解，那么m的取值范围是(B)x > mA. m>8B.m >8 C.m <8 D.m < 8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；.-m >8 = 一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组：x+8<4x-1的解集是x>3,则m的取值范围 x > m是(A ).A. m< 3B . m&g

20、t; 3C . m=3D . m<3X> 3-提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得 "而该不等式组的解集是 x>3,m< 3 = 一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】x -3 ：二 6 x -12 k 1(6)关于x的不等式组55.2x有三个整数解，则a的取值5 2a -x 3范围是-9<aW -2 . 63解：解该不等式组得.有三个整数解/.2<x<6a+10三个整数解应该是 3,4,55v6a+10 <6解得-5<aw -I63【自己解答】（7）若方程组：x + y = m+2,的解x, y均为正数, 、4x + 5y

21、=6m + 3求m的取值范围.提示：先将m当作已知数，将 x、y用含m的式子表示由 来，然后利用x, y均为正数，列由含 m的不等式组，解由 m的取值范围【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不叵取大括号的形式】（1）解不等式 受1之3+1,并将解集在数轴上表示由来； 325x -1 :二 3（x 1）（2）解不等式组2x-1 5x+1，并把它的解集表示在数轴132上.3 .一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y值得大小，函数值（y）越大，图像越高，函数值（y） 越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x的取值范围，我由与x轴交点的横坐标（

22、指一元一次不等式）,看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围 （还是图像在x轴以下的 自变量的取值范围）；或找由函数交点的横坐标，然后看在 该交点以左满足题意还是交点以右满足题意（1）函数y=kx+b （k、b为常数，k=0）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0 的解集为（C）.A. x>0 B. x<0 C. x<2（2）直线L : y =k1x+b与直线12: y = k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x的不等式kix+b“2x的解为x<-14 .一元一次不等式（组）应用题一件商品的进价是 500元，标价为600元，打折销售后 要保证获

23、利不低于 8%,则此商品最多打 9_折.商品销售中需注意的地方：“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；获利是在进价的基础上获利；打折是在售 价基础上打折；打几折就是给售价X且10解：设可以打x折.那么（600 x x -500 ） - 500 > 8% 10解得x>9 .故答案为：9 .某商贩去菜摊买黄瓜， 他上午买了 30斤，价格为每斤x元;下午，他又买了 20斤.价格为每斤y元.后来他以每斤 三元 的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ B） x<yB.x>yC.xWy D . x > y解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是30x 20y50以每斤

24、30x 20y50元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则解得：x>y，赔钱的原因是x>y（1）某商场文具部的某种毛笔每支售价 25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款。八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x （x>10）本。试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）解:(1) yi=25 X 10+ (x-10 ) x 5=5x+200 ;y2= (25X 10+5x ) X 0.9=4.5x+225(2)

25、y>y2 时，即 5x+200 >4.5x+225 ,解得：x>50 ;y1二y 2时，即 5x+200=4.5x+225,解得：x=50 ;y vy2时，即 5x+200 <4.5x+225 ,解得x<50 .(3)甲方案：25 X 10+50 X 5=500 元；乙方案：(25 X 10+60 X 5) X 0.9=495 元；两种方案买：25 X 10+50 X 5X 0.9=475 元，(2)甲、乙两家超市以相同的价格由售同样的商品，为了吸引顾客，各自推由不同的优惠方案：在甲超市累计购买商 品超由300元之后，超由部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超

26、由 200元之后，超由部分按原价8.5折优惠.设顾客预计累计购物 x元(x>300 ).(1 )请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；(2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.解：(1)设应付金额为y则在甲超市购物所付的费用是：y=300+0.8( x-300 )=0.8x+60在甲超市购物所付的费用是：y=200+0.85( x-200 )=0.85x+30 当 0.8x+60>0.85x+30时，解得 x<600，而 x>300，300 < x < 600即顾客购物超过 300元且不满600元时，到乙超市更优惠；当 0.8x+60=0

27、.85x+30 时，解得x=600 当顾客购物600元时，到两家超市所付费用相同；当 0.8x+60 v 0.85x+30 时，解得x>600 当顾客购物超过 600元时，到甲超市更优惠；(3)去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝 4吨和香蕉1吨。乙种货车可装荔 枝、香蕉各2吨：该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计由来；若甲种货车每辆要付由运输费2000元。乙种货车每辆要付由运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运费最 少？最少是多少？解：（1）设安排甲种货车 x辆，则安排乙种货车1

