第2讲空间图形的位置关系..

1、第 2 讲空间图形的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号命题真假的判断1、4、6、8空间位置关系的证明3、5、9、10、11空间图形中有关的计算2、 7、 12一、选择题1.(2012 年高考四川卷)下列命题正确的是(C )(A) 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C) 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D) 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：利用线面位置关系的判定和性质解答.选项 A 错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；选项 B

2、错误,mBC 的三个顶点中,A、B 在a的同侧，而点 C 在a的另一侧，且 AB平行于a,此时可有 A、B、C 三点到平面a距离相等,但两平面相交；选项 D 错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，对于 C,如图，平面aQ平面=直线 m,直线 a /a/ ,过 a 作平面交a于 c,作平面交B于 d,a/,a / 0a /,a /,c /,c / .3cm,am,即答案 C 正确.故选 C.2.（2011 年浙江金华十校联考）如图，在长方体 ABCDAiBGD 中,AB=2,BC 二 AA=1,则 AB 与平面 ABC 所成角的正弦值为（D ）解析：直线 AB 与平面 AiBC

3、i所成角等于直线 AiBi与平面 AiBCi所成角,连接BiC，与 BCi相交于点 O,连接 AiO.则容易证明 BCi丄平面 AiBiO,所以平面AiBCi丄平面 AiBiO,所以直线 AiBi与平面 AiBCi所成角为ZBiAiO,故 sin /(A)2.23(B)22BiAiO=AO=322=1.故选D.(D)133.对于四面体 ABCD 给出下列四个命题：1若 AB二AC,BD二CD, BCLAD;若 AB二CD,AC二BD, BCLAD;若 AB!AC,BDL CDJ 则 BCL AD;若 AB 丄 CD,ACL BDJ 则 BC!AD.其中正确的是（B ）（A）（B）（C）仅（D）

4、图解析：如图（1）,取线段 BC 的中点 E,连接 AE,DE,AB=AC,BD=CD,BC LkE,BC IDE,BC 丄平面 ADE,AD?平面 ADE,BC LkD,故正确.如图（2）,上、下底面不为正方形的长方体中，四面体 ABCD 满足 AB=CD,AC=BD,则 BC LkD 不成立，故错误;如图，上、下底面不为正方形的长方体中，四面体 ABCD 中,AB LC,BDLCD,则 BC LkD 不成立，若成立，则 BCLAD,与底面不是正方形矛盾，故错误;设点 0 为点 A 在平面 BCD 上的射影，如图(4),连接 OB,OC,OD,AB dCD,AC 1BD,OB dCD,OC

5、1BD,点 O 为BCD 的垂心，OD JBC,BC 山 D,故正确,故选 B.4. (2012 年北京海淀模拟)已知平面a,B,直线 I,若a丄B,anp=l,贝(D )(A) 垂直于平面(3的平面一定平行于平面a(B) 垂直于直线 I 的直线一定垂直于平面a(C) 垂直于平面3的平面一定平行于直线 I(D) 垂直于直线 I 的平面一定与平面a,3都垂直解析：对于选项 A,垂直于平面3的平面与平面a平行或相交，故选项 A 错误；对于 选项 B,垂直于直线 I 的直线与平面a垂直或斜交，故选项 B 错误;对于选项 C,垂直于平面3的平面与直线 I 平行或相交，故选项 C 错误；对于选项 D,由

6、于 l?a,I?3, 所以垂直于 I 的平面一定与平面a、3都垂直，故选 D.5. 将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到空间四面体ABCD 如图(2),则在空间四面体 ABC 冲,AD 与 BC 的位置关系是(C )A图图個(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直解析：在题图(1)中的等腰直角三角形 ABC 中,斜边上的中线 AD 就是斜边上的 高，则 AD JBC,翻折后如题图(2),AD 与 BC 变成异面直线，而原线段 BC 变成两条线段 BD、CD,这两条线段与 AD 垂直，即 AD JBD,AD dCD,故 AD 丄平面 BC

7、D,所以 AD 1BC.故选 C.6.(2012 年河南洛阳模拟)已知a,B是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直 线,则下列命题中正确的是(C )(A) 若 m/a,a n p二n,则 m/ n(B) 若ml a,m n,贝Un /a(C) 若m a,n 丄p,alp,贝卩mn(D) 若a丄p,a n p=n,mln, 则ml p解析:对于选项 A,若 m / ,an=p,则 m /,或 m,n 是异面直线，所以选项 A 错误；对于选项 B,n 可能在平面a内，所以选项 B 错误；对于选项 D,m 与B的位置关系还可以是 m?B,m /,或 m 与B斜交所以选项 D 错由面面垂直的性质可

