第4章线性代数问题的计算机求解

1、高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)1/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 第第4章章 线性代数问题的计算机求解线性代数问题的计算机求解特殊矩阵的输入矩阵基本分析矩阵的基本变换与分解矩阵方程的计算机求解非线性运算与矩阵函数求值高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)2/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1 特殊矩阵的输入特殊矩阵的输入数值矩阵的输入符号矩阵的输入稀疏矩阵的输入高等应用数学问题的MATLA

2、B求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)3/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1 数值矩阵的输入数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵随机元素矩阵对角元素矩阵Hankel矩阵Hilbert矩阵及Hilbert逆矩阵Vandermonde 矩阵相伴矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)4/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成零矩阵、幺矩阵及单位矩阵的语法格式各

3、种输入格式 支持多维数组和其他数据结构高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)5/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.1生成一个 38 的零矩阵 A，并可以生成一个和 A 维数相同的扩展单位阵 BMATLAB求解语句注意：zeros()和 ones()也可用于多维数组的生成高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)6/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.2 随机元素矩阵随机元素矩阵矩阵的随机元

4、素 0,1 区间上的均匀分布调用格式生成 nn阶标准均匀分布伪随机数方阵生成 nm 阶标准均匀分布伪随机数矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)7/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 函数rand()也可以用于定义多维数组定义一个与 A 同样大小的随机矩阵生成 (a,b) 区间上均匀分布的随机数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)8/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 生成满足N(0,1)的正态分布的随

5、机矩阵生成满足N(m,s2)正态分布的随机数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)9/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.3 对角元素矩阵对角元素矩阵对角矩阵的数学描述其中，所有的非对角元素都为 0高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)10/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 已知向量生成对角矩阵已知矩阵提取对角元素列向量生成主对角线上第 k 条对角线为 v 的矩阵注意：k 可以是负整数高等应用数

6、学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)11/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.2diag()函数的不同调用格式生成对角矩阵对角元素提取生成主对角线上第2条对角线为 C 的矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)12/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 构造三对角矩阵构造矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)13/1752022-1-2Tuesday, 2

7、010-3- 30, 17:37:19 块对角矩阵输入块对角矩阵输入块对角矩阵函数调用函数清单高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)14/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.4 Hankel 矩阵矩阵Hankel矩阵的一般形式函数调用 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)15/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.3建立如下的Hankel矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATL

8、AB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)16/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.5 Hilbert 矩阵矩阵及及 Hilbert 逆矩阵逆矩阵Hilbert 矩阵的一般形式其中， 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)17/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 产生 Hilbert 矩阵的 MATLAB 函数求取 Hilbert 逆矩阵的 MATLAB 函数注意：Hilbert 矩阵本身接近奇异的性质，在处理该矩阵时建议尽量

9、采用符号运算工具箱高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)18/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.6 Vandermonde 矩阵矩阵Vandermonde矩阵的数学描述其中，生成Vandermonde矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)19/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.4试建立Vandermonde 矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学

10、院Slide 180 (of 188)20/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.1.7 相伴矩阵相伴矩阵一个首一化的多项式其伴随矩阵MATLAB函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)21/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.5考虑一个多项式求出它的相伴矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)22/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:

11、37:19 4.1.2 符号矩阵的输入符号矩阵的输入数值矩阵 A 转符号矩阵，以便求出解析解转换成符号矩阵的语法格式早期版本支持重载函数的方式，并置于目录sym下可以编写出compan, hankel, vander新版本不支持重载函数，只得起新函数名高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)23/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 构造符号伴随矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)24/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 1

12、7:37:19 例例 4.6给定多项式如下用解析方法建立其伴随矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)25/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 构造符号Hankel矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)26/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 构造符号Vandermonde 矩阵早期版本重载函数应当存在sym目录下新版本不同名文件可置于路径下任意目录中高等应用数学问题的MATLAB求

13、解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)27/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 任意矩阵的输入函数任意矩阵的输入函数MATLAB函数编写高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)28/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例4.7输入下面的任意矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)29/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.1.3 稀疏矩阵的输入