28、0-x辆， 由题意得：4#+2（10 X）之 301x + 2（10-x）£13 '解得5<x<7: x是整数 .x 取 5、6、7因此，安排甲、乙两种货车有三种方案：方案1:甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2:甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3:甲种货车7辆，乙种货车3辆.（2）方案 1 需要运费：2000 X 5+1300 X 5=16500（元）方案 2 需要运费：2000 X 6+1300 X 4=17200 （元） 方案 3 需要运费：2000 X 7+1300 X 3=17900 （元） ，该果农应选择方案 1运费最少，最少运费是 16500元. （4

29、）某工厂计划为震区生产 A, B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套 A型桌椅（一桌两 椅）需木料0.5m3, 一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3, 工厂现有库存木料302m 3.有多少种生产方案？现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120 元，运费4元，求总费用y （元）与生产A型桌椅x （套）之间 的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用.（总 费用=生产成本+运费）按的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写生用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少 名学生提供桌椅；如

30、果没有，请说明理由.-WORDB式-可编辑-专业资料解：(1)设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅(500-x ) 套，由题意得r把 3023H500-工龙 1250解得 240 W x W 250. x是整数，.二有11种生产方案由题意得 y= ( 100+2 ) x+ ( 120+4 ) x ( 500-x )= -22x+62000( 240 W x W 250 ): -22 v 0 ,，y随x的增大而减小 当x=250时，y有最小值 .当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时，总费用最少，为-22 X 250+62000=56500 元(3)有剩余木料，302-(05+0.7) X 2

31、50 + 0.5 X 2=8或 302-(05+0.7) X 250=2 <3 .有以下几种方案：全部做A型可做4套，全部做B型可做2套，一部分做A型一部分做B型最多3套，比较可知，应选第中方案，故最大值应为 8 .最多还可以为8名学生提供桌椅.(5)本学期我校开展了课外兴趣小组活动，有很多同学参加了书法兴趣小组。小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买毛笔100枝以上(包括100枝)，可以按批发价付款；购买 100枝以 下(不包括100枝)只能按零售价付款。小刚来到该店购买毛笔，如果给兴趣小组的同学每人购买一枝，那么只能按零 售价付款，需270元；

32、如果多购买10枝，那么可以按批发价付款，同样需270元。请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内？(3分)若按批发价购买10枝与按零售价购买 9枝的款相同，那 么参加书法兴趣小组的同学有多少人？解：rx<wo-设有x人则由题意可得：.90 <x< 100且x为整数设批发价为 m元，零售价为n元 则得到10m=9n还有条件得1-频二270 _ (x+10)n=270 . xm=(x+10)n. x n 9 二一二x 10 m 10解得x=90(6)若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住 8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间

33、？解：设宿舍有x间，则学生有4x+20人，由题意可得：j4r+2(H8(x-l)>0(4x+2Q-S(j1)<8 "解得：5<x<7. x为整数，. x=6，学生有4X6+20=44(人)答：学生有44人，宿舍有6间.(7)某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板 340张.若要做两种纸盒 共100个，按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？(2)若有正方形纸板 162张，长方形纸板a张，做成上述 两种纸盒，纸板恰好用完.已知290 ca <306,求a的值.

34、鹏式爆盒 模式麻盒图甲图乙解：(1)设生产竖式纸盒 x个，则生产横式纸盒(100-x )个，由题意得：4x43(100-340v +2(100-a) <162解得 38 < x < 40.二有3种生产方案，如下：方案1 :生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2:生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3:生产竖式纸盒 40个，横式纸盒60个.(2)设竖式纸盒x个，横式纸盒y个，由题意得：卜 + 2y = 1624m + 31y = 4解得 648-5y=a290 <a<306 ，290 v 648-5y < 306解得 68.4 <y<71.

