2017-2018学年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨创新应用教学案新人教A版选修4-1

1、第三讲圆锥曲线性质的探讨对应学生用书 P371.正射影的概念给定一个平面a，从一点A作平面a的垂线，垂足为点A,称点A为点A在平面a上的正射影.一个图形上JAL所组成的图形，称为这个图形在平面a上的正射影.2.平行射影设直线I与平面a相交，称直线I的方向为投影方向,过点A作平行于I的直线（称为 投影线）必交a于一点A,称点A为A沿I的方向在平面a上的平行射影.一个图形上各点在平面a上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影.3.正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的.因此，正射影也是平行射影， 不同的是正射影的光线与投影面垂直.而平行射影的投影光线与投

2、影面斜交.平面图形的正射 影与原投影面积大小相等而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积.4.两个定理（1）_定理 1:圆柱形物体的斜截口是椭（2）定理 2:在空间中，取直线I为轴，直线I与I相交于0点，夹角为a,I围绕I旋转得到以0为顶点，I为母线的圆锥面， 任取平面n， 若它与轴I的交角为3（当n与I平行时， 记3= 0） ，则13a，平面n与圆锥的交线为椭圆.23=a，平面n与圆锥的交线为抛物线.33A B, ACA C A E2+AC2AB+AC=BC.A B2+A C2-BC22A BA C/AC+AB2ACABCOS/BAC= 6- 2 . 2,4A E2+A C-BC半-护-2

3、A_B_A=3tza|平面与圆柱面的截线例 2如图，在圆柱OQ内嵌入双球，使它们与圆柱面相切， 切线分别为OQ和OQ,并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为Fl、F2.求证：斜截面与圆柱面的截线是以Fi、F2为焦点的椭圆.思路点拨 证明曲线的形状是椭圆， 利用椭圆的定义（平面上到两个定点 的距离之和等于定长的点的轨迹）来证明.证明如图，设点P为曲线上任一点，连接PF、PR,则PF、PR分别是 两个球面的切线，切点为Fi、F2,过P作母线，与两球面分别相交于K、K2,则PK、PK分别是两球面的切线，切点为K、Ks.根据切线长定理的空间推广，知PF=PK,PF=PK,所以PF+PF=PK+PK=K由于

4、Ki为定值，故点P的轨迹是以Fi、F2为焦点的椭圆.片法片法- -规律，那结规律，那结-（1）证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用 Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭 圆的定义判定曲线的形状.该题使用了切线长定理的空间推广（从球外一点引球的切线，切线长都相等）.4.一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为的半径为_ .cosZBA C=6,则圆柱面5解析：由 2a= 6,即a= 3,又e= cos 45b=c=ea#3=攀2 2 即为圆柱面的半径.答案：竽5.已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为 成 30角，求截线的长轴、短轴和离心率.解：由题意可知椭

5、圆的短轴为2b= 2X2,短轴长为 4.2 的圆，另一平面与圆柱的轴62b1设长轴长为2a，则有矿 sin 30 = 2， 2a=4b= 8.e=-2a 2思路点拨 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理 1 的方法证明，即 Dandelin 双球法.证明 如图，在圆锥内部嵌入 Dandelin 双球，一个位于 平面n的上方，一个位于平面n的下方，并且与平面n及圆 锥均相切.当3a时，由上面的讨论可知，平面n与圆锥的交线是 一个封闭曲线设两个球与平面n的切点分别为Fi、F2,与圆 锥相切于圆Si、S2.在截面的曲线上任取一点P,连接PF、PR.过P作母线交S于Q,交S2于Q,于是PF和PQ是从P

6、到上方球的两条切线， 因此PF=PQ.同理，PR=PQ.所以PF+P=PQ+PQ=QQ.由正圆锥的对称性，QQ的长度等于两圆Si、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在3a时，平面n与圆锥的交线为一个椭圆.方法方法- -规律规律小结小结1一一由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dan deli n 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决.6圆锥的顶角为 50,圆锥的截面与轴线所成的角为30,则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物

7、线50解析：由a=-丁= 25, $ = 30, $ a,LZS|平面与圆锥面的截线2 例 3证明：定理 2 的结论(1)，即3a时，平面n与圆锥的交线为椭圆.8,短轴长为 4，离心率为长轴长为7截线是椭圆.答案：B87.如图，已知平面n与圆锥的轴的夹角为3，圆锥母线与轴的夹角为a,a=3,求证：平面n与圆锥的交线为抛物线.证明：当3=a时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合.在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆S记圆S所在平面为n, n与n的交线记为m球切n于Fi点.在截口上任取一点P,过P作PU m于A,过P作P吐平面n于B,过P作圆锥的母 线交平面n于C,连接AB PF,

8、BC由切线长定理，PF=PC/ PB平行于圆锥的轴，/APB=3，/BPC=a.PB在 RtABP中，PA= cos3 a=3, PC= PAPF=PA即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等.截口曲线为抛物线.对应学生用书 P39一、选择题1.一条直线在一个面上的平行投影是（）A. 条直线B. 个点C. 一条直线或一个点D.不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点.答案：C2.ABC的一边在平面a内，一顶点在平面a夕卜，则厶ABC在面a内的射影是（A.三角形B. 直线C.三角形或一直线D.以上均不正确解析：当厶ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形.在

9、 RtBCP中,PC=PBCOSan N G Y 0 M G9答案：D103.下列说法不.正确的是（）A. 圆柱面的母线与轴线平行B. 圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C. 圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角 有关D. 平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然 A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确.答案：D4.设圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为 120,当圆锥的截面与轴成 45 角时，则截得二次曲线的离心率为（）A.#C. 1解析：由题意

10、知a= 60,3= 45,满足3a，这时截圆锥得的交线是双曲线，其答案：B二、填空题5用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是 _ 、_ .解析：联想立体图形及课本方法，可得结论.要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情 况.答案：圆 圆或椭圆6. 有下列说法1矩形的平行射影一定是矩形；2梯形的平行射影一定是梯形；3平行四边形的平行射影可能是正方形；4正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有 _ .（填上所有正确说法的序号）解析：利用平行射影的概念和性质进行判断.答案：7.在底面半径为6 的圆柱内有两个半径也为 6 的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭

11、圆，则椭圆的长轴长为_.离心率为cos 45ecos 60111解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O和球Q都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O由00丄ODOC丄0A故/0GC=ZA0D且0C= 0D=6,所以 Rt00C4RtA0D则A0= 00故AB=2A0=200= 002= 13.显然AB即为椭圆的长轴，所以AB=13.答案：13三、解答题8.AABC是边长为 2 的正三角形，BC/平面a,A、B、C在a的同侧，它们在a内的射影分别为A、B、。，若厶A B C为直角三角形，BC与a间的距离为 5,求A到a的距离.解：由条件可知A B=A C,/B A C=

12、90.设AA=x，在直角梯形AA C C中,A C2= 4 (5 x)2,由AB2+AC2=B C2,得 2X4(x5)2=4,x=52.即A到a的距离为 52.9.若圆柱的一正截面的截线为以3 为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60,求截线椭圆的两个焦点间的距离.解：设椭圆长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则b= 3,22. 2八2小3c c=ab= 6 3 = 27.两焦点间距离 2c= 2 27= 6 3.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2n,AB CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆

13、锥曲线？解：设O0的半径为R,母线VA= l,2nR则侧面展开图的中心角为十=,2n,a= cos 60=3X2=6,12n圆锥的半顶角a=13连接OE / O E分别是AB VB的中点, OE/ VAnVOLAr又ABL CD VOL CDCDL平面VAB平面CDEL平面VAB即平面VAB为截面CDE勺轴面,/VOE为截面与轴线所夹的角，即为&又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线.模块综合检测对应学生用书 P45（时间：90 分钟，满分：120 分）、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

14、符合题目要求的）1. RtABC中,CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与ABC相似，贝U x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，ACDBCD均与厶ABC相似.答案：B2.已知：如图,?ABCDK EF/ AC交AD DC于E、F,AD BF的延长线交于M则下列等式成立的14A.AD=AE- AMB.AD=CF- DCC.AD=BC ABD.AD=AE- ED解析：在?ABCDKAD/ BC AB/ DC15答案：A3对于半径为 4 的圆在平面上的投影的说法错误的是（）A 射影为线段时，线段的长为8B.射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C.射影

15、为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D.射影为圆时，圆的直径可能为4解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.答案：D4如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（）解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.答案：DC. 40D. 60解析：因为PA PB是OO的切线，所以/0A4/0B290,而/50,所以/AOB=360 90 90 50 =130, DF/ABAD_BFAM BMDM/ BCBF CFBMDC/ EF/ ACAE CFAD=DC.AD_AE二AMADAD=AE- AM5.如图，PA PB是O0的切线，AC是OO的直径

16、，/则/BO度数为（）A. 50B. 2516又因为AC是OO的直径，所以/BO= 180 130 =50.17答案：A6.如图，已知OO的直径AB与弦AC的夹角为 35,过C点的切线PC与AB的延长线交于点P,那么/P等于（）A. 15B. 20C. 25D. 30解析：OA= OCA=Z1,/POC=2/A=70./ OCL PCP= 90/POC=20.答案：B7如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D/DAB=80，则/ACO等于（A. 30B. 35C. 40解析：CD是OO的切线,D. 45OCLCD又ADLCD - OC/ AD由此得/ACO=

17、ZCAD/OC= OA/CA=ZACO /CAD=/CAO故AC平分/DAB/CAO=40又/AC=ZCAO/ACO=40答案：C8.（天津高考）如图，ABC是圆的内接三角形，/BAC的平分线交圆 于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述 条件下，给出下列四个结论：BD平分/.CBFFW=FD- FAAE- CE=BE- DEAF-BD= AB- BF则所有正确结论的序号是（）A.C.B.D.解析：因为/BAD=ZFBD/DBC=/DAC又AE平分/BAC即/BAD=/DAC所以/FBD=/DBC所以BD平分/CBF结论正确；18易证ABDABDF,所以AF=Bp所

18、以AB- BF=AF- BD结论正确；由切割线定理，得BF=AF- DF结论正确；由相交弦定理，得AE- DE=BE- CE结论错误.选 D.答案：D9如图，P为圆外一点，PA切圆于点A, PA=8,直线PCB交圆于C, B两点，且PC=4,ADL BC垂足为点D,ZABC=a，/ACB=3, 连接AB AC则Sin：等于（）sin31A.4C. 2D. 4解析：由PA=PC-PB,有 64= 4PB PB=16.又ZABC=a,ZACB=3,ADLBCAB=ADsina,AC=ADsin3在厶PABHAPCA中 ,ZB=ZPACZP为公共角,PABAPCAADAC APsin38 sina1

19、 = 即- - -=_，2歹BP AD 16sin3 2sina答案：B10.如图，在厶ABC中 ,ADLBC于D,下列条件:CD ACZB+ZDAC=90,ZB=ZDACAD=ABAB=BD- BC其中一定能够判定厶ABC是直角三角形的共有（）A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 0 个解析： 验证法： 不能判定ABC为直角三角形， 因为ZB+ZDAC=90,而ZB+ZDAB=90,则ZBAD=ZDAC同理ZB=ZC,不能判定ZBADbZDAC等于 90;而中ZB=ZDACZC为公共角，则厶ABCADAC又厶DAC为直角三角形，所以ABC为直角三CD AC角形；在中，由AD=AB可得AC

20、E4BAD则ZBAD=ZCZB-ZDAC所以ZBAD-Z1B.219B20DA= 90 ;而中AB=BD- BC即BB=AC/B为公共角，则ABSADBA即厶ABC为直角三角形.所以正确命题有 3 个.答案：A二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线11 （广东高考）如图，圆O的半径为A B C是圆周上的三点，满足/ABG=30,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=解析：如图，连接0A由/ABC=30,得/AO= 60是PA= OAan 60 =3.答案：312 .如图，AB是OO的直径,/BCE=解析：如图，连接AD则/ADB=90,

21、且/DAC=ZB,所以 cos /BCE=cosDA yj102- 82= 3AB=10 = 5.3答案：313.如图，AB是直径,径的长为解析：因为AB是直径,所以CD=AD- BDCDL AB于D, CD= 4-J3,AD: DB=3 : 1,则直CDL AB于D,因为AD：DB=3： 1，设DB= x，则AD= 3x.所以(4 . 3)2= 3x-x.所以x= 4.所以AB=16.答案：1614.如图，ABC中,AD/ BC连接CD交AB于E,且AE：EB=1 :2,过E作EF/ BC交AC于F,若SMDE=1，则SAEF=B2122解析：AD/ BCADEABCEBE CE2AE=DE

22、=1.EF CE2-EF/AD-AD=DC=3.ADEWAFE的高相同，SAEFEF2SADEAD32答案：3三、解答题（本大题共 4 个小题，满分 50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2315.（本小题满分 12 分）如图，已知在梯形ABCDK AD/ BC是CD的中点，EF/BC交AB于F,FG/ BD交AD于G求证：AG=DG证明： AD/ EF/ BC E是CD的中点,F是AB的中点.又FG/ BDG是AD的中点.AG=DG16.（本小题满分 12 分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD丄OE于D,割线EC交圆O于B, C两点.（1）证明：Q D B, C四点共圆;设/DB= 50,/QD= 30，求/QEC勺大小.解：（1）证明连接OA OC贝U OAL EA由射影定理得EA=ED- EO由切割线定理得EA=EB- EC故ED- EQ= EB- EC即ED=EO又/DEB=/QEC所以BDE因此Q D, B, C四点共圆.连接OB因为/OEG-ZOCB-/CO= 180,结合（1）得/OE= 180-/OCB/COE24=180/OBG-ZDBE=180/OB(180 /DBC=/DB/ODG