空间向量的应用求空间角与距离

1、空间向量的应用-求空间角与距离一、考点梳理1. 自新教材实施以来， 近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时， 更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后 的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。2. 利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：1）求直线和直线所成的角| AB ?CD | 右直线AB CD所成的角是，cos =| COS AB, CD |I AB | CD |2）.利用法向量求线面角设为直线I与平面所成的角，为直线I的方向向量v与平面

2、的法向量n之间的夹角，则有一或一特别地0时,l;时，0, I或IP 。计算公式为2，2r rsincosw或| V|g n |r rr rsinsin(-)cosvgi -r r-购品0)2|vgn|v|c|n|3）.利用法向量求二面角的法向量，二面角I的大小为 ，向量ni、n2的r r设ni、n2分别为平面 夹角为，则有计算公式为:cos cos|ni g n2 |coscosunuuIm |gn2 |4) .利用法向量求点面距离如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PQ记/ OPA=，则点P到平面的距离d | PO | PA |cosr uuu_U

3、UUU . | n ? PA | PA | 4| n | PA | r uuu | n ? PA | n |5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。 其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二,异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A B，AB在n上的射影长即为所求。n为异面直线AD BC公共垂直的方向向量，可由r uuurr uuurn AD 0及n BC 0求得,其计算公式为:uu uuu1 ngAB 1。其本质与求点面距离一致。|n|向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一

4、朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。、范例分析例1已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为,3的等腰梯形，将它沿对称轴00,折成直二面角，如图所示，（1）证明：AC BO, ； （ 2）求二面角 0 AC 0,的大小。分析：题干给出一个直二面角和一条对称轴00,，易知00, 0B，00, 0A，故有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可 避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面OAC的法向量，再用公式计算便可。第（D问的作用在于证明 0,B 面OAC，也就找到了一个法向量；而面0,AC的法r uuur

5、r uuuu向量可用由n AC 0及n 0,C 0求得，只是解出x、y、z关系后，对z的取值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。解：（D证明：由题设知00, 0A、00, 0B， 所以 A0B是所折成的直二面角的平面角，即 0A 0B。故可以0为原点，0A、0B、00,所在直线分别为 轴、z轴建立空间直角坐标第，如图，则相关各点的坐标是:A（3,0,0），ULLTACUULTACx轴、y(3, uuuu BO,(2)解：因为B(0,3,0)，C(0,、3)，0,(0,0，从而,-uiuu-3) BO, (0, 3, 3)，3 . 30，即 ACBO,。333 0，uuu0C B

6、0,所以0C B0,。uuuu由（,AC B0,，所以B0, 平面OAC , B0,是平面OAC的一个法向量。3x y 、. 3z 0 y 0T UULUn, BO-i ,r LULTn OiC 0取 z 、3 ,r 得n(i,0, . 3)。rUUJU设二面角oACOi的大小为，由n、BOi的方向可知r uulu，即二面角O所以coscosr uuju n, BOingBQ -ruuuu-|n |g| BOi |4AC Oi的大小是设n (x,y,z)是平面QAC的一个法向量，由 n ALU 0arccos 4感悟：(1)用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找一

7、一证一一求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎淡化了学生的空间想象 能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力 的培养，体现了教育改革的精神。(2)利用坐标法求解和距离，关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的 空间直角坐标系一一尽可能多地使空间的点在坐标轴上或坐标平面内，正确表达已知点的 坐标。在立体几何数量关系的解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和 应用法向量解决空间解和距离求法的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化和思想方法。例2 .如图，平面 ABCDL平面ABEF ABCD是正方形，ABEF是矩形，1AF -AD a

8、,A且2G是EF的中点，(I)求证平面 AGCL平面BGC(H)求GB与平面AGC所成角的正弦值(川)求二面角 B AC G的大小.解析：如图，以A为原点建立直角坐标系,则 A(0,0,0) , B(0,2a,0) , C(0,2a,2a),G(a,a,0) F (a,0,0)(I)证明：略.uultuult(II )由题意可得 AG (a, a,0) , AC(0,2a,2a)UULTUUTBG(a, a,0) BC(0,0, 2a)uurUUAGq0axi ayi0x iuutun由ACni02ayi 2a 0yii设平面AGC勺法向量为ni (xi, yi,-),ni(i, i,i)UU