35、6. y为整数,，y 只能取 69、70、71，对应的a的取值为 303、298、293.第三章图形的平移与旋转1 .下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(C)A. 4个 B.3个 C.2个 D.1个2 .在如图所示的单位正方形网格中， ABC经过平移后得到 AiBiCi,已知在AC上一点P (2.4 , 2)平移后的对应点 为Pi,点Pi绕点O逆时针旋转180 ° ,得到对应点 P2,则这个点的坐标是(0,i )解：如图，连接AD、BE ,作线段AD、BE的垂直平分线, 两线的交点即为旋转中心 O',其坐标是(0,i )4 .如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角

36、形叫做格点三 角形，请按要求完成下列操作：先将格点ABC绕A点逆时针旋转90°得到 AiBiCi,再将 AiBiCi沿直线BiCi 作轴反射得到 A2B2c2. rr-7rz r 15 .如图 i ,已知： Rt A ABC 和 Rt A DBE , / ABC= / DBE=90 , AB=CB , DB=EB .(i )如图i ,点D在 ABC外，点E在AB边上时，求证： AD=CE , AD ±CE ;(2)若将(i )中的 DBE绕点B顺时针旋转，使点 E在 ABC的内部，如图2,则(i)中的结论是否仍然成立？ 请证明；(3)若将(i )中的 DBE绕点B顺时针旋转

37、，使点 E在 ABC的外部，如图3,请直接写由 AD, CE的数量关系 及位置关系.解：(1)证明：如图图1所示，在4ABD 和4CBE中，(AB-CB±ABD-J.CBERB=EB.ABD iACBE (SAS )，AD=CE , / BAD= / BCE ,/ BCE+ / BEC=90 , / AEF= / BEC ,，/ BAD+ / AEF=90，/ AFE=90.AD ±CE(2) (1)中的结论 AD=CE , AD ±CE仍然成立，理由为: 证明：如图图2所示，,/ ABC= / DBE=90./ABC- /ABE= /DBE- / ABE ,即/

38、 ABD= / CBE在AABD和ACBE中，AB=CB，LABDACBE<DB=EB.ABD iACBE (SAS )，AD=CE , / BAD= / BCE ,./ BCE+ / BOC=90 , / AOF= / BOC ,，/ BAD+ / AOF=90，/ AFE=90.AD ±CE(3) AD=CE , ADCE,理由为：证明：如图图3所示，设AF和BC相交于点M,/ ABC= / DBE=90./ABC- /DBC= /DBE- / DBC ,即/ ABD= / CBE在AABD和ACBE中，AB=CB& ZABD=ZCBEDB=EB.ABD iACBE

39、 (SAS )，AD=CE , / BAD= / BCE ,/ BAD+ /AMB=90 ° , / AMB= / CMF ,，/ BCE+ / CMF=90，/ AFC=90.AD ±CE6.在 RtABC 中，/ ACB=90 , / A=30 ，点D 是 AB 的中点，DE ±BC ,垂足为点E ,连接CD .(1 )如图1 , DE与BC的数量关系是 ;(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C 重合)，连接DP ,将线段DP绕点D逆时针旋转60 ° ,得 到线段DF ,连接BF ,请猜想DE、BF、BP三者之间的数 量关系，并证明你

40、的结论；(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作 法，请在图3中补全图形，并直接写由 DE、BF、BP三者 之间的数量关系.解：(1 ) ./ ACB=90 , / A=30 点D是AB的中点，DB=DC, .DCB为等边三角形 . DE XBC , .DE= yBCBF+BP= UDE，理由如下: 线段DP绕点D逆时针旋转60° ,得到线段 DF ,. / PDF=60 , DP=DF ,而/ CDB=60. / CDB- / PDB= / PDF- / PDB , ./ CDP= /BDF ,在ADCP和4DBF中I DODB-ZCDP=ZBJr ,DP=DFDCP

41、 DBF (SAS ).CP=BF而 CP=BC-BPBF+BP=BC3v DE= -yBCBC= 2 DE厂 bf+bp= Ude 3（3）如图，与（2） 一样可证明 DCPDBF，CP=BF而 CP=BC+BP，BF-BP=BC. BF-BP=2 DE3点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“ SSS”、“SAS ”、“ASA”、“AAS ” ；全等三角形的对应边相等，也考查了等边三角形的判断与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.第四章 因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式；【由此可见：分解

