中国著名大学自主招生试题集锦

1、中国著名大学自主招生试题集锦复旦大学2004年保送生测试数学试题(150分钟)2003.12.21一、填空题(每题8分,共80分)842421(,那么( x, 1,(x , 2x, 1)(x , ax, 1)a,5x, 3, 5x,4,72(,那么的范围是 ( x22xy3(椭圆,1 ,那么椭圆内接矩形的周长最大值是 ( 1694(12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出4只正好能形成2 双,有种取法(中,且第一项至第八项的几何平均数为9,那么第三项为( 5(等比数列,aa,3n126(的所有整数解之和为27,那么实数的取值范围是 ( x,(a , 1)x , a,0a2222(

2、x,4)yxy , 7(,1,那么的最大值为 ( 49493328(设是方程的两解,贝U =( x,xsin, , cos,0x,xarctgx , arctgx1212553z,z9(的非零解是(1,xl, xy,210(的值域是(二、解做题(每题15分,共120分)10g(x,x,3),11(解方程:(5412,tg2,sin(,),2( sin(,),且 0,0,求(,1352223(过两抛物线C:, C:的交点的各自的切线互1x,1,(y,1)2(1)41yxa,相垂直,求(af(x)f(x)f(x),Mt,D4(假设存在,使任意(为函数的定义域),都有,那么称函数MD111有界(问函

3、数在上是否有界,f(x),sinx,(0,)xx21111, , , ? , ,35(求证:(33323n6(E为棱长为a的正方体ABCD-ABCD勺棱AB的中点,求点B到平面AEC 11111距离(7(比拟与的大小并说明理由(log2610g2525248(数列、满足,且,又,ba,a,2bab,6a, 6ba,2b,4nn , 1nnnn,1nn11anlim 求；(2) ( a,bnnbn简单解答：1(,0.6,0.8) 一、填空题:1.2. 3.20 4. ,23 二、解做题：5(证实1:11111,(,), 3(m,1)m(m, 1)(m,1)m(m , 1)mm 1,m, 1m11

4、1m 1 , m,1 =( ,),2m,1m, 1mm, 1, m,1m 1, m,1,m 而 22111, 3m,1m 1m111111211,?,原式1+= 2, ,312324n,1n , 1nn, 12n,n , n,n(n,1) , (n,1)(n,1)证实 2:11n,n,1, 2nn,1(nn,1)n,11n,n,111,2nnn(n,1)n,1n111111 原式1, 2(1, , , ,),3,3 223n,1nn同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题(本大题共有8题,只要求直接填写2果,每题答对得 5分,否那么一律得零分,本大题总分值40分)1(函数f

5、xxx()log(sincos), ,的单调递增区间是( 12vvt,()的2(如下图,为某质点在20秒内作直线运动时,速度函数v(cm/s)图象,那么该质点运动的总路程s=(厘米)(20 3(设a与b是两条非相互垂直的异面直线,与,分别是过直线a与b15 的平面,有以下 4 个结论:(1) b/, (2) b, (3) ,/, (4),10那么其中不可能出现的结论的序号为 (4(设某地于某日午后2时到达最高水位,为3.20米,下一个最高水位5恰在12小时后到达,而最低水位为0.20米.假设水位高度h(米)0 15 t(s) 510的变化由正弦或余弦函数给出,那么该地水位高度h(米)作为时间(

6、单位：时,从该日零时起算)的函数的表达式为t(357,5(设,是第二象限角,sin,sin2, 那么=( ,58,6(复平面上点A与点B分别对应复数2与2i ,线段AB上的动点P对应复数Z,假设2复数z对应点Q点Q坐标为(x,y),那么点Q的轨迹方程为( 7(设有正数 a与b,满足 a<b,假设实数 x,y,x,y ,使x+y是a与b的算术平均数,x?y11221122xy 11是a与b的几何平均数,那么的取值范围是 ( 2()xy , 228从0,1,2 ,9这10个数码中随机抽出5个,排列成一行,那么恰好构成可 以被25整除的五位数的概率是 用分数给出答案二、解做题本大题共有5题,解

