【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章1.1.2瞬时变化率——导数(含答案)

1、1. 1.2 瞬时变化率导数曲线上一点处的切线如图Pn的坐标为(xn, f(xn)(n= 1,2,3,4)，P的坐标为(xo, yo).问题1：当点Pn一点P时，试想割线 PPn如何变化？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置.问题2：割线PPn斜率是什么？f Xn f X0提示：割线PPn的斜率是kn =Xn X0问题3：害U线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢?提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线 PT的斜率.问题4：能否求得过点 P的切线PT的斜率？提示：能.1 .割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线 PQ称为曲线的割线.2 .切线随

2、着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线 C.当点Q无限逼 返点P时，直线PQ最终就成为在点 P处最逼近曲线的直线1,这条直线l也称为曲线在点 P处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为 S= 8 3t2,其中S表本位移，t表小时间.问题1:该质点在1,1 + At这段时间内的平均速度是多少？8 3 1+ At 28 + 3* 俨提示：该质点在1,1 +困这段时间内的平均速度为 =-6 3四.问题2: At的变化对所求平均速度有何影响？提示：At越小，平均速度越接近常数6.1 .平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度.2 .瞬时速度一般地，如果当 At无限趋

3、近于0时，运动物体位移 S(t)的平均变化率St"*S'无 限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t= to时的瞬时谏度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.3 .瞬时加速度一般地，如果当 At无限趋近于0时，运动物体速度 v(t)的平均变化率Vt0+qVt0无 限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t= to时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.导数1 .导数设函数y = f(x)在区间(a, b)上有定义，xoC(a, b),若 限无限趋近于0时,比值 今=LjXf xo + 瓜f xoAx无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x= xo处可导,并称该常数A为函数

4、f(x)在x=x0处的导数，记作f，(xo).2 .导数的几何意义导数f' (xo)的几何意义是曲线y= f(x)在,占P(xo： f(xo可处的切线的斜率3 .导函数(1)若f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量 x的函数,该函数称为f(x)的导函数，记作f' (x),在不引起混淆时， 导函数f' (x)也简称f(x)的导数.(2)f(x)在x=xo处的导数f' (xo)就是导函数f' (x)在x= xo处的函数值.1 .利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式

5、写出直线方程.2 .函数y=f(x)在点xo处的导数f' (xo)就是导函数f' (x)在x= xo处的函数值，所以求函 数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值.高频考点H盥生.名师一点就通对应学生用书P5求曲线上某一点处的切线例1已知曲线y=x + 1上的一点A 2, 5 ,用切线斜率定义求：X2(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程.f 2 * Ax f 2 思路点拨先计算八丫，再求其在 AX趋近于。时无限逼近的值.ZAX一-，一11 一8 .，精解 1 (1): W=f(2+ Ax)f(2) = 2+ 及+汀7； 2+2 = 2 2+ A

6、x,Z-xLxAyAx瓜 1=+=+ 1.瓜 2Ax 2+ AxAx 2 2+ Ax当Ax无限趋近于零时，学无限趋近于3,瓜4即点A处的切线的斜率是34、5 3(2)切线万程为y2=4(x 2),即 3x 4y+4=0.一点通根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Ax无限趋近于0时，乎无限趋近的常数.Lx15 .1,曲线y=-2x2-2在点P 1,万处的切线白斜率为 .51o 一 一 、,解析：设P 1, - 2 , Q 1+ Ax, 21+Ax22 ,则割线PQ的斜率为kpQ =-2 1+ Ax2-2 + 5x1 .2 Ax-1.1c . .