14、稀疏矩阵的输入稀疏矩阵矩阵的大部分元素都是零，仅有少部分非零元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵稀疏矩阵的输入稀疏矩阵与常规矩阵的转换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)30/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2 矩阵基本分析矩阵基本分析矩阵基本概念与性质逆矩阵与广义逆矩阵矩阵的特征值问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)31/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1 矩阵基本概念与性质矩阵基本概念

15、与性质行列式矩阵的迹矩阵的秩矩阵范数特征多项式矩阵多项式的求解符号多项式与数值多项式的转换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)32/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.1 行列式行列式矩阵 A = aij 的行列式定义为函数调用格式注意：该函数既可用于数值运算又可用于符号运算；方法和 A 的类型一致高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)33/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.8计算如

16、下矩阵的行列式MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)34/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.9用解析方法计算出 2020 的Hilbert 矩阵的行列式 MATLAB求解语句结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)35/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例4.10任意4x4矩阵的行列式结果代数余子式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (o

17、f 188)36/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.2 矩阵的迹矩阵的迹假设一个方阵为它的迹定义为函数调用格式迹等于特征值的和高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)37/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.3 矩阵的秩矩阵的秩矩阵A的秩定义为 为列秩， 为行秩调用格式数值方法或符号方法求秩给定精度 下求数值秩高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)38/1752022-1-2Tuesd

18、ay, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.11求下列矩阵的秩MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)39/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.12用数值方法和解析方法求解 的Hilbert矩阵的秩MATLAB求解语句数值方法解析方法数值方法可能得出错误的结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)40/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.4 矩阵范数矩阵

19、范数函数 为 向量的范数的条件： 且 的充要条件是 ，a为任意标量对向量 和 ，有高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)41/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 以下的p-范数满足以上的三个条件并且 为向量范数的记号高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)42/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 矩阵的范数矩阵的范数对任意非0向量 x, 矩阵A的范数是其他常用范数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学

20、院Slide 180 (of 188)43/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 为 矩阵的特征值，而 为矩阵 的最大 特征值函数调用格式默认的格式选项可以是 1,2, inf, fro注意：norm() 函数仅用于数值矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)44/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例4.13已知矩阵各种范数求解norm()函数局限性高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)45/175202

21、2-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.5 特征多项式特征多项式由矩阵 得如下多项式多项式 是矩阵 的特征多项式函数调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)46/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.14求出如下矩阵的特征多项式 直接计算高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)47/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 使用符号运算工具箱Leverrier-

22、Faddeev 递推算法 其中这里使用了循环结构高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)48/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 编写MATLAB函数函数主体 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)49/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.15试推导出向量 对应的Hankel矩阵的 特征多项式MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)50

23、/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 多项式系数提取多项式系数提取新函数早期版本递推算法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)51/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.16提取由向量 构成的Hankel矩阵的特征多项式的系数MATLAB求解或早期版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)52/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.6 矩阵多项式

24、的求解矩阵多项式的求解矩阵多项式的数学表示函数调用格式 其中， 是特征多项式的按降幂排列的系数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)53/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 符号运算的多项式求值符号运算的多项式求值调用格式编写函数p为多项式系数向量高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)54/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 点运算方式定义多项式运算函数调用格式给出多项式 p (符号运算工具箱)高等应用数学问

25、题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)55/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 Cayley-Hamilton 定理定理若矩阵 A 的特征多项式为则 f(A) = 0，即可以通过MATLAB验证低阶矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)56/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.17以Vandermonde矩阵为例，验证Cayley-Hamilton定理MATLAB求解语句(错误的，p不精确):使用poly1(

26、)函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)57/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例4.18证明一般5x5矩阵满足Cayley-Hamilton定理思路：生成一般5x5矩阵，求出特征多项式，求出矩阵函数并验证其为零（化简）MATLAB求解耗时大约一分钟高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)58/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.1.7 符号多项式符号多项式与数值多项式的转换与数值多项式的转换给