8、知 C 正确故选 C.二、填空题7.（2012 年武汉调研）如图，边长为 4 的等边三角形 ABC 中,D 为 BC 边的中点，若 将厶 ABC 沿 AD 折起之后,B、C 两点的距离等于6,则二面角 B ADC 的余弦值等于_ .解析：在等边三角形 ABC 中,AD JBC,且 BD=DC=2.如图，折起之后,AD JBD,AD 1CD,所以 ZBDC 为二面角 B AD C 的平面角.在BDC 中,2 2 2BD DC - BC2BD DC=22 3 4+22_（府2 2 2cos ZBDC二8.（2012 年江西抚州一中月考）已知 m n 是两条不同的直线,a、3是两个不同的平面，给出下

9、列命题：1若 m/a,则 m 平行于a内的无数条直线；2若a / 3,m?a,n ?3,贝U miln;3若mL a,n 丄3,min,贝U a i 3；4若a / 3,m?a,则mil 3.其中的真命题是 _ .（写出所有真命题的序号）解析：由线面平行的定义及性质知正确；对于,若 a/,m?a,n?3,则 m、 n 可能 平行，也可能异面，故错误；对于，由尺丄，可知 nLam/n-又 nL!所以 a/,故正确；由面面平行的性质知正确.答案:9.（2012 年温州市八校联考）如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 点 G,已知 AED 是厶 AED 绕 DE 旋转过程中的

10、一个图形，现给出下列四个命题1动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上；2恒有平面 AGF 丄平面 BCED；=14.答案：143三棱锥 A FED 的体积有最大值；4直线 AE 与 BD 不可能垂直.其中正确的命题的序号是_ .解析：对于命题，由题意知,AGJDE,FG IDE,故 DE 丄平面 AFG,所以平面 AFG 丄平面 ABC,则 AF 在平面 ABC 内投影在直线 AF 上,故该命题正确；对于命题，由于 DE 丄平面 AGFQE?平面 BCED,所以平面 AGF 丄平面 BCED,故命题正确；对于命题，当 AG 丄平面 ABC 时，此时 A到平面 FED 距离最大,三棱锥

11、 A FED 的体积取最大值，故命题正确；对于命题，当 AE 在平面 ABC 上的射影与直线 BD 垂直时，易证 AE 与 BD 垂 直，故该命题不正确.答案:三、解答题10. (2012 年福州市高中毕业班综合练习)已知四棱锥 P ABCD 勺三视图如图所示 PBC 为正三角形.(1)在平面 PCD 中作一条与底面 ABCDP 行的直线,并说明理由；求证:AC 丄平面 PAB;(3)求三棱锥 APBC 的高.(1)解:分别取 PC PD 中点 E、F,连接 EF,则 EF 即为所求，下证之:TE、F 分别为 PG PD 中点， EF/CD./ EF?平面 ABCD,CD 平面 ABCD,EF

12、/平面 ABCD.作法不唯一)证明：由三视图可知，PA 丄平面 ABCD,BC=2AD=2CD 二四边形 ABCD 为直角梯形.过点 A 作 AG! BC 于 G,连接 AC,贝卩 AG=CD=1,GC=AD=1.AC=AD2CD2=、2,AB=AG2BG2=. 12一(2二1)2=2,AC+AB 二BC,故 ACL AB.vPA!平面 ABCD,AC 平面 ABCD/. PALAC.vPAAAB=A/. ACL 平面 PAB.解：PBC 为正三角形，PB=BC=2.在 Rt PAB 中,PA=、PBAB2=-2.VC_PAB= SxPABAC=-X( X2X_ 2)X, 2=,3323VA_

13、PBC=1SxPBCh=1X(3X2 )hA33V47= h（其中 h 为三棱锥 APBC 勺高）.3丁 Vg/Vg,二 h=.即三棱锥 ApBC 勺高为于.11. （2012 年北京东城模拟）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCEAiBQD 中,E,F 分别为 DD,DB 的中点.（1）求证:EF /平面 ABCD;（2）求证:EF 丄 BC;求三棱锥 B1EFC 的体积VB1上FC.证明：（1）连接 BD,在厶 DDB 中,E,F 分别为 DD,DB 的中点, 贝卩 EF/ DB.又 DB?平面 ABCD,EF?平面 ABCD, EF/平面 ABCD.由题意易得 AB! BC,BQ 丄

14、 BG,又 AB,BC?平面 ABGD,ABQBC 二 B, BC 丄平面 ABGD.又 BD?平面 ABCD, BC 丄 BD.而 EF/ BD, EF 丄 BC.解:连接 BD由题易得 CF 丄平面 BDEBi, CF 丄平面 EFB, 且 CF=BF=2,TEFBDr3,2BF二.BF2BBi2二.2222=.6,BiE=,B1D12D1E2=2.2 $ 12=3,EF+BF2二BE2,即/ EFB=901 1=丄X1EF - BFCF32=1X1X.3X.6X232=1.12. (2012 年泉州市高三质检试题)如图(1),在正方形 ABC 冲,AB=2,E 是 AB 边的中点,F 是 BC 边上的一点，对角线 AC 分别交 DE DF 于 M N 两点.将厶 DAE, DCF 折起，使AC 重合于A点,构成如图 所示的几何体.VB1-EFC=VC-B1EFSB1EF-CF(1)求证：AD 丄面AEF;(2)试探究: