第1章数字逻辑电路基础

1、课程安排课程安排 第第1章章 数字逻辑基础数字逻辑基础 第第2章章 逻辑门电路逻辑门电路 第第3章章 组合逻辑电路组合逻辑电路 第第4章章 常用组合逻辑功能器件常用组合逻辑功能器件 第第5章章 时序逻辑电路时序逻辑电路 第第6章章 常用时序逻辑功能器件常用时序逻辑功能器件 第第7章章 半导体存储器和可编程逻辑器件半导体存储器和可编程逻辑器件 第第8章章 脉冲信号的产生与整形脉冲信号的产生与整形模拟电路模拟电路电子电路分类电子电路分类数字电路数字电路 传递、处理模拟传递、处理模拟 信号的电子电路信号的电子电路 传递、处理数字传递、处理数字信号的电子电路信号的电子电路数字信号数字信号时间上和幅度上

2、都时间上和幅度上都断续断续变化的信号变化的信号 模拟信号模拟信号时间上和幅度上都时间上和幅度上都连续连续变化的信号变化的信号数字电路中典型信号波形数字电路中典型信号波形绪论绪论1.1 1.1 数制与数制与数制转换数制转换 所谓所谓“数制数制”，指进位计数制，即用进位的方法来，指进位计数制，即用进位的方法来计数计数. .数制包括数制包括计数符号（数码）计数符号（数码）和和进位规则进位规则两个方面。两个方面。常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。制等。第第1 1章章 数字逻辑基础数字逻辑基础1、 十进制十进制 ( (Decimal) ) (x

3、xx)10 或或 (xxx)D 例如例如( (3176.54) )10 或或( (3176.54) )D 计数符号：计数符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、91101 1100 510- -1 110- -2权权 权权 权权 权权 数码所处位置不同时，所代表的数值不同数码所处位置不同时，所代表的数值不同 ( (11.51) )10 进位规律：逢十进一，借一当十进位规律：逢十进一，借一当十10i 称十进制的权称十进制的权 10 称为基数称为基数 0 9 十个数码称系数十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为十进制数可表示为

4、各位加权系数之和，称为按权展开式按权展开式 (3176.54)10 = 3103 + 1102 + 7101 + 6100 + 510- -1 + 410- -2权权 系数系数 1nmiii1010a)N( 例如例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1 2 2、 二进制二进制 ( (Binary) ) (xxx)2 或或 (xxx)B 例如例如 (1011.11)2 或或 (1011.11)B 计数符号：计数符号：0、1 进位规律：逢二进一，借一当二进位规律：逢二进一，借一当二 权：权：2i 基数：基数：2 系数：系数：0、1 按权展开式表示按

5、权展开式表示 (1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12- -1 + 12- -2 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 (1011.11)2 = (11.75)10 = 11.75 (1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12- -1 + 12- -2122)(nmiiiaN1 1）数字装置）数字装置简单可靠简单可靠，所用元器件少；，所用元器件少；2 2）二进制数运算）二进制数运算规则规则简单简单； 3 3

6、）数字电路既可以进行）数字电路既可以进行算术运算算术运算，也可以进行，也可以进行逻辑运算逻辑运算. .数字电路中采用二进制的原因：数字电路中采用二进制的原因：3、 八进制和十六进制八进制和十六进制 进制进制数的表示数的表示计数规律计数规律 基数基数 权权 数码数码八进制八进制 ( (Octal) ) (xxx)8 或或(xxx)O逢八进一，借一当八逢八进一，借一当八 8 0 7 8i 十六进制十六进制( (Hexadecimal) ) (xxx)16 或或(xxx)H 逢十六进一，借一当十六逢十六进一，借一当十六 16 0 9、A、B、C、D、E、F 16i例如例如 (437.25)8 = 4

7、82 + 381 + 780 + 28- -1 + 58- -2 = 256 + 24 + 7 + 0.25 + 0.078125 = (287.328125)10 例如例如(3BE.C4)16 = 3162 + 11161 + 14160 + 1216- -1 + 416- -2 = 768 + 176 + 14 + 0.75 + 0.015625 = (958.765625)10 二、不同数制间的关系与转换二、不同数制间的关系与转换 对同一个数的不同计数方法对同一个数的不同计数方法 不同数制间的关系不同数制间的关系 不同数制之间有关系吗？不同数制之间有关系吗？十进制、二进制、八进制、十六进

