精品导学案：二项式定理

1、精品导学案：1. 3. 1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 .教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 .授课类型：新授课.教 具：多媒体、实物投影仪 .第一课时一、复习引入：(a + b)2 =a2 +2ab +b2 =C0a2 +C2ab +C2b2 ；(a +b)3 =a3 +3a2b +3ab2 +b3 =C；a3 +C3a2b+C/

2、ab2 +C；b。(a + b)4 =(a +b)(a +b)(a +b)(a +b)的各项都是 4 次式，即展开式应有下面形式的各项：a4, a3b , a2b2, ab3, b4 ,展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C0种，a4的系数是C0 ；恰有1个取b的情况有C41种，a3b的系数是C：,恰有2个取b的情况有C42种，a2b2的系233344数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4 ,有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4,(a +b)4 =C：a4 +C4a3b +C42a2b2 +C3a3b +C：b4.二、讲解新课：二项式定理：(a+b

3、)n =C0an +Cnanb + |l|+Cnan_V +|+C：bn(nW N")(a+b)n的展开式的各项都是 n次式，即展开式应有下面形式的各项：nn -r ra b,a b ,展开式各项的系数:每个都不取b的情况有1种，即C0种，an的系数是C：；恰有1个取b的情况有C：种，a nb的系数是C：,恰有r个取b的情况有C；种，an_rbr的系数是C：,有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn , (a +b)n =C：an +C1anb+| + Cnanbr +|+Cnbn(nw N"),这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫（a+b）n的二项展开式，它

4、有n + 1r ,项，各项的系数Cn（r =0,1,| n）叫二项式系数， Cnan'br叫二项展开式的 通项，用丁修表示，即通项中=Cnan,br.二项式定理中，设 a =1,b = x ,则(1 +x)n =1 + C：x十川+ C：xr +|H+xn.三、讲解范例:1 ,展开(1十一)4.x解一解二:1 41 11 1 23 1 314,4641(1+) =1+C4( )+C4( ) +C4L) +() =1+ +丁+xx x x x x x x x(1+1)4 =(1)4(x+1)4 =(1)4 -x4 +C：x3 +C：x2 +C：x+1lx xx -4 641=1+ + +

5、 + 234 ,x x x x例2.展开(243)6 . .x解：（24）6=3-1)6 x= ；(2x)6 -C6(2x)5 +C2(2x)4 C3(2x)3+C(2(2x)2 C6(2x)+1 x3260 121= 64x3 -192x2 240x-16023 .23x x x第二课时例3.求（x+a）12的展开式中的倒数第 4项.解：（x + a）12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9 12 _9 933 93 9T9.=Ci2X a =Ci2X a =220x a .例4.求（1） （2a+3b）6, （2） （3b+2a）6的展开式中的第3项.2 _4_2_42解：（1

6、）丁2甲=C6（2a） （3b） =2160ab , 2424 2（2） T2+=C6（3b） （2a） = 4860b a .点评：（2a+3o）6, （3b+2a）6的展开后结果相同，但展开式中的第例5. （1）求（：+白）9的展开式常数项；求 -3_）9的展开式的中间两项.3解：1 =C9（|）9（：）=C9r /"x 一2,C6 33 = 2268 ；第6项，, -3八八， ，（1）当9- r = 0,r =6时展开式是常数项，即常数项为T72_ x 3 。它的中间两项分别是第 5项、(2) (十)9的展开式共10项,3 x_4 _8_9 9 4242_ 5T5 - C9 3

7、 x - -3 , T6 = C9 xc10 -913 x159 _一2= 378x3 .第三课时例6. (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数；1(2)求(x-)9的展开式中X3的系数及二项式系数. X7 .一 _3_33解：(1+2x)的展开式的第四项是 T34i=C7(2x) =280x ,(1 +2x)7的展开式的第四项的系数是280 .1 9919 2r(2) (x)9 的展开式的通项是 Tr*=C；x9(-)r =(-1)rC；x92 , xx9-2r =3, r =3,3,.、3333x的系数(-1) C9 =T4 , x的二项式系数C9 =84 .例7.求(x2 +3x4

8、)4的展开式中x的系数.分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开.解：(法一)(x2 +3x4)4=(x2 +3x) 44_024_123_2222_323_44= C4(x3x)-C4(x3x) 4C4 (x3x) 4-C4(x3x) 4C44 ,显然，上式中只有第四项中含x的项，.展开式中含x的项的系数是 C： 3 43 =768(法二)：(x2 +3x-4)4 =(x-1)(x+4)4 = (x-1)4(x+ 4)4= (C°x4 -C1x3 : C2x