9、T usin4UUM耳_空|BG| |ni|.2a 33(Ill )因ni (Xi,yi,1)是平面AGC勺法向量,又AF丄平面ABCD平面ABC勺法向量AF (a，°，°)，得U LOT_| cos | liU1 AUr1ag|AF| 辰 3arc面角B AC-G的大小为3感悟：因为二面角的大小有时为钝角，有时为锐角、直角，所以在计算之前应先 依题意判断一下所求二面解的大小，然后根据计算取“相等角”或“补角”。例3如图，四面体 ABCDK O E分别BDBC的中点，CA=CE=CD=BD=2(I)求证：AQL平面BCD(H)求异面直线 AB与CD所成角的大小；(川)求点E

10、到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所C(0",。), A©。,1)®1,于uuu,0), BAuuur1,0,1),CDuuu ulur cos BA, CDuuu uurBA.CDuuu | uuuBA | CD异面直线AB与CD所成角的大小为.3,0).(1,yarccos .4(1)证明：连结OCQ BODO, ABAD,AOBD.Q BODO, BCCD,COBD.在AOC中，由已知口可得AO1,CO .3.而AC2,AO2 CO2AC2,Q BD IOC O,AO平面BCDAOC 90o,即 AO OC.成的角以及点到平面的距离基

11、本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。(II )解：以0为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), D( 1,0,0),(Ill )解：设平面 ACD的法向量为n (x, y,z),则 r uuurn.AD (x, y, z).( 1,0, 1) 0,x z 0,r uuurn.AC (x, y,z).(0,、3, 1)0,3y z 0.令y 1,得n ( .3,1. 3)是平面ACD的一个法向量。uuu 又EC(1 -1,0), 点E到平面ACD的距离h2 2uuu rEC.n3217 T例4、如图，OB OC 2,求O点到面ABC的距离； 求异面直线BE与AC所成的角

12、;求二面角E AB C的大小.(1)(2)(3)解析：(1)以O为原点，OB、则有 A(0,0,1)、B(2,0,0)、irq设平面ABC的法向量为(x, y,z).ujuir uuiAB知小AB2x z 0;ir由n(umr ur ujuAC知AC2y z 0 取irn1OC、OA分别为x、 C(0,2,0)、E(0,1,0).(1,1,2)，则点O到面ABC的距离为(2,0,0)2,厂1murAC (0,2, 1).(0,1,0)(2, 1,0),uuu uiur cos < EB, AC >22,所以异面直线5BE与AC所成的角2arccos -5(3)设平面EAB的法向量为

13、n(x, y,z),则由 nirr r uuuAB 知:n AB 2x z 0;已知三棱锥O ABC的侧棱OA OB, OC两两垂直，且OA 1， E是OC的中点.H由(1)知平面ABC的法向量为n1(1,1,2).r urr ir n n11 2 477.6贝 y cos < n, n1n n1 963 618 结合图形可知,二面角EAB C的大小为a/6:arccos0.取 n (1,2,2).18例5、在正三角形 ABC中，E、F、P分别是AB AC BC边上的点，满足 AE:EB= CF:FA=CP:PB= 1:2 (如图1)。将厶AEF沿EF折起到 A1EF的位置，使二面角 A

14、 EF- B成直二 面角，连结AB A1P (如图2)r uuj r uur由 n EB 知：n EB 2x y(I)求证： AE丄平面 BEP(H)求直线 AiE与平面ABP所成角的大小；(川)求二面角 B- AP F的大小(用反三角函数表示)设平面ABC的法向量为ni(x, y,z),则由 n1BCir mu知：n1 BCx y 0;同理由n1uujir uuCA 知：n1 CAirz 0.可取 n1(1,1, 1).uu同理,可求得平面ACD的一个法向量为n,(1,0, 1).由图可以看出，三面角Bir uuAC D的大小应等于m,n2ir uu则逸黑 小IT-hknn210 1,即所求

15、二面角的大小是3、23arccos平面BCD的一个法向量为 设E(x, y, z)是线段AC上一点，则x z>0,y1,ruurn (0,0,1), DE (x,1,x),要使ED与面BCD成30uu r角，由图可知DE与n的夹角为60 ,uujur所以 cos< DE ,n >uuirDEn x“1uuir rcos 60 -DE n .1 2x22则2x 1 2x2 ,解得,x2 则 CE . 2x 1.2故线段AC上存在E点，且CE 1,时ED与面BCD成30角【解后反思】在立体几何学习中 , 我们要多培养空间想象能力 , 对于图形的翻折问题 , 关健是利用翻折前后的不变量 ， 二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一 是 高考数学必考的知识点之一 作， 证， 解， 是我们求二面角的三步骤 作: 作出所要求的二面角 证: 证明这是我们所求二面角 ， 并将这个二面角进行平面化 ， 置于一个三角形中 ， 最好是直角 三角