2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1导数的概

1、第一课时归纳推理问题 1 我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电.问题 2:由问题 1 你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电.问题 3:最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用 适当的数填入表中年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135145舒张压(水银 柱/毫米)70737578808388提示：14085问题 4:由问题 3 中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高.问题 5：数列an的前五项为 1,3,5,7,9 试写出an.提示：an= 2n

2、1(nN).1. 推理(1) 推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.(2) 推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分,前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么：结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推岀的知识是什么.2. 归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.2(2)归纳推理的思维过程如图3实验、观察概括、推广猜测一般性结论（3）归纳推理的特点1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.2由归纳推理得到的结论具有猜狈面性质，结论是否真实，还需经过

3、逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具.3归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.归纳升华领悟-1 归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式因此，由归纳得到的结论超越 了前提所包容的范围.2归纳是根据若干已知的条件（现象）推断未知结论（现象），因而，结论（现象）具有猜 测的性质.3归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.4.观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验， 为知识的总结和归纳提供依据.5 由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具

4、体到抽象的认 识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一.丨、刁高频琴点题组化名师一点就通对应学生用书 P13例 1已知数列an的第 1 项ai= 1，且an+1=（n= 1,2，），求出a2，a3，a4,并推测an思路点拨数列的通项公式表示的是数列 根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出an 的第n项an与序号n之间的对应关系,n与an的关系即可解决.归纳推理在数列中的应用4精解详析当n= 1 时，a1= 1；当n= 2 时，a2=占=1；5观察可得，数列的前 4 项等于相应序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为一点通在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳

5、推理得出结论.这就需要在进行 归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论.1.已知正项数列an的前n项和为S,且满足 S=1an+ .求出 a,屯a3,a4,并推2、an/测an.1( 1、a1+a2+a3+a4= a4+2 .a4? . 3+ a4=药，-a4= 2,3;观察可得，an=n-,n 1.an+1+an 1当n= 3 时,当n= 4 时，14.1a+ a2=2a2+a，即1 11+ 2a2=纭， a2= 2- 1 ；即,2+尹=丄2a3,丄a3，-a3= 叮 3 2 ；121+2131 +31又an0,.a1=

6、1 ；62.已知数列an中，32= 6, -=n.an+1an+ 1(1)求a1,a3,a4；7猜想数列an的通项公式.a2+ai 1解：由a2= 6,= 1,得ai= 1.a2ai+ Ia3+a2 1由=2,得a3= 15.a3a2+1a4+a3 1/ 冃由040+1 =3,得a4=28.故a1= 1,a3= 15,a4= 28.(2)由a1=1=1x(2x11)；a2=6=2x(2x21)；a3=15=3x(2x31);a4=28=4X(2x41),猜想an=n(2n 1).1 1归纳推理在不等式中的应用例 2 对任意正整数n,试归纳猜想 2n与n2的大小关系.精解详析当n= 1 时，21

7、12； 当n= 2 时，22= 22;当n= 3 时，2352;当n= 6 时，2662.归纳猜想，当n= 3 时，2nn2.一点通对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较， 常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处.对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简.思路点拨给n从小到大赋值计算各式的值83观察下列式子：1311511171+ 222，1+ 22+亍3，1+夕+亍+ 424，猜想第n个不等式为12X1+1解析：第 1 个不等式：1

8、+2；第 2 个不等式：112X2+11 +尹2+2 2+1；第 3 个不等式：1112X3+11 +22+孑+； + 2 3+1；故猜想第n个不等式为11112n+11 + 亍+2+2+2.23 4n+n+1答案：1112n+11 +艺+S2+n+12n+ 14对任意正整数n,猜想nn+1与(n+ 1)n的大小关系. 解：n= 1 时，1221；n= 2 时，2343;n= 4 时，455：n= 5 时；56.据此猜想，当n3 时，nn+1(n+ 1)MLS归纳推理在图形推理中的应用例 3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图:由于图中 1,3,6,10 这些数能够表示成三角形

9、，故被称为三角形数，试结合组成三角形 的数的特点，归纳第n个三角形数.1X22X33X44X5思路点拨将 1,3,6,10 分别写成一厂，一厂，一厂，一厂,据此可完成本题的求解.精解详析观察项与项数的关系特点如下:项1234项数1X22X33X44X52222分析：项的各分母均为 2,分子分别为相应项数与相应项数与1 和的积.9n n+ 丨*归纳：第n个三角形数应为-2-(n N).一点通此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点.题目类型为已知几个图形,图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通

10、项公式或前n项和等.5下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:设第n个图有an个树枝，则an+1与an(n1)之间的关系是 _ .解析：由图可得，第一个图形有 1 根树枝，ai= 1,第 2 个图形有 3 根树枝，即a2= 3,同理可知：a3= 7,a4= 15,a5= 31.归纳可知：a2= 3 = 2x1+ 1 = 2a+ 1,a3=7=2x3+1=2a2+1,a4=15=2x7+1=2a3+1,a5=31=2x15+1=2a4+1,由归纳推理可猜测：an+1= 2an+ 1.答案：an+1= 2an+ 16根据下图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数解析：图中

11、点的个数依次为：1,3,7,13,21.又 1=1+0X1；3=1+1X2;7=1+2X3,13=1+3X4,21=1+4X5.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1 + (n1)n,即为n2-n+1(n N).10答案：n2n+1(n N)归纳推理在数阵中的应用思路点拨由杨辉三角的前 5 行总结各行数字的规律， 由此寻找第8 行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律.精解详析 第 8 行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般规律：(1) 每行左、右的数字具有对称性；(2) 两斜边的数字都是 1,其余数字等于它肩上两数字之和；(3) 奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等

12、且最大.一点通解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：(1) 明确各行、各列数的大小；(2) 分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；(3) 按归纳出的规律写出一个一般性的结论.%龜霾第執7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n3)行的从左至右的第 3 个数是_ .解析：第 1 行，第 2 行，第 3 行，分别有 1,2,3，个数字,78910II 12131415且每个数字前后差 1,则第n 1 行的最后一个数字加3 即为第n(n3)行的从左至右的第3个数，前n 1 行共有数字 1+ 2+ 3+-+ (n 1)=“，则第n(n3)行的从左至右的第 3 个数为

13、2小nn+ 62并归纳、猜想一般规律.例 4如图是杨辉三角的前11答案：2nn+ 628.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三 角形数表，设aj(i,jN)是位于这个三角形数表 中从上往下数第i行、从左往右数第j行.如a42= 8,若aij= 2 009.则i和j的和为_.解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列， 2 009 = 2X1 005 1,所以 2 009为第 1 005 个奇数，又前 31 个奇数行内数的 个数的和为 961，前 32 个奇数行内数的个数的和为1 024，故 2 009 在第 32个奇数行内，所以i= 63,因为第 63 行的第一个数为 2X9

14、62 1 = 1 923,2 009 = 1 923+ 2(m 1)，所以m 44,即j= 44，所以i+j= 107. 答案：107方法规律小结二1归纳推理的一般步骤(1) 通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质.(2) 对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论.(3) 猜想这个结论对该类事物都成立.2.归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.益.卫燔澄嵐上乡在轨羔考庇对应学生用书 P15一、填空题1.(陕西高考)观察下列等式(1+1)=2X12(2+1)(2+2

15、)=2X1X33(3+1)(3+2)(3+3)=2X1X3X5照此规律，第n个等式可为_ .解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n+ 1), (n+n)，右边 为连续12435768101291113 151714 16 18 20 222412奇数之积乘以 2n，则第n个等式为：(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+n)= 2nx1x3X5X x(2n 1).答案：(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) (+n) = 2nx1x3x5x x(2n 1)2. 已知f1(X)= cosx,f2(x) =f1(x) ,f3(x)=f2(x),f4(x) =f3(X)，fn(

16、x)=fn1(x)，贝yf2 014(x)= _.解析：(x) = cosx,f2(x) =f1(x) = sinx,f3(x) =f2(x) = cosx,f4(x) =f3(x) = sinx,f5(x)=f4(x) = cosx,再继续下去会重复出现，周期为 4,f2 014(x) =f2(x) = sinx.答案：sinx3.根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos0 =cos0 ；cos 220 =2cos01；cos 330 =4cos03cos0;cos 440 =8cos028cos0+1;cos 550 =16cos0 -20cos30 +5cos0642依照规律猜想 cos

17、 60= 32cos0+mcos0+ncos0 1. 贝 Un=.解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1,即 32 +n 1= 1. n= 30.答案：30(1、n4已知an= 3n，把数列an的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(s,t)表示第s行的第t个数，则A(11,12) =_13解析：每行对应的元素个数分别为1,3,5，那么第 10 行最后一个数为aioo,则第 11行的第 12 个数为 an2， 即卩A(11,12) = an2=.答案:f1!1122 丿5 .经计算发现下列不等式：2 + 18210, - 4 + T552 To ,3

18、 + .*一 2+17 ：22_10,，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a,b都成立的条件不等式：_ .解析：2 + 18= 20,4.5 + 15.5 = 20,3 +2+ 17 2= 20，即各不等式左边两根号内的数之和等于 20,右侧均为 2 10.答案：当a+b= 20,a,b (0 ,+)时，有，a+, b210二、解答题解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律.由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,7.在平面内观察：凸四边形有2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六边形有对角线由此猜出凸n边形有几条对角线?解：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条；凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条；于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n1 边形多n2 条对角线，由此凸n边形对角线1*条数为 2 + 3+ 4