9、2-C3x : C4)(C0x4: C1x34 : C2x242: C3x43: C444)(w 4 x w 4 x w 4 xw 4 x w 4 )(V/4 x V/4 x 4 x4 x 4)，展开式中含x的项的系数是C：44 +C：43 = 768.例8.已知f (x) =(1+2x m +(1+4xF (m,n w N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值*分析：展开式中含 x2项的系数是关于 m,n的关系式，由展开式中含 x项的系数为36, 可得2m + 4n =36,从而转化为关于 m或n的二次函数求解.mn解：(1+2x) +(1+4x)展开式中含x的项为

10、Cm 2x +C： 4x =（2Cm +4C：）x1_ 1、 (2Cm +4Cn) =36,即 m +2n =18 , mn(1+2xj +(1+4xj展开式中含x2的项的系数为t = Cm22 +C：42 =2m2 -2m +8n2 -8n ,m+2n =18,m=18-2n, t =2(18-2n)2 -2(18-2n) 8n2 -8n -16n2 -148n 6122 37153、37 ,*= 16(n -n+)，当 n= 一 时，t取最小值，但 nN ,448 n=5时，t即x2项的系数最小，最小值为 272,此时n=5,m = 8 .10第四课时例9.已知（我1=）n的展开式中，前三

11、项系数的绝对值依次成等差数列,2 ,x（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项.n =8(n =1 舍去)16 J3r1 1_ 21 22解：由题意：2Cn，一 =1+Cn，()，即 n _9n+8 = 0, 22_811 吆， r C r.Tr1=C8、x ("VC"2 x j 寸16 -3r若Tr书是常数项，则 =0,即16 3r=0,4 r w Z ,这不可能，展开式中没有常数项；若Tr卡是有理项，当且仅当 竺二3r为整数，40 <r <8,r eZ , r =0,4,8 ,即 展开式中有三项有理项，分别是：T1 =x4, T5 =35x

12、, T9 = x .8256例10.求0.9986的近似值，使误差小于 0.001.66_ 0_ 1166解：0.998 =（1-0.002） =C6 +C6（-0.002）训,（-0.002）,展开式中第三项为 C（20.0022 =0.00006，小于0.001 ,以后各项的绝对值更小，可忽略不计，0.9986 =(1 -0.002)6 -C0 +C6(-0.002)1 =0.998 ,一般地当a较小时（1+a）n=1+na .四、课堂练习：6 .1.求（2a+3b ）的展开式的第3项.6 .一2 .求（3b+2a ）的展开式的第3项.3 .写出（x ）n的展开式的第r+1项.,74 .求

13、（x3 +2x ）的展开式的第4项的二项式系数，并求第 4项的系数.5 .用二项式定理展开:(1) (a +3/b)5 ；(2)511116 .化简：(1) (1 + JX)5 +(1 衣)5 ； (2) (2X2 +3x-2)4 -(2x" -3x-2)47 . (x + xlgx 5展开式中的第3项为106,求x.c 4 f 18 .求x- l展开式的中间项.< xj答案：1. T2 1,=C：(2a)6N(3b)2 =2160a4b2 .2. T21.=C2(3b)6N(2a)2 =4860a2b4 ._11 三3. Tr1 =C；（3x）n（一 二）=: Cnrx ,2

14、3 x 233 34.展开式的第4项的二项式系数C7 =35,第4项的系数G2 =280 .5.(1)(a 3b)5=a55a43b10a33 b210a2b5ab3bb3b2；白人一!"5人一 20fxx40- -32.£-。6.(1)(1 +7x)5 +(1-Vx)5 =2+20x+10x2；(2)(2x2 3xj4 -(2x2 -3x)4 =192x432 .x7.（x+x1gx 5展开式中的第3项为C52x3越x =106= x3书1gx= 105101000252lg x 3lg x -5 = 0 = 1g x = 1,lg x - - x =10, x 28.x

15、1 j展开式的中间项为（1）nC21n. x五、小结：二项式定理的探索思路：观察一一归纳一一猜想一一证明；二项式定理及通项公式的特点.六、课后作业：P36习题1.3A组1.2. 3.4七、板书设计（略）.八、教学反思：（a+b） n =这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 （a+b） 11的，其中C； （r=0,1,2, ，n ）叫做, 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养

16、学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指(a+b)n =an+C；an,b + c2aTb2+C；anbr + + 0：/这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式V, =nxn 1,同时.一 1 nlim(1+ ) =e= 2.718281也正是由二项式定理的展开规律所确定，

17、而 e在高等数学中的 n-n地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式eie=cos0+isin9 ,微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式 y=1与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由xxf (xCc fn(xJy=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+ 3(x xo)2+- (x 1!n!n f(n1)x0 .(x x0),、n.1I » J 人 Hxo)n+-(x-xo) (0 C(0, 1)以及由此建立的哥级数理论，更是广(n 1)!泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先名出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再 用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主 体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能 为力，因为这些方法都无