复习专题：导数

1、导数-、导数公式(1) 、几种常见的导数 C 丄:(X：丁二( R)；(a )二:(e )二；I (log a X) =； (In x) =；(sin x) =；(cosx) =(2) 、导数运算规则：k f(x)二:f(x)g(x) =；f(x) g(x)sin x练习：1、函数y的导数为2、若 f (x) = x21n x,则 f (x)二3、若 f(x)二sin ： -cosx,则 f(： ) =二、函数的单调性f (xp=C, f (x)在区间A单调递增=f (x) 一0在A恒成立f (x) =C, f (x)在区间A单调递减=f (x)乞0在A恒成立作用：可求单调区间 = 解不等式；

2、或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于(或小于等于)0在给定区间恒成立练习：1、已知f (x)二ax3 3xx 1在R上是减函数，则a的取值范围是 2、设f (x)是函数f (x)的导函数，y = f(x)的图象如图(1)所示，贝U y = f(x)的图象最 有可能为()3、已知函数y = f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y = f(x), y = g(x)的图象%4、已知对任意实数x，有f(x)- fx) g,)gx)，且 x 0 时，f(X). 0, g (x) . 0 ,则x : 0时( )A. f (x)0, g (x)0 B . f (x) .0

3、, g (x) ：0C. f (x) 0, g (x)0D . f (x) 0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1 )内的极值.15、 已知函数f (x) = x3 - x2 ax b的图像在点P (0,f(0)处的切线方程为 y=3x-23(I )求实数a,b的值；(n )设g (x) =f(x)+ m 是2,亠上的增函数。x1(i) 求实数m的最大值；(ii) 当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点 Q的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由。1 _ a6、已知函数 f(x)=lnx-ax1(a R)x

4、1(I)当a =-1时，求曲线y二f (x)在点(2, f(2)处的切线方程；(ii )当a 时，讨论f (x)2的单调性2 a7、 已知函数f(x)=x2(x = 0，常数aR) 讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由；x若函数f(x)在X，2，:：)上为增函数，求a的取值范围.8、已知函数f(x)=x3-x 求曲线y二f(x)在点M (t, f(t)处的切线方程；设 a 0，如果过点(a, b)可作曲线y = f (x)的三条切线，证明： -a ： b ： f (a).9、 已知函数 f(x) =3ax4 -2(3a 1)x2 4x1(I)当a 时，求f(x)的极值；(II)若f(x)在-

5、1,1上是增函数，求a的取值范围6二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：(1) 斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率(2) 函数的凹凸性。(3) 判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小 值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等 于零时，为驻点。、用二阶导数判断极大值或极小值定理f (x)在X。二阶可导，且f(X。)= 0, f (Xo)-若 f (Xo)f(X)在Xo取得极大值;若 f (Xo) o右，则f(X)在Xo取得极小值.试问a为何值时，函数1fgmnx 3S

6、in3X在处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值.f (x)二 acox coSx.,兀a由假设知f(3)= 0，从而有 21 = 0，即 a 二 2.又当 a 显时，f (x)二 2sin3sin3x，且01 -,所以f (x) = 2sin x - sin 3x在x处取得极大值，且极大值f (3)3例求函数f(x)x3 - 3x29x5的极大值与极小值.33解f(x)在-2,4上连续，可导令f (xp 3x2 - 6x - 9 二 3(x 1)(X- 3p 0，得x =1 和 x= 3，思考： f (x)在X = -1取得极大还是极小值？在 X = 3取得极大还是极小值？f (x) =

7、 6x 6-1代入二阶导数表达式为-12， f (x)在X = -1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在X = 3取得极小值三、函数图像凹凸定理若f (X)在(a,b)内二阶可导，则曲线y二f (x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是f (X) 0，X (a,b).曲线y = f (x)在(a,b)内的图像是凸曲线的充要条件是f (X)亠0 ,(a,b)。几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。1.曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最

8、小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它f （Xi） f（X2）2f（定义设y二f (x)在(a, b)内可导，若曲线y二f (x)位于其每点处切线的上方，则称它为在(a,b)内下凸(或上凹)；若曲线y = f(x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b)内上凸(或下凹)相应地，也称函数y二f (x)分别为(a,b)内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)从图1 1和图1 2明显看出，下凸曲线的斜率tan= f (x)(其中为切线的倾角)f (x)随着x的增大而减小，也就f (x)来判定，因此有下述定理.