7、答以下各题必须写出必要的步骤,本大题满分60分22fxxxx421, ,9此题总分值12分试利用三角函数求函数的最大值与最小值10此题总分值12分求证：对于任何实数a与b,三个数：|a+b|,|a-b|,|1,a| 中 至少有一个不1小于2211此题总分值12分设抛物线y=x,2k,7x , 4k,12与直线y=x有两个不同的 交点,且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖,试问：实数k应满足什么 条件,P 12此题总分值12分设四棱锥P ABCDfr,底面ABC此边长为1的正方形,且 PA/H ABCD1求证：直线PCfi线BD;2过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥E

8、 BCD勺体积取到最大值,求此时四棱锥 P-ABCD勺高EA DB C213此题总分值12分设有抛物线y=2pxp>0,点B是抛物线的焦点,点C在 正x轴上,动点A在抛物线上,试问：点C在什么范围之内时BACg锐角,上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题每题5分,共50 分1442xx, , , 221(方程的两根满足,WJ p,(p,R)( xpx,0xx,121222P41,88 ,那么 x=( 2( 一,sincos,(0,)xxx128211n, 120043( n,Z,有,贝U n,( , 一 (1)(1)n20044(将3个12cnrK 12cm的正方形沿邻边的

9、中点剪开,分成两局部(如左图),将 这6局部接于一个边长为的正六边形上(如以下图),假设拼接后的图形是一个多62面体的外表展开图,该多面体的体积为 (5(,x、y,R,贝U(x,y)=( 23333,xy222212n, 6(=( 2468(1)(2),? n3327(假设 z=1,且 z,C,贝 Uz, 2z, 2z, 20,(8(一只蚂蚁沿1X2X3立方体外表爬,从一对角线一端到另一端最短距离为(9(4封不同的信放入4只写好地址的信封中,装错的概率为 ,恰好只有 一封装错的概率为(10(等差数列a中,=( aaaa, , , ,44aaa , n3711195916二、解做题(第1题8分,

10、第2、3、4题各10分,第5题12分)32xaxbxc, , , ,01(的三根分别为a,b,c ,并且a,b,c是不全为零的有理数,求a,b,c 的值(2(是否存在三边为连续自然数的三角形,使得(1)最大角是最小角的两倍;(2)最大角是最小角的三倍；假设存在,求出该三角形；假设不存在,请说明理由(2axxb, , 83(的最大值为9,最小值为1,求实数a,b( y,2x , 14(月利率为一采用等额还款方式,那么假设本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于,的函数关系式(假设贷款时间为2年)(5(对于数列a:1,3,3,3,5,5,5,5,5,即正奇数k有k个,是否存在整数r,s,t ,使

11、得对于narnst, , , 口任意正整数n都有恒成立(x表示不超过x的最大整数)(n2005年复旦大学测试试卷一、填空题：Cxx1,C2x,R|221B1(A= , B= A=(表 xlogxx,R|10:B, , ,2示B在R上的补集)(113002(数 x 满足,求(x , ,1x 一 300xx3(求尸的圆心坐标,53sin5cos, , ,0,2,22y,x , 1AB4(JM物线与直线交于 A和B两点,最大时,a=( y,2x ,2ax a22lim11nnnn , , ,5(,(, , n,n(n, 1)6(求 1+3+6+ ,(,27(一个班20个学生,有3个女生,抽4个人去参

12、观展览馆,恰好抽到1个女 生的概率为(100038(求在十进制中最后 4位(x, 2002, , , fx , 2f,4015,x9(定义在 R上的函数 f(x)(x,1) 满足,那么,x,1, f(2004),(1 , sinxy,10( 求的最大值是( 2 , cosx二、解做题22xy, ,11在四分之一个椭圆x>o, y>0上取一点P,使过P点椭圆的切线与坐标22ab轴所围成的三角形的面积最小AC2柞 A ABC中,tanA:tanB:tanC=1:2:3 ,求AB3在正方体 A B C DABCLfr, E、F、G点分别为 AD AA AB中点,1111111求:1 B

