空间向量专题练习答案

1、空间向量专题练习、填空题(本大题共4小题，共20.0分)a与平1.平面a的法向量为(1 , 0,-1 )，平面3的法向量为(0, -1 , 1),则平面面3所成二面角的大小为【答案】? 2? 或3或3【解析】解：设平面a的法向量为黔(1 , 0 , -1 )，平面3的法向量为?= (0, -1 ,1),则 cos V ?»1 xo+ox (-1)+(- 1) XI1?> =- 2， - V ? ?> = 2?.3平面a与平面3所成的角与V ? ?相等或互补,一与3所成的角为?或了利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出.本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算

2、能力，属于基础题.2.平面a经过三点 A (-1 , 0 , 1 ) , B (1 , 1 , 2) , C (2 , -1 , 0),则平面 a的法向量？可以是 (写出一个即可)【答案】(0 , 1, -1 )【解析】解：? (2, 1 , 1 ), ? (3 , -1 , -1 ), 设平面a的法向量？= (x, y, z),，令 z=-1 , y=1 , x=0 .则?字 2?+ ?+ ?= 0 则?字 3?- ?- ?= 0-? (0,1 , -1 ).故答案为：(0, 1, -1 ).设平面a的法向量(x, y, z),则昭籃？ 2?+ ?+ ?= 0，解出即可. ? 3?- ?-

3、?= 0本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题.3已知? (1 , 0 , 2 ), ? (2 , 1 , 1 )，则平面ABC的一个法向量为 【答案】(-2, 3 , 1)【解析】解: ? (1 , 0 , 2 ),1, 1 ),设平面ABC的法向量为(x , y , z),则?>?= 0 即?+ 2?= 0 则?： 0, ' 2?+ ?+ ?= 0,取 x=-2 ,则 z=1 , y=3 .故答案为：(-2 , 3 , 1).设平面ABC的法向量为? (x , y , z),则?： 0?= 0，解出即可.本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于

4、基础题.4. 在三角形 ABC 中，A (1 , -2 , -1 ), B (0 , -3 , 1), C (2, -2 , 1 ),若向量？与平面ABC垂直，且，则？的坐标为 .【答案】(2 , -4, -1 )或(-2 , 4 , 1 )【解析】 解：设平面ABC的法向量为?= (x, y, z).则?0，且？夕？?=0 ,T ? (-1 , -1 , 2) , ? (1 , 0, 2),?. ?+ 2?= 0?+ 2?= 0即?= - 2? ?= 4?令 z=1，则 x=-2 , y=4 , 即? (-2 , 4 , 1 ), 若向量乡与平面ABC垂直,向量？?/ ?设入T= (-2入，

5、4入，入),v 1?=厉,-苗？|入|=迈1 ,解得入=± 1 , ?的坐标为(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1 ), 故答案为：(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1)根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论.本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键.、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，/ BAD=60 ° , Q 为 AD 的中点.(1 )若PA=PD，求证：平面 PQB丄平面PAD ;1(2)点M在线段PC上，？= &#

6、167;?,?若平面PAD丄平面 ABCD，且PA=PD=AD=2 ，求二面角 M-BQ-C 的大小.【答案】 解：(1)证明：由题意知： PQ丄AD , BQ丄AD , PQ n BQ=Q , AD丄平面PQB , 又/ AD?平面PAD ,平面PQB丄平面PAD .(2) I PA=PD=AD , Q 为 AD 的中点， PQ 丄 AD ,/平面PAD丄平面ABCD，平面 PAD n平面 ABCD=AD , PQ丄平面 ABCD , 以Q这坐标原点，分别以 QA , QB , QP为x, y , z轴, 建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q (0 , 0 , 0), A (1 , 0

7、 , 0 ),P ( 0 , 0 , v3) , B (0 , v3 , 0), C (-2 , v3 , 0 )?酒? 3?(-3，第，攀)，设?是平面MBQ的一个法向量，则？ ？?？= 0, ? ? 0 ,2 v32 v3-3?+ 丁？" ?*= 0- 3 匚丁 ，儕=(vj, 0,1, V3?= 0又:? = (0 , 0 ,1平面BQC的一个法向量,COS V ? ,? > =2,面角M-BQ-C 的大小是60 °【解析】(1) 由题设条件推导出 PQ丄AD , BQ丄AD，从而得到AD丄平面PQB，由此能够证 明平面 PQB丄平面PAD .(2) 以Q这坐标

8、原点，分别以 QA , QB , QP为x, y, z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出二面角 M-BQ-C 的大小.本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意 向量法的合理运用.6. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD , PD=DC=2 ，点E是PC的中点, F在直线PA 上.(1 )若EF丄PA，求需的值；(2 )求二面角 P-BD-E的大小.【答案】 P ( 0 , 0, 2), A (2 , 0, 0 ), C (0 , 2 , 0 ), E ( 0,1 , 1),设 F (a, 0 , c), ?=

9、 ?则(a, 0, C-2 )=入(2, 0, -2) = (2 入，0, -2 入),- a=2 入,C=2-2 入，F (2 入，0 , 2-2 入)，? (2 入，-1 ,1-2 入)，? (2, 0 , -2 ),T EF丄 PA, ?=4 入-2+4 入=0 ,解得?= 4,.? 1? 4 °(2) P (0 , 0 , 2 ), B (2, 2 , 0), D (0, 0, 0), E (0 , 1, 1),?今(0 , 0 , 2) , ?冶(2 , 2 , 0), ?=? ( 0 , 1 , 1 ),设平面BDP的法向量？= (x , y , z),2?+ 簣0 取

10、x=1,得？=(1 ,-1 ,0),设平面BDE的法向量？= (x , y , z)则2?+ 2?= 0 ?+?= 0 ,取 x=1 ,得？=(1,-1,1),设二面角P-BD-E的大小为沏？2V6则 cos 9 =o?=齐=二面角P-BD-E的大小为 arccos工.3【解析】(1 )以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用?向量法能求出？?的值.(2)求出平面BDP的法向量和设平面 BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小.本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.7. 如图所示的几何体是由棱

11、台 ABC-A iBiCi和 棱锥D-AA iCiC拼接而成的组合体，其底面四 边形ABCD是边长为2的菱形，且/ BAD=60 ° , BBi 丄平面 ABCD ,BBi=2A i Bi =2 .(I )求证：平面 ABiC丄平面BBiD ;(II )求二面角 Ai-BD-C i的余弦值.【答案】(I )证明：T BBi 丄平面 ABCD , BBi 丄 AC,/ ABCD 是菱形， BD 丄 AC , 又 BD n BB1=B , AC 丄平面 BB1D , AC?平面ABiC, 平面ABiC丄平面BBiD ;(n )设BD、AC交于点O,以O为坐标原点，以 OA为x轴，以OD为

12、y轴，建立如图所示空间直角坐标系.则？?0 , - 1,0 , ?(0 ,1 ,0?(0 , - 1, 2), ?运,0, 0) , ?存,运 1?(-,-2，2)，?乎,2 ,2),酬？ (0,2 , 0, ?乎，1, 2) 设平面AiBD的法向量?= (?，? )?由严?輕?匕? 2?= 0? ?+ 丄？?+ 2?= 02 ,取 z=昉，得?= (- 4 , 0，疵),设平面DCF的法向量?= (?，? )? > / ? ? 2?= 0由 S”?：?？迈？?+ !?+ 2 20 ,取 z= v3 ,得挈?= (4 , 0, v3)-设二面角Ai-BD-C则？?？第1319【解析】(I)由BBi丄平面ABCD ,BBi丄AC ,再由 ABCD是菱形，得 BD丄AC ,由线面垂直的判定可得 AC丄平面BBiD ,进一步得到平面 AB