8、制对照表十进制、二进制、八进制、十六进制对照表770111766011065501015440100433001132200102 11000110000000 十六十六八八二二 十十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A12101010 9111001981010008 十六十六八八二二 十十 4 4、 二进制与十进制之间的转换二进制与十进制之间的转换 （1） 各种数制转换成十进制各种数制转换成十进制 （2） 十进制转换为二进制十进制转换为二进制 按权展开求和按权展开求和例：例： 数制转换还可以采用数制转换还可以采用基数连乘、连除基数连乘

9、、连除等方法等方法. .0.514832(45.5)101 -012345212120212120212(101101.1)提取提取2 2的幂法的幂法1.500 1 整数整数0.750 0基数连乘、连除基数连乘、连除例例 将十进制数将十进制数 (26.375)10 转换成二进制数转换成二进制数 26 6 1 3 01 10 12(26 )10 = (11010 ) 2 2 21.000 1.37522220.375 2一直除到商为一直除到商为 0 为止为止 余数余数 13 0整数和小数分别转换整数和小数分别转换 整数部分：除整数部分：除 2 取余法取余法 小数部分：乘小数部分：乘 2 取整法取

10、整法读读数数顺顺序序读读数数顺顺序序 .011 每位八进制数用三位二进每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。制数代替，再按原顺序排列。八进制八进制二进制二进制5. 二进制与十六进制及八进制之间的转换二进制与十六进制及八进制之间的转换 二进制二进制八进制八进制(11100101.11101011)2 = (345.726)8 (745.361)8 = (111100101.011110001)2 补补0(11100101.11101011)2 = ( ? )8 11100101.11101011 00 345726 从小数点开始，整数部分向左从小数点开始，整数部分向左 ( (小数部分向

11、右小数部分向右) ) 三位一组三位一组，最后，最后不不足三位的加足三位的加 0 补足补足三位，再按顺序三位，再按顺序写出各组对应的八进制数写出各组对应的八进制数 。补补011100101 11101011 一位十六进制数对应一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进四位二进制数，因此二进制数四位为一组。制数四位为一组。(10011111011.111011)2= (4FB.EC)16 (3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2 补补 0(10011111011.111011)2 = ( ? )16 10011111011.11101100 4FBE

12、C0 十六进制十六进制二进制二进制 :每位十六进制数用四位二进每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。制数代替，再按原顺序排列。二进制二进制十六进制十六进制 : 从小数点开始，整数部分从小数点开始，整数部分向向左左( (小数部分向右小数部分向右) ) 四位一组四位一组，最后最后不足四位的加不足四位的加 0 补足补足四位，四位，再按顺序写出各组对应的十六进再按顺序写出各组对应的十六进制数制数 。补补 010011111011 111011二进制与十六进制之间的转换二进制与十六进制之间的转换1.21.2 几种简单的编码几种简单的编码 用四位二进制代码来表示一位十进制数码用四位二进制代码来

13、表示一位十进制数码, ,这样的代码称这样的代码称为二为二- -十进制码十进制码, ,或或BCDBCD码码. . 四位四位二进制有二进制有1616种不同的组合种不同的组合, ,可以在这可以在这1616种代码中任选种代码中任选1010种表示十进制数的种表示十进制数的1010个不同符号个不同符号, ,选择方法很多选择方法很多. .选择方法不同选择方法不同, ,就能得到不同的编码形式就能得到不同的编码形式. .1.1. 二二 - - 十进制码十进制码 ( (BCDBCD码码) )( Binary Coded Decimal codes) 常见的常见的BCD码有码有84218421码、码、5421542

14、1码、码、24212421码、余码、余3 3码等。码等。常用二常用二 - - 十进制代码表十进制代码表 1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十十 进进 制制 数数1100101110101001100001110110010101000011余余 3 码码2421( (B) )2421( (A) ) 5421 码码 8421 码码无权码无权码 有有 权权 码码100110

15、0001110110010101000011001000010000权为权为 8、4、2、1比比 8421BCD 码多余码多余 3取四位自然二进制数的前取四位自然二进制数的前 10 种组合，种组合，去掉后去掉后 6 种组合种组合 1010 1111。 2. 2. 格雷码格雷码( (Gray码码) ) 格雷码为无权码格雷码为无权码, ,特点为：相邻两个代码之间仅有一位特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同不同, ,其余各位均相同其余各位均相同. .具有这种特点的代码称为具有这种特点的代码称为循环码循环码, ,格格雷码是雷码是循环码循环码. . 3. 3. 奇偶校验码奇偶校验码 原代码的基础上增加一

16、个码位使代码中含有的原代码的基础上增加一个码位使代码中含有的1 1的个的个数均为奇数（称为奇校验）或偶数（称为偶校验），通数均为奇数（称为奇校验）或偶数（称为偶校验），通过检查代码中含有的过检查代码中含有的1 1的的奇偶性奇偶性来判别代码的合法性。来判别代码的合法性。 具有检错能力的代码具有检错能力的代码 4. 4. 字符数字码字符数字码 美国信息交换的标准代码（简称美国信息交换的标准代码（简称ASCIIASCII）是应用最为广）是应用最为广泛的字符数字码泛的字符数字码 。 字符数字码能表示计算机键盘上能看到的各种符号和字符数字码能表示计算机键盘上能看到的各种符号和功能功能 。1.3.1 1.

17、3.1 二进制加法二进制加法0+0=0+0=0 01+0=0+1=1+0=0+1=1 11+1=1+1=1 10 01+1+1=1+1+1=1 11 1 表示二进制数的方法有三种，即表示二进制数的方法有三种，即原码原码、反码反码和和补码补码 用补码系统表示有符号数用补码系统表示有符号数 第一种情况：第一种情况：两个正数相加。两个正数相加。 第二种情况：第二种情况：正数与一个比它小的负数相加正数与一个比它小的负数相加 第三种情况：第三种情况：正数与比它大的负数相加正数与比它大的负数相加 第四种情况：第四种情况：两个负数相加两个负数相加 研究数字电路的基础为研究数字电路的基础为逻辑代数逻辑代数，由

18、英国数学家，由英国数学家George Boole在在18471847年提出的，逻辑代数也称年提出的，逻辑代数也称布尔布尔代数代数. . 在逻辑代数中在逻辑代数中, ,变量常用字母变量常用字母A,B,C,Y,Z, a,b,c,x.y.z等表示，变量的取值只能是等表示，变量的取值只能是“0 0”或或“1 1”.”. 逻辑代数中只有三种基本逻辑运算逻辑代数中只有三种基本逻辑运算, ,即即“与与”、“或或”、“非非”。基本逻辑函数基本逻辑函数 与逻辑与逻辑 或逻辑或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非) ) 1.

19、与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0 真值表真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB有有 0 出出 0；全；全 1 出出 1 Y 与门与门 ( (AND gate) ) 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，

20、灯闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。才亮。2. 或逻辑或逻辑 决定某一事件的诸条件中，只要有一个决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。或一个以上具备时，该事件就发生。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A有有 1 出出 1全全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或门或门 ( (OR gate) ) 1 3. 非逻辑非逻辑决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开

21、时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 1.4.2 复合逻辑运算复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成 与非与非逻辑逻辑( (NAND) )先与后非先与后非有有 0 出出 1全全 1 出出 010 001 1YA B10 111 001 1或非逻辑或非逻辑 ( NOR )先或后非先或后非有有 1 出出 0全全 0 出出 110 0YA B00 101 0与或非逻辑与或非逻辑 ( (AND OR INVERT) )先与后或再非先与后或再非异或逻辑异或逻辑 ( (Exclusive OR) )相异出相

22、异出 1相同出相同出 0同或逻辑同或逻辑 ( (Exclusive - NOR，即异或非，即异或非) )相同出相同出 1相异出相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即例：例：两个单刀双掷开关两个单刀双掷开关A和和B分别安装在楼上分别安装在楼上和楼下，上楼之前，在楼下开灯，上楼后关和楼下，上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯，反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后灯，反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯，试建立逻辑式。关灯，试建立逻辑式。1.4.3 正逻辑与负逻辑正逻辑与负逻辑 门电路的输入、

23、输出为二值信号门电路的输入、输出为二值信号, ,用用“0 0”和和“1 1”表示表示. .这里的这里的“0 0”、“1 1”一般用两个不同一般用两个不同电平值电平值来表示来表示. . 若用高电平若用高电平V VH H表示逻辑表示逻辑“1 1”,”,用低电平用低电平V VL L表示逻辑表示逻辑“0 0”,”,则称为则称为正正逻辑约定逻辑约定, ,简称简称正正逻辑逻辑; ; 若用高电平若用高电平V VH H表示逻辑表示逻辑“0 0”,”,用低电平用低电平V VL L表示逻辑表示逻辑“1 1”,”,则称为则称为负负逻辑约定逻辑约定, ,简称简称负负逻辑逻辑. . 对一个特定的逻辑门对一个特定的逻辑门

24、, ,采用不同的逻辑表示时采用不同的逻辑表示时, ,其门的其门的名称也就不同名称也就不同. . 正负正负逻辑转换举例逻辑转换举例 电平真值表电平真值表 正正逻辑逻辑(与非与非门门) 负负逻辑逻辑(或非或非门门) Vi1 Vi2 Vo A B Y A B Y VL VL VH 0 0 1 1 1 0 VL VH VH 0 1 1 1 0 0 VH VL VH 1 0 1 0 1 0 VH VH VL 1 1 0 0 0 11.5 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则1.5.1 1.5.1 逻辑函数的相等逻辑函数的相等 因此因此, ,如两个函数的如两个函数的真值表真值表相等相等, ,则

25、这两个函数一定相等则这两个函数一定相等. . 设有两个逻辑设有两个逻辑: :F1=f1(A1,A2,An) F2=f2(A1,A2,An) 如果对于如果对于A1,A2,An 的任何一组取值的任何一组取值( (共共2n组组), ), F1 和和 F2均相等均相等, ,则称则称F1和和 F2相等相等. .自等律自等律 A 1=A ; A+0=A 重迭律重迭律 A A=A ; A+A=A 交换律交换律 A B= B A ; A+B=B+A结合律结合律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C分配律分配律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C)反演律反演律 A+

26、B=AB ; AB=A + B 1.5.2 基本定律基本定律 01律律 A 0=0 ; A+1=1互补律互补律 A A=0 ; A+A=1还原律还原律 A = A= =反演律反演律也称也称德德摩根摩根定理定理, ,是一个非常有用的定理是一个非常有用的定理. . (1) (1) 代入规则代入规则 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。利用代入规则能扩展基本定律的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。一个逻辑函数替代，等式仍然成立。1.5.3 逻辑代数的三条规则逻辑代数

27、的三条规则 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。( (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。号保持不变。 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。利用反演规则或摩根定律。 原运算次序为原运算次序为 (2) (2) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+ +”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变

28、量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。Y (3)(3) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 变换时注意：变换时注意：(1) (1) 变量不改变变量不改变 (2) (2) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序

29、 (3)(3)原式中的长短原式中的长短“非非”号不变；号不变； （4 4）单变量的对偶式为自己。）单变量的对偶式为自己。A + AB = A A (A + B) = A 1.5.4 逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式1 1）消去律消去律AB+AB=A证明：证明：AB+AB=A (B+B)=A1=A对偶关系对偶关系(A+B)(A+B)=A2) 2) 吸收律吸收律1 1A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A对偶关系对偶关系A(A+B)=A3) 3) 吸收律吸收律2 2A+AB=A+B证明：证明：对偶关系对偶关系A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B) =A+BA(A+B)=

30、AB4 4）包含律包含律AB+AC+BC=AB+AC证明：证明：5) 5) 关于异或和同或运算关于异或和同或运算对对奇数奇数个变量而言，个变量而言， 有有 A1 A2 . An=A1 A2 . An对对偶数偶数个变量而言，个变量而言， 有有 A1 A2 . An=A1 A2 . AnAB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC对偶关系对偶关系(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)异或和同或的其他性质异或和同或的其他性质: :A 0=AA 1=AA A=0A (B C)=(A B ) CA (B C)=

31、AB ACA 1=AA 0 =AA A= 1A (B C)=(A B) CA+(B C )=(A+B) (A+C)F(A,B,C) =AB+AC 与或式与或式=(A+C)(A+B) 或与式或与式=ABAC 与非与非式与非与非式=A+C+A+B 或非或非式或非或非式=AB+AC 与或非式与或非式1.6 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式1.6.1 1.6.1 常用的逻辑函数式常用的逻辑函数式1.6.2 1.6.2 函数的函数的“与与或或”式和式和“或或与与”式式 “ “与与或或”式，指一个函数表达式中包含若干个式，指一个函数表达式中包含若干个与与”项，项，这些这些“与与”项的项的“或或”表示这