13、到面EFGE离;2 二面角G-EF-D平面角,1444在实数范围内求方程：的实数根1073 , , ,xxnnsin, , cos,sin, , cos,a5,求关于 a 的表达式0,a,26直线l与双曲线xy,1交于P和Q两点,直线l与x轴交于A,与y轴交于B,求证：AP,BQxn,4121, 一 7定义在 R上的函数 fx, , S,f , f , , fn=2,3, ,nxnnn4, 2,111, , , ,? M,n,21 求；2是否存在常数 M>0 ,有SnSSS231n,2006年上海交通大学推优、保送生测试数学试题一、填空题每题5分,共50分1矩形ABCM, AD=a AB

14、=h过A、C作相距为h的平行线AE A F DCF,那么 AF=2一个正实数与它的整数局部,小数局部成等比数列,那么这个正实数是 B C E 32005的末尾有连续 个零3210x4展开式中,项的系数为 2xx,5在地面距离塔基分别为100m 200m 300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分 别为,那么塔高为 ,90且,：6(三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为 ;在一次游戏中,甲获胜的概率为 (2yxaxa,10g()(,13) 在7(函数上单调递增,那么实数a的取值范围是3(528(的非实数根,=( ,(1)(1),是x,19(2张100元,3张50元,4张10元

15、人民币,共可组成 种不同的面伯：(k) 210(,那么数列前100项和为( a,aknkkk!(1)!(2)!,二、解做题(第11题8分,第12、13、14题每题10分,第15题12分)211(a,b,c,R , abc,0 , b,c , a(b,c)x , b(c,a)x , c(a,b),0 有两个相等根,111成等差数列(求证:,abc2x2, ,ya1(1)12(椭圆,一顶点A(0,1),是否存在这样的以A为直角顶点的内 接于椭2a圆的等腰直角三角形,假设存在,求出共有几个,假设不存在,请说明理由(213(|z|=1 , k是实数,z是复数,求|z+kz+1|的最大伯：(14(假设函

16、数形式为为关于x的多项式,fxyaxbycxdyaxcx(,)()()()(),(),(),其中bydy(),()fxy(,) 为关于y的多项式,那么称为P类函数,判断以下函数是否是 P类函数,并说明理由(22(1) 1+xy; 1+xy+xy(32215(设(kxkxkxk, 一一 ,9,29270 解方程2006年复旦大学推优、保送生测试数学试题1(此题20分)求和：l) ) 7777777777 ,? ,n 个 7 200520052005200520052005200520052005, , , , ? ? ,n 个 20052(此题15分)试构造函数f(x),g(x) 其定域为(0,

17、1),值域为0,1(1)对于任意a,0,1 , f(x),a 只有一解；(2)对于任意a,0,1 , g(x),a有无穷多个解(3(此题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多 少个这种四位数(14(此题15分)对于任意均为非负实数,且,nNxxx, ? xxx, , , , ? 12n12n21试用数学归纳法证实：成立(,xxx? (1)(1)(1)12n20212222nn5(此题 20 分)求证:()()()()CCCCC,一, ? nnnnn22xaxb, , 6(此题20分)a,b满足何条件,可使,1恒成立(2xx - 227(此题20分)以下各式能否在实数范围

18、内分解因式,假设能,请作出分解；假设不 能,请说232432 明理由(1) x+1 x+x+1 x+x+x+1 x+x+x+x+1,8(此题20分)解三角方程：为一实常数(axxasin()sin29, , , , 42x2,yx,2CCy:1 , ,9(此题20分)曲线,曲线C关于直线对称的曲线为曲线,41,CCCC曲线与曲线关于直线对称,求曲线、的方程 (yx, , 52210(此题20分)抛物线,直线都过点(1 , ,2)且互相垂直,假设抛物线 yax,ll,12与直线l,l中至少一条相交,求a的取值范围(1211(此题15分)f(x)在1,)上单调递增,且对任意x,y,1,),都有 f

19、(x , y),f(x) , f(y)成立,证实：存在常数k,使f(x),kx 在x,1,)上成立(上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每题5分,共50分)fx()2(3)(23)61fxfxx 一,fx(),1(设函数满足,那么(11ab364,abc,2(设均为实数,且,那么(,abx2axxa, , , , 122a,0a,13(设且,那么方程的解的个数为 (4(设扇形的周长为6,那么其面积的最大值为(11!22!33!,? nn5(22xxyy(1)(1),MN,6(设不等式与的解集分别为 M和N(假设,那么k的xyk,最小值为(x21n,fx(),7(设函数,WJ