42、因式”和“因式分解”实质是一样的（是一回事）】； 分解因式时一定要分到不能分解为止；如：x-y2不能再分解了；再如：（a2-4）2还可以分解为（a-2）2（a + 2）2 分解因式的方法：提公因式法；公式法（平法差公式 完全平方公式）十字相乘法.十字相乘法：因式分解6“ + 1安+】5分析：2尸V3因为919y + 10y=19y解：原式二 C 2y*3） C 3y+5）简单的概括为：把多项式中第一个和第三个数竖着写成相乘 的形式，然后再十字相乘，相加，要等于多项式里中间的那个数，最后横着分解由来即可(如上图)(D)1 .下列从左边到右边的变形，是因式分解的是A.12a 2b=3a 4 abB

43、. (x+3 ) (x 3) =x2-学习资料分享C.4x 2+8x 1=4x (x+2 ) 1D. x2 3x -4 = x -1 x 42 .下列各组代数式中没有公因式的是 (B)A. 4a2bc 与 8abc 2B . a3b2+1 与 a2b3 -1C. b(a - 2b)2 与 a (2b - a) 2 D. x+1 与 x2 - 13 .将-x4 - 3x 2+x提取公因式-x后，剩下的因式是 -x(x3 +3x-1).4 .若4a4 - ka2b+25b 2是一个完全平方式，则 k= ±20 .【提 示：完全平方式有两个，中间是± 2ab 5 .若一个正方形的

44、面积是9m 2+24mn+16n 2,则这个正方形的边长是3m+4n .6 .已知 x2+y24x+6y+13=0 ,则 x=2, y=-3.提示：(x-2)2 (y 3)2 =07 .若 x2 +4x-3=0 ,那么 3x2+12x-5 的值为 4提示： 由 x2 +4x3 = 0得 x2 +4x=3 , ，3x2 +12x5 = 3(x2 +4x) 5 = 48 .已知 119 X 21=2499 ,贝U 119 X 21 3 - 2498 X 21 2 等于 21 2.提示：119 X 21 X 21 2 -2498 X 21 2 =2499 X 21 2 -2498 X 21 2=21

45、 2 X ( 2499-2498 ) =21 29 .多项式x2 -4x+m可以分解为(x+3)(x-7),则m的值为(C)A.3B. -3C. -21D.21-WORDB式-可编辑-专业资料10 .若(2x)n 81 =(4x2+9)(2x+3)(2x 3),则 n 等于(B).A. 2B. 4C. 6D. 811 .分解因式(我只写了答案，在答卷子时一定要写过程)(a2 +12 -4a2 = (a -1)2 (a +1)2 - 8ax2 16axy -8ay2 = -8a(x - y)2(1 ) - 9x，6x 2 - x= -x(3x-1)2 a4-8a 2+16= (a-2)2(a+2

46、)2 3ax2 -3ay4= 3a(x- y2)(x y2) 4(a b) - (a b)2 -4 = - (a b - 2)212.计算 20092 -2008 2010 = 20092 -(2009-1) (2009 1) = 20092 - 20092 1 =12014 2+16 - 8 X 2014= 2014 2 - 8 X 2014+16= (2014 - 4)2=2010 2 =4040100 999 2 - 1002 X 998=2229992 -(1000 2) (1000 - 2) =9992 -10002 4 =(999-1000)(999 1000) 4= -19951

47、3. (1)利用因式分解说明：367 -612能被210整除.证明：;367 -612 =614 -612 =62.612 -612 =612(62 -1)=35.612 -35.6.611 =210.611二367 -612能被210整除(2)若 a、b、c是 ABC 的三边，且 a2+b2+c2 = ab+ac+bc,试探索 ABC的形状，并说明理由。解：a2 b2 c2 =ab ac bc=2 (a2 b2 c2) =2(ab ac bc)=(a2 -2ab b2) (a2 -2ac c2) (b2 -2bc c2) =0=(a -b)2 (a -c)2 (b -c)2 =0解得：a=b