32、个函数。表示这个函数。 “或或与与”式，指一个函数表达式中包含若干个式，指一个函数表达式中包含若干个“或或”项，项，这些这些“或或”项的项的“与与”表示这个函数。表示这个函数。例例 ：F(A,B,C,D)=(A+C+D)(B+D)(A+B+D)例：例： F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD1 1 最小项最小项最小项是最小项是“与与”项。项。 1.6.3 1.6.3 最小项和最大项最小项和最大项 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出 2n 个乘积个乘积项，这些乘积项均具有下列项，这些乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，包含全部变量，且每个变量在该乘积项中且每

33、个变量在该乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次。出现一次。这样的乘积项称为这这样的乘积项称为这 n 个变量的最小个变量的最小项，也称为项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。变量逻辑函数的最小项。如何编号？如何编号？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项？合写出相应最小项？例如例如 3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 简记符号简记符号例如例如 CBA1015m5m44100C

34、BAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210（2） 最小项的性质最小项的性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。不同的最小项，不同的最小项， 使其值为使其值为 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1

35、11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB( (2) ) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。( (3) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 例如例如ABC+ABC=AB相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量

36、，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。消去互反变量，化简为相同变量相与。相邻相邻最小项相最小项相“或或”的情况：的情况：例：例： A B C+A B C =A B任一任一 n n 变量的最小项，必定和其他变量的最小项，必定和其他 n n 个不同最小项个不同最小项相邻相邻。2 2 最大项最大项 （1 1）最大项特

37、点）最大项特点最大项是最大项是“或或”项项。 n n个变量构成的每个最大项，一定是包含个变量构成的每个最大项，一定是包含n n个因子的个因子的 “ “或或”项；项； 在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量 形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。例例 有有A A、B B两变量的最大项共有四项：两变量的最大项共有四项：例例 有有A A、B B、C C三变量的最大项共有八项：三变量的最大项共有八项：A+ BA+ BA+ BA+ BA+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、

38、A+B+C(2) (2) 最大项编号最大项编号 任一个最大项用任一个最大项用 Mi 表示表示，M表示最大项，下标表示最大项，下标 i 为使该最大项为为使该最大项为0 0的变量取值所对应的等效十进制数。的变量取值所对应的等效十进制数。A+B+C =M4(3) (3) 最大项的性质最大项的性质 变量任取一组值，仅有一个最大项为变量任取一组值，仅有一个最大项为0 0，其它最大项为，其它最大项为1 1； n n变量的全体最大项之积为变量的全体最大项之积为0 0； 不同的最大项相或，结果为不同的最大项相或，结果为 1 1； 两两相邻相邻的最大项相的最大项相“与与”，可以合并成一项，并可以，可以合并成一项

39、，并可以 消去一个变量因子。消去一个变量因子。例例 ：有最大项：有最大项 A +B+ C, ,要使该最大项为要使该最大项为0 0，A、B、C的取值应的取值应为为1 1、0 0、0 0，二进制数，二进制数 100100所等效的十进制数为所等效的十进制数为 4 4，所以，所以相邻相邻的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他 变量均相同，则称这两个最大项变量均相同，则称这两个最大项相邻相邻。相邻相邻最大项相最大项相“与与”的情况：的情况：例：例： (A+B+C)(A+B+C)=A+B任一任一 n n 变量的最大项，必定和其他变量的最大项，必定和其他 n

40、 n 个不同最大项个不同最大项相邻相邻。3 3 最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系编号下标相同的最小项和最大项互为反函数，编号下标相同的最小项和最大项互为反函数， 即即Mi = mi或或 mi = Mi1.6.4 1.6.4 标准与或式和标准或与式标准与或式和标准或与式1 1 逻辑函数的标准与或式逻辑函数的标准与或式任何形式的逻辑式都可以转化为标准与任何形式的逻辑式都可以转化为标准与- -或式，而且逻辑函数的标准与或式，而且逻辑函数的标准与 - - 或式是唯一的。或式是唯一的。 逻辑函数式是积之和形式，且每一个与项逻辑函数式是积之和形式，且每一个与项都是最小项，该函数称为标准与都是最小项