20、 ( Sfxfxnfx, , , , , ,12()3()()? x25fxaxax()(cos)(sin), , , a,08(设,且函数的最大值为,( a,29(6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,那么其中一人交卷时为到达通道而打搅其余 尚在测试的考生的概率为(21x,n,1,2, ? 10(函数,对于,定义,假设,fxffx()(),fxfx()(),fx(),1nn, 11553x, 1那么(fx(),28二、计算与证实题(每题10分,共50分)11(工件内圆弧半径测量问题(为测量一工件的内圆弧半径,工人用三个半径均为的

21、圆柱形量棒放在如图与ROOO,r123工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度h, O2rmmhmm,10,4用h表示的函数关系式,并计算当时,的值(试写出RRfx()fxxx()sincos, , 12(设函数,试讨论的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期0,2,性),求其极值,并作出其在内的图像(,2313(线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短ABABMyxy,距离和此时点的坐标(M43214(设,试证实对任意实数：fxaxxaxa()(1)(32)4, , , , ,afx()0,(1)方程总有相同实根；(2)存在,包有(xfx()0,00b

22、a15(等差数列的首项为,公差为 b,等比数列的首项为b,公比为, aa,nnn,1,2, ? ab,其中均为正整数,且(ababa,11223(1) 求的值；aab,(2)假设对于,存在关系式,试求 b的值；ab , ,1,nnmn(3) 对于?S足(2)中关系式的,试求(aaaa , , , ? m12m12. ,23. 294. 4n, ,1!15.,6. 21,nnx, ,10, , ,2,7.,nn1121 , , , , ,x,0,48. ,22439. 4523x,10. 53,x22Rmm,6011. , Rrr, , h11,11,k , kZ,kZ,kk, , k , ,1

23、2.;偶函数;；1,2,一, , , 242224,周期为2,525M,13. ; d,min,424,14.略；反证法232nn,32215. 2;3;2021年交大冬令营数学试题 2021.1.1 (填空题x,213,1fx,1(假设,贝U ( ()gxfx()(),g(),x , 215x, 12(函数的最大值为 ( y,2x , 83(等差数列中,那么前项和取最大值时,的值为 ( 53aa,Snn813n22zazaa, , ,20|1z,4( 复数,假设存在负数使得,那么(a,a1335(假设,( cossin xx,cossinxx,21a,a6数列的通项公式为,那么这个数列的前

24、99项之和,nnnnnn , , , 1(S,99329899x7(中的系数为 ( , , , , (1)(1)xx(1)(1), , , , xx135a8(数列中,a,0a,6a,20a,42a,a,a,此数列的通项公式为(a,a,72a,7n889(甲、乙两厂生产同一种商品(甲厂生产的此商品占市场上的80%乙厂生产的 占20%;甲厂商品的合格率为95%乙厂商品白合格率为90%玲某人购置了此商品 发现为次品,那么此次品为甲厂生产的概率为 (222210(假设曲线 与Cxay:()1, 的图像有3个交点,那么a,( Cxy:0,21二(解做题1(30个人排成矩形,身

25、高各不相同(把每列最矮的人选出,这些人中最高的设为;把每ab行最高的人选出,这些人中最矮的设为(b(,)是否有可能比高,ab(,)和是否可能相等,a2(0)a,fxx(),ffxx(),2(函数,且没有实数根(那么是fxaxbxc(), 一否有实数根,并证实你的结论(3(世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A组,进行主客 场比赛(规定每场比赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分 (比赛结束后前两名 可以晋级(,)由于4支队伍均为强队,每支队伍至少得 3分(于是甲专家预测：中国队至少得10分才能保证出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能保证出线(问：甲、乙专家哪个说的对,为什

26、么,1(,)假设不考虑中条件,中国队至少得多少分才能保证出线,inN、,4(通信工程中常用n元数组表示信息,其中或1,(设(,)aaaa a,0123niduv(,),表示和中相对应的元素不同的uaaaa,(,) vbbbb,(,) uv123n123n 个数(u,(0,0,0,0,0)duv(,)1,(,) 问存在多少个5元数组 使得；vu,(1,1,1,1,1)duv(,)3,(,) 问存在多少个5元数组 使得；v(,) 令,一uaaaa,(,) vbbbb,(,) w,(0,0,00)123n123n,n 个 0duwdvwduv(,)(,)(,) ,求证:(222AB ypxp,205