7、5 .当Ax无限趋近于。时，kPQ无限趋近于一1,所以曲线y= 2x22在点P1,处的 切线的斜率为一1.答案：12,已知曲线y=2x2 + 4x在点P处的切线的斜率为16,则P点坐标为.fxo+Axfxo2 Ax2+4xoAx+ 4Ax解析： 设 P 点坐标为（xo, yo）,则=-=4xo+4 + 2Ax.xo+ Zx - xoM当Ax无限趋近于0时，4xo+4+2 Ax无限趋近于4xo+4,因此 4xo + 4=16,即 xo=3,所以 yo=2X 32+4X 3=18+ 12 = 30.即P点坐标为（3,30）.答案：（3,30）3,已知曲线y=3x2-x,求曲线上一点 A（1,2）处

8、的切线的斜率及切线方程.解：设 A(1,2), B(1 +Ax,3(1+ Ax)2-(1+Ax),31+Ax2 1+Ax 3X121则 kAB="= 5+ 3 Ax,当Ax无限趋近于0时，5+3 Zx无限趋近于5,所以曲线y=3x2 x在点A（1,2）处的切 线斜率是5.切线方程为 y-2=5(x- 1),即 5x y3=0.瞬时速度例2 一质点按规律 S（t）=at2 + 1做直线运动（位移单位：m,时间单位：s）,若该质点在t = 2 s时的瞬时速度为 8 m/s,求常数a的值.思路点拨先求出质点在t= 2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解. CC, AS精解t

9、65;析因为 AS= S(2+At)2) = a(2+At)2+1 a221=4aAt+a(A)2,所以 不= 4a+ a At.当At无限趋近于0时，定无限趋近于4a.所以t= 2 s时的瞬时速度为 4a m/s.故 4a= 8,即 a= 2.一点通要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量At,求出相应的位移的改变口一，一一 AS 一、， 一,AS 量AS,再求出平均速度 v =不，最后计算当 At无限趋近于0时，石无限趋近常数，就是 该物体在该时刻的瞬时速度.4 . 一做直线运动的物体，其位移 S与时间t的关系是S=3t-t2,则此物体在t = 2时的 瞬时速度为.解析：由于 AS=3(

10、2+ At)(2 + At)2(3X2 22)= 3 困4 At (2=四(J)2,，AS-At -At 2所以五=一五=-1-At.， 一,器一 ，一当At无限趋近于0时，%无限趋近于常数一1.故物体在t=2时的瞬时速度为一1.答案：1t2+2, 0Wt<3,5 .如果一个物体的运动方程S(t)=,试求该物体在t=1和t=429+3t-32, t>3,时的瞬时速度.解：当 t = 1 时，S(t)=t2+2,AS S 1 + At S 11 +用 2+ 2 3则 At=At=At=2 + 纯当At无限趋近于0时，2+ At无限趋近于2,所以 v(1) = 2;. t = 4C 3

11、, +8),. S(t)= 29+ 3(t 3)2= 3t2- 18t+ 56,AS 3 4+用 218 4+用 +56 3X42+ 18X456 一 =困困3用2 + 6 但= 无 =3 - tAH 6, ,一、一一rr AS -，当At无限趋近于。时，3G 6 6,即至一 6,所以 v(4) = 6.导数及其应用例 3已知 f(x)=x23.(1)求f(x)在x= 2处的导数；(2)求f(x)在x=a处的导数.思路点拨根据导数的定义进行求解.深刻理解概念是正确解题的关键.Ay f 2+ Ax f 2精解t析(1)因为女&2+ Ax 2 3 22 3一Ax=4+ Ax,当Ax无限趋近

12、于0时，4+ Ax无限趋近于4,所以f(x)在x= 2处的导数等于4.(2)因为1y4_1Xf a+ Ax f aAxa+ Ax2 3 a2 3x=2a+ Ax,当Ax无限趋近于0时，2a + Ax无限趋近于2a, 所以f(x)在x = a处的导数等于2a.L点通由导数的定义知，求一个函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤如下:求函数值的改变量Ay = f(xo+ Ax) f(xo);Ayf xo + Ax f xo(2)求平均变化率 七=；LjxLjx令Ax无限趋近于0,求得导数.1 ,6.函数y=x+x在x= 1处的导致是1解析：:函数y= f(x) = x+- xAy=f(1 + Ax