48、,a=c,b=c= a=b=c .ABC为等边三角形14.已知多项式(a2+ka+25) - b2,在给定k的值的条件下可 以因式分解.(1)写生常数k可能给定的值；【答案】k= ± 10(2)针对其中一个给定的k值，写由因式分解的过程.解：当 k=10 时，原式=(a+5)2b2 = (a+5b)(a+5 + b) 15.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(X-1)(X-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(X-2)(X-4),请将原多项式分解因式.解：因看错一次项，分解为2(一)5-9) = 2-20工+18, 所以二次项和常数项对；因看错

49、常数项，分解为一 ,所以二次项和一次项对所以原多项式为：-;_2(?-6x+9) = 2(7r-3?16.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2 - 4x+m 有一个因式是(x+3),求 另一个因式以及m的值.解：设另一个因式为(x+n ),得x2 - 4x+m= (x+3 ) (x+n )贝U x2 - 4x+m=x 2+ ( n+3 ) x+3n- M=-4 4 .Lrn=3n解得：n= - 7, m= - 21，另一个因式为(x-7), m的值为-21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2+3x - k有一个因式是(2x - 5),求另 一个因式以及k的值

50、.解：设另一个因式为(x+m )，得 2x2+3x - k= (2x - 5)(x+m )=2x 2+(2m-5)x-5m，2m-5=3-5m="k解得 m=4,k=20.二另一个因式为：(x+4 )17.根据条件，求下列代数式的值：2 x 2(1)若 x (y-1) - y (x-1) =4,求-q的值;解：,x (y1) y (x1) =4二 xy-x-xy+y=4 y-x=4.(y -x)2 = y2 -2xy x2 =16x2 y2 =16 2xy2 2一 _ x y16 2xy_ xy ;_ xy = 822(2)若 a+b=5 , ab=3 ,求代数式 a3b - 2a2

51、b2+ab 3 的值.(3)利用“配方法”分解因式：a2 6a+8.解：原式=a2 -6a+9-1 = (a-3)2 -1 = (a-4)(a-2)(4)若 a+b=5 , ab=6 ,求：a4+b4 的值.解：a4 b4 =(a2 b2)2 -4a2b2 = (a b)2 -2ab2 -4(ab)2 = (52 -12)2 - 4x62 = 25第五章分式及分式方程分母上含有字母的式子叫分式(不要约分，直接进行判断)如：结也是分式 x分式的基本性质：给分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变 分式有意义：使分母不为零，分子有意义(主要是分子中含有平方根的情况)如：咛产

52、则4x-5 >0x-2 片0解得xn 5且x + 24 分式值为零：分子为零，且分母不为零；最简分式：分子分母不能再进行约分的分式叫最简分式 分母中含有未知数的等式叫分式方程； 解分式方程时，解完后一定要检验，若算由的解使公分母 为零，则该解为分式方程的增根；若算由的解使公分母不为 零，则该解为分式方程的根. 增根：使公分母为零的根（或解）1 .已知有理式：4 , a ,工，3x 1 x2, 6 +4其中分 x 4 x-y 42 a式有（B） A. 2个 B.3个C.4个D.5个在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和

53、分母，则能组成分式的概率是（ C） A.1 B.1 C.-633D . 3 42 .使分式上有意义的x取值范围是（D） A.x#0 B.x#2 x 2C. x ) 一2D. x 一2若y与x的函数关系式是y='-，则自变量x取值范围x#i. x 73 .若分式 山中的x、y的值都变为原来的 3倍，则分式的 x-y值（A）A.不变 B.是原来的3倍C.是原来的1 D.是原来的34.若将分式号4a个分式的值将中的a与b的值都扩大为原来的 2倍，则这(C)A.扩大为原来的2倍B.分式的值不变C.缩小为原来的1 D.缩小为原来的45 .下列各式中最简分式是 （B ）B.2x6x 1C.x 13x 3D.迈a-学习资料分享6 .若分式 1的值为零，则x的值为-1x 一 17 .若关于x的方程式二吃产生增根，则m是（A） A.4B.2C.3D.1若关于2x的分式方程xx3-2=二3无解，则a8.若：bga+c+e+g右:1 =3 ,贝U ""； =3 ;h ' b + d + f+h 'm + n c则=5.n 3_9 .若 4x-3y=0,则 X -y=-11.计算"Ra-工）的结果是 a a y 4提示：利用特殊值法：让 x=3,y=410 .如果 x-y=3 xy=4.B么 2x xy 2y