27、(曲线与圆交于两点,线段的中点在 AByx,(2)3xy,一,上,求(P2021年交大冬令营数学试题参考答案2021.1.1 一 (填空题x,213,1fx,1(假设,贝U(2 ()gxfx()(),g(),x , 215x, 112(函数的最大值为 ( y,24x , 83(等差数列中,那么前项和取最大值时,的值为 (20 53aa,Snn813n15,22zazaa, , ,20|1z,4( 复数,假设存在负数使得,那么(a,a2111335(假设,贝 ( cossin xx,cossinxx,1621a,a6(数列的通项公式为,那么这个数列的前99项之和,nnnnnn,- 1(1)9(

28、S,99103429899x7(中的系数为(3921225 C,(1)(1)xx(1)(1), , , , xx100135a8(数列中,a,0a,6a,20a,42a,a,a,n1350246246nn(1),7(1)(1), nn,此数列的通项公式为(a,a,72a,n7889(甲、乙两厂生产同一种商品(甲厂生产的此商品占市场上的80%乙厂生产的 占20%;甲厂商品的合格率为95%乙厂商品白合格率为90%就某人购置了此商品 发现为次品,2那么此次品为甲厂生产的概率为 ( 3222210(假设曲线 与Cxay:()1, 的图像有3个交点,那么(,1 Cxy:0,a,21二(解做题1(30个人

29、排成矩形,身高各不相同(把每列最矮的人选出,这些人中最高的设为;把每ab行最高的人选出,这些人中最矮的设为(b(,)是否有可能比高,ab(,)和是否可能相等,a11(解：不可能,a、bab,?假设为同一人,有；a、bab,?假设在同一行、歹！J,那么均有；a、bb?假设不在同一行、歹I,同如图1以5*6的矩形为例,记所在列与所在 a行相交的人为.x由于为列最矮的人,所以有；aa、xax,bx、bx,又由于b为列最高的人,所以有；axb,于是有.ab,综上,不可能有图21,2,3302有可能,不妨令30个人身高由矮至高分别为,如图2所示：,ab,26此时有(2(0)a,fxx(),ffxx(),

30、2( 函数,且没有实数根(那么是fxaxbxc(), 一否有实数根,并证实你的结论(解：没有.2 法一：无实数根,fxxaxbxc()(1)0, ,一,2 ; ,(1)40bacffxx()0,(222aaxbxcbaxbxccx()()0 ,22222( aaxbxcaxaxbaxbxccx()()0, ,2222( aaxbxcxaxbxcxbaxbxcb()()(1)(1)(1)0 , , ,222,aaxbxcaxbxcbaxbxc, , , ,(1)(1)(1)(1)0(,222axbxcaxabxbc ,(1)(1)10(222 于是有或(axbxc , , , ,(1)0axab

31、xacb , , , , , ,(1)102; ,(1)40bac1222,abaacb(1)4(1) 2222, , ,abaca(1)4440.,故均不存在实数根.fxx(),a,0 法二：假设,那么,ffxfxx()(),; 于是fxx(),假设 a,0 ,那么,ffxfxx()(), 于是；ffxx(), 没有实数根所以3世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A组,进行主客 场比赛规定每场比赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分 比赛结束后前两名 可以晋级,由于4支队伍均为强队,每支队伍至少得 3分于是甲专家预测：中国队至少得10分才能保证出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能保证出线问：甲、乙专家哪个说的对,为什么,1中条件,中国队至少得多少分才能保证出线,假设不考虑,1解：乙专家,假设中国队得10分,那么可能出现其余三队12分、10分、10分的情况,以澳大 利亚12分,卡塔尔10分,伊拉克3分为例,得分情况如下表.中国队无法保证 晋级,因此甲专家说的不对.澳澳中中卡卡伊伊总分3 0 3 0 3 3 12 澳0 3 1 3 0 3 10 中0 3 1 0 3 3 10 卡0 0 3 0 0 0 3 伊假设中国队得了 11分而无法晋级,那么必为第