13、)-f(1)=1 + Ax+1 1 =1+ MAx 21 + Ax'fx当 Ax一0 时，2y-0, 1+ Ax乂即丫=H；在x=1处的导数为0.答案：07 .设 f(x)=ax+4,若 f' (1) = 2,则 a=.f1+Axfla1+Ax+4a 4解析：；=；= a,M瓜，- f(1) = a,即 a= 2.答案：28 .将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如 果第xh时，原油的温度(单位：C )为f(x)=x27x+15(0WxW8).求函数y=f(x)在x= 6处 的导数f (6),并解释它的实际意义.解：当x从6变到6+ Ax时，函

14、数值从f(6)变到f(6+ Ax),函数值y关于x的平均变化率为：9 6+ Ax f 6Ax6+ Ax27 6+ Ax + 15 627X6+15一Ax5 Ax+ 瓜 2="=5 + Ax.瓜当x-6时，即Ax一0,平均变化率趋近于 5,所以f'(6)=5,导数f'(6) = 5表示当x=6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过 1 h时间，原油温度将升高5 c.1 .利用导数的几何意义求过某点的切线方程若已知点(x0, yo)在已知曲线上，则先求出函数y = f(x)在点X0处的导数，然后根据直线的点斜式

15、方程，得切线方程y yo=f' (xo)(x xo).(2)若题中所给的点(xo, yo)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意 义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.2 . f' (xo)与 f' (x)的异同区别联系f' (xo)f' (xo)是具体的值，是数值在x= xo处的导数f' (xo)是导函数f' (x)在x= xo处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f (x)f (x)是f(x)在某区间I上隼-点都存在导数而定义的一个新函数，是函数洋不训炼经理化,置在陋类旁

16、通对应课时跟踪训练(二)一、填空题1, 一质点运动的方程为S= 53t2,若该质点在时间段1,1+困内相应的平均速度为一3 At6,则该质点在t=1时的瞬时速度为 .解析：二当At无限趋近于o时，一3 At6无限趋近于常数一6, .该质点在t=1时的瞬时速度为6.答案：62.函数f(x)=1 3x在x= 2处的导数为 .解析：Ay= f(2+Ax)f(2) = 3Ax,*=3zxxAy则Ax趋于0时，/= 3. 4.X故f(x)在x= 2处的导数为3.答案：31-3.已知函数y=f(x)的图象在点 M(1, f(1)处的切线万程是y=x+2,则f(1) + f' (1)= .115解析

17、：由题息知 f(1)=2，f(1)=2+2=2，所以 f(1) + f'(1)=2 + 2=3.答案：3134.曲线f(x)=2x22在点1, 2处的切线的倾斜角为 .1 21f1+Axf1 2 . 八=2g At+4g+2.,当 At一。时，竽-4g+2,+从一2 22解析：7=7MAx1 2，当Ax无限趋近于0时,f 1 + Ax -f 1.无限趋近于常数1,即切线的斜率为1.；Ax 2+ Ax r 21.切线的倾斜角为f. 4答案：745,已知曲线y=2ax2 + 1过点P(ja, 3),则该曲线在P点处的切线方程为 解析：.'= 2ax2+1 过点 P(g, 3),3=

18、2a2+1,即 a2= 1.又a。，a= 1,即 y=2x2+ 1. P(1,3).Av f 1+ Ax -f 12 1 + Ax2+ 1 -2X 121= 4+2 Zx.当从无限趋近于o时，Ty无限趋近于常数4,Ljxf'(1)=4,即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y3=4(x 1),即 4x y 1 = 0.答案：4x-y- 1 =0二、解答题1 C6.已知质点运动方程是S(t) = 2gt=h12g At 2+ 4g 4 2 - XL=At 1 .S4) = 4g + 2,即 v(4) = 4g+2,所以，质点在t= 4 s时的瞬时速度为(4g + 2) m/s.7,求过点P(1,2)且与曲线y=3x2-4x+ 2