41、，该函数称为标准与 - - 或式。或式。 任一任一逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式, ,而且而且是是唯一唯一的的. .例例 : : F(A,B,C) = A B +A C 该式不是最小项之和形式该式不是最小项之和形式=m（1，3，6，7）=AB（C+C）+AC（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC最小项之和式为最小项之和式为“与或与或”式，例：式，例：=m(2 , 4 , 6)=(2 , 4 , 6)F(A,B,C) = ABC + ABC +ABC 逻辑函数的最大项之积的形式为逻辑函数的最大项之积的形式为“或与或与”式，式，例：例：= M (0 ,

42、 2 , 4 )= (0 , 2 , 4 )F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)任一任一逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式, ,而且是而且是唯一唯一的的. .2 2 逻辑函数的标准或与式逻辑函数的标准或与式= M (1 , 4 , 5 , 6 )例例 : : F(A,B,C) = (A + C )(B + C) =(A+B B+C)(A A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)若若 F = mi则则 F = mjj iF = mj j i= mj = Mjj ij i 3 3 标准与或式和标准或与式

43、的关系标准与或式和标准或与式的关系 例例 : : F (A , B , C) = (1 , 3 , 4 , 6 , 7)= (0 , 2 , 5 )1.7.1 1.7.1 由逻辑函数式列真值表由逻辑函数式列真值表 由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：1.7 逻辑函数式与真值表逻辑函数式与真值表逻辑函数描述了某种逻辑关系。逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。真值表真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表

44、格称真值表。应输出逻辑函数值的表格称真值表。方法一方法一：将：将A、B、C三变量的所有取值的组合（共八三变量的所有取值的组合（共八 种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入 真值表中。真值表中。方法二方法二：先将函数式：先将函数式F表示为最小项之和的形式：表示为最小项之和的形式： =m（3，6，7） =AB（C+C）+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC F(A,B,C) =AB+BC例：例： 试列出下列逻辑函数式的真值表。试列出下列逻辑函数式的真值表。 F（A，B，C）=AB+BC最后根据最小项的性质，在真值表中对应于最后根据最小项的性质，在真值

45、表中对应于ABC取值为取值为011011、110110、111111处填处填“1 1”，其它位置填，其它位置填“0 0”。A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1方法三方法三：根据函数式：根据函数式F F的含义，直接填表。的含义，直接填表。 函数函数F=AB+BC表示的含义为表示的含义为：1 1）当）当A和和B同时为同时为“1”1”（即（即AB=1）时，）时，F=12）当）当B和和C同时为同时为“1”（即（即BC=1）时，）时，F=13）当不满足上面两种情况时，）当不满足上面两种情况时，F=0A B C F0

46、 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1方法三是一种较好的方法三是一种较好的方法，要熟练掌握。方法，要熟练掌握。逻辑函数式逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 ( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，的用原变量代替， 取值

47、为取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。的用反变量代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。真值表真值表逻辑式逻辑式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为逻辑式为 1.7.2 1.7.2 由真值表写出逻辑函数式由真值表写出逻辑函数式1.8 逻辑函数的化简逻辑函数的化简化简的意义化简的意义: :节省元器件节省元器件, ,降低电路成本降低电路成本; ; 提高电路可靠性提高电路可靠性; ; 减少连线减少连线, ,制作方便制作方便. .最简最简与或与或表达式的标准：表达式

48、的标准：1 1） 所得所得与或与或表达式中，表达式中，乘积项乘积项（与项）数目最少；（与项）数目最少；2 2） 每个乘积项中所含的每个乘积项中所含的变量数变量数最少。最少。1.8.1 公式化简法公式化简法 针对某一逻辑式针对某一逻辑式, ,反复运用逻辑代数公式消去反复运用逻辑代数公式消去多余的乘积项多余的乘积项和每个乘积项中和每个乘积项中多余的因子多余的因子, ,使函数使函数式符合式符合最简标准最简标准. .运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。式进行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。

49、 ABAAB CBACBAY BA )()(CBCBACBBCAY )(CBACBA A 化简中常用方法化简中常用方法: :)(FEABABY AB 吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和消去多余的与项。和消去多余的与项。 BDDCDAABCY BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 消项法消项法 运用运用 ，消去多余的，消去多余的与项。与项。 CAABBCCAAB 消因子法消因子法 运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACD

50、BA CDBA CDBABA 配项法配项法 通过乘通过乘 和和 进行配项，然后再化简。进行配项，然后再化简。1 AAAA1DCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑式化简逻辑式EFBADCCAABDAADY 解：解： EFBADCCAABAY DCCAA 应用应用BABAA DCCA DCA 例例 化简逻辑式化简逻辑式CBDBDAACY 解：解： 应用应用BABAA DABCBAC DCBAC 应用应用 AB CBACCBAC 例例 化简逻辑式化简逻辑式CAABCB

51、AY 解：解： YCAABCBA CABA 应用应用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律用摩根定律1.8.2 卡诺图化简法卡诺图化简法 该方法是将逻辑函数用一种称为该方法是将逻辑函数用一种称为“卡诺图卡诺图”的图的图形来表示形来表示, ,然后在卡诺图上进行函数的化简的方法然后在卡诺图上进行函数的化简的方法. .1 1 卡诺图卡诺图的构成的构成 卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图规则排列成的方格图。 卡诺图是一种包含一些卡诺图是一种包含一些小方块小方块的几何图形的几何图形, ,图中每个图中每个小方小方块块称为一个单元称为一个单元, ,每个单元对应一个每个单元对

52、应一个最小项最小项. .两个两个相邻相邻的最小的最小项在卡诺图中也必须是项在卡诺图中也必须是相邻相邻的的. .卡诺图中相邻的含义卡诺图中相邻的含义: : 几何相邻性几何相邻性, ,即几何位置上相邻即几何位置上相邻, ,也就是左右紧也就是左右紧挨着或者上下相接挨着或者上下相接; ; 对称相邻性对称相邻性,即图形中对称位置的单元是相邻即图形中对称位置的单元是相邻的的.二二变变量量卡卡诺诺图图AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB010 10 00 11 01 10 00 1ABAAB BABABABAB三三变

53、变量量卡卡诺诺图图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性相邻性规则相邻性规则 m1 m3 m2m7相邻性规则相邻性规则 m2 m0 m1 （对称）（对称） m4四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD0001111000 01 11 10相邻性规则相邻性规则 m m3 3m m5 5 m m7 7 m m6 6 m m1515 变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的

54、代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻 用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应的逻辑函数的逻辑函数F

55、 F的值，填在对应的小方格中的值，填在对应的小方格中。（其实卡诺图是真值表的另一种画法）（其实卡诺图是真值表的另一种画法）ABC0100011110m3m5m70 0 00 0111例：例： F（A，B，C）=ABC+ABC+ABC 用卡诺图表示为：用卡诺图表示为：2 2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法2 2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式。或式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表或标准与 -

56、 - 或式或与或式或与 - - 或式填图。或式填图。 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例 已知已知标准标准与或与或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 例例 试画出函数试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图的卡诺图解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、m1、m12、m13、m15对对应的方格填应的方格填 1，其余，其余填填0（或不填）。（或不填）。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11

57、10 1 1 1 1 1 用卡诺图表示逻辑函数，用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应只是把各组变量值所对应的逻辑函数的逻辑函数F的值，填在对的值，填在对应的小方格中应的小方格中。已已知知真真值值表表画画函函数数卡卡诺诺图图 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。的卡诺图。解：解：( (1) ) 画画 3 变量卡诺图。变量卡诺图。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1(

58、 (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填 1，其余不填。，其余不填。已已知知一一般般表表达达式式画画函函数数卡卡诺诺图图解：解：( (1) ) 将逻辑式转化为与或式将逻辑式转化为与或式( (2) ) 作变量卡诺图作变量卡诺图找出各与项所对应的最小找出各与项所对应的最小项方格填项方格填 1，其余不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。的卡诺图。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根据与或式填图根据与或式填图 1

59、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。 ABDABCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A = 0，D = 1的方格。的方格。3 3 在卡诺图上在卡诺图上合并合并最小项的最小项的规则规则 当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标1 1的方格相邻的方格相邻) )，可利，可利用最小项相邻的性质，对最小项合并。规则为：用最小项相邻的性质，对最小项合并。规则为：2 个相邻个相邻最小项

60、有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；8 个相邻最小项有个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；个变量，化简结果为相同变量的与；2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的与。，化简