27、定向量数值多项式系数构成的向量转换成多项式表示符号表达式转换成系数向量的形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)59/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.19分别用数值形式和符号形式表示下面的多项式转换成符号形式的多项式转换成数值形式的多项式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)60/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵逆矩阵与广义逆矩阵矩阵的逆矩阵矩阵的广义逆高等应

28、用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)61/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.2.1 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵逆矩阵的数学描述其中， 是一个 的非奇异方阵，那么函数调用格式基本行变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)62/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.20求Hilbert矩阵的逆 Hilbert矩阵使用invhilb()函数来直接得到逆矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息

29、学院Slide 180 (of 188)63/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 1010 Hilbert矩阵1313 Hilbert矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)64/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 符号矩阵77 Hilbert逆矩阵3030 Hilbert逆矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)65/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例

30、 4.21求如下奇异矩阵的逆矩阵MATLAB求解语句使用符号运算工具箱高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)66/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.22推导如下Hankel矩阵的逆矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)67/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.23基本行变换求Hankel矩阵的逆矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息

31、学院Slide 180 (of 188)68/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 基本行变换与逆矩阵求解基本行变换与逆矩阵求解基本行变换是线性代数中很重要的变换由 rref() 函数可以得出矩阵的最简对角形式函数调用格式例4.23 由基本行变换求前面矩阵的逆矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)69/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.2.2 矩阵的广义逆矩阵的广义逆适用于奇异或/和矩形矩阵如果存在 ANA=A，则称 N 为 A 矩阵的广义逆矩

32、阵，记作不唯一定义范数最小化指标高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)70/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 矩阵 M 为矩阵 A 的Moore-Penrose广义逆矩阵的条件：(i) AMA = A(ii) MAM = M (iii) AM 和 MA 均为Hermite对称矩阵记为 ，又称伪逆 Moore-Penrose 广义逆矩阵是唯一的Moore-Penrose广义逆广义逆高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)71/1752022-1-2Tues

33、day, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.24使用pinv()函数来计算下述矩阵的逆MATLAB 求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)72/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 检验Moore-Penrose广义逆的三个条件检验 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)73/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.25对下述矩阵进行基本分析求秩高等应用数学问题的MATLAB求解

34、东北大学信息学院Slide 180 (of 188)74/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.3 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题一般矩阵的特征值与特征向量矩阵的广义特征向量问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)75/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.3.1 一般矩阵的特征值一般矩阵的特征值与特征向量与特征向量数学描述非零向量 x 是特征向量, 数值 l 是特征值调用格式 或高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide

35、 180 (of 188)76/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.26计算下述矩阵的特征值和特征向量直接运算高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)77/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.2.3.2 矩阵的广义特征向量问题矩阵的广义特征向量问题数学描述非零向量 x 是特征向量, 数值 l 是特征值，B 是整定对称矩阵调用格式 或 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)78/1752022-1-

36、2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.27已知 A,B，求广义特征值与特征向量矩阵。求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)79/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3 矩阵的基本变换与分解矩阵的基本变换与分解矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的三角分解和Cholesky分解矩阵的伴随变换、对角变换和Jordan变换矩阵的奇异值分解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)80/1752022-1-2Tuesday, 201

37、0-3- 30, 17:37:19 4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的相似变换的数学描述正交矩阵的数学描述函数调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)81/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.28求下列矩阵的正交矩阵MATLAB求解语句和证明高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)82/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.29给定试求出其正交基矩阵并证明

38、其性质高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)83/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.2 矩阵的三角分解矩阵的三角分解和和Cholesky分解分解一般矩阵的三角分解对称矩阵的三角分解 Cholesky分解正定、正规矩阵的定义与判定高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)84/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.2.1 一般矩阵的三角分解一般矩阵的三角分解数学描述其中高等应用数学问题的MATLAB

39、求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)85/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 递推计算公式：递推初值：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)86/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 MATLAB函数调用格式LU 分解P 为置换矩阵, 三角分解的三角分解的 MATLAB 求解求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)87/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:

40、37:19 LU 分解的 MATLAB 解析程序高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)88/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.30给定 两种方法调用lu()函数MATLAB求解语句步骤1：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)89/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 步骤2：证明：解析解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)90/1752022-1-

41、2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.2.2 对称矩阵的三角分解对称矩阵的三角分解Cholesky分解分解数学描述其中 A 是对称矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)91/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 对称矩阵的 Cholesky 分解算法函数调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)92/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 解析 cholsym()注意：Cho

42、lesky分解不能用于非对称矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)93/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.26对下列矩阵进行Cholesky分解MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)94/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.2.3 正定、正规矩阵的正定、正规矩阵的定义与判定定义与判定数学描述正定矩阵：对称矩阵所有的主子行列式均为正数高等应用数学问题的MATLAB求解

43、东北大学信息学院Slide 180 (of 188)95/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 判定正定矩阵的调用格式正规矩阵其中 A 是负数方阵, 是 A 的 Hermite 转置检验正规矩阵的调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)96/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.32给定 判定它是否为正定矩阵，并对其进行Cholesky分解.MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188

44、)97/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.3 矩阵的伴随变换、对矩阵的伴随变换、对角变换和角变换和Jordan变换变换一般矩阵变换成伴随矩阵矩阵的对角化矩阵的Jordan变换高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)98/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.3.1 一般矩阵变换成相伴矩阵一般矩阵变换成相伴矩阵如果存在非奇异矩阵和列向量 x矩阵 A 可以转换成一个与类似伴随矩阵的形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide

45、180 (of 188)99/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.33给定 将该矩阵转换成相伴矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)100/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 接上页标准伴随形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)101/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.3.2 矩阵的对角化矩阵的对角化如果矩阵 A 的

46、特征值互异，则特征向量矩阵 T 为非奇异矩阵，可将原矩阵变换成对角矩阵含有复数特征根的矩阵能得出复数的对角矩阵和复数相似变换矩阵。高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)102/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.34 试求出下述矩阵的对角矩阵及变换矩阵MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)103/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.35试求出下述矩阵的对角矩阵变换MAT

47、LAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)104/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 如若得出实矩阵可以得出改进的Jordan矩阵及其变换矩阵为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)105/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 Jordan矩阵变换成实矩阵矩阵变换成实矩阵变换函数新的处理命令高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)106/1752022-1

48、-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.3.3 矩阵的矩阵的Jordan变换变换Jordan 变换用于处理含有重特征值的矩阵函数调用格式 只返回 Jordan 矩阵 J返回 Jordan 矩阵 J，和广义特征向量矩阵 V高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)107/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.36给定分别用数值方法和解析方法求出该矩阵的特征值与特征向量矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)108/17

49、52022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.37求如下矩阵的Jordan分解MATLAB 求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)109/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.38A 矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)110/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.3.4 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解数学描述理论上奇异值定义其中， 是非负特

50、征值高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)111/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.40给定计算它的秩，其中计算 MATLAB直接求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)112/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 奇异值分解(SVD)的数学描述其中，A 是一个 nm 矩阵L 和 M 为正交矩阵是对角矩阵对角元素满足 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 1

51、88)113/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 奇异值分解奇异值分解奇异值分解(SVD)的数学描述其中 A 是 矩阵，L、M 为正交矩阵对角矩阵对角元素满足求解 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)114/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数MATLAB直接求解条件数过大，说明矩阵接近奇异值坏条件矩阵处理时应该慎重高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)115/17520

52、22-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.40对下列矩阵进行奇异值分解MATLAB求解语句：条件数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)116/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.41 对下面的矩阵进行奇异值分解，并验证结果 MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)117/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.4 矩阵方程的计算机求解矩阵方

53、程的计算机求解线性方程组的计算机求解Lyapunov方程的计算机求解Sylvester方程的计算机求解Riccati方程的计算机求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)118/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.4.1 线性方程组的计算机求解线性方程组的计算机求解数学描述其中，A 和 B 为给定矩阵解的三种情况高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)119/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 存在定理：当

54、 m = n 并且 rank(A) = n，则唯一解存在函数调用格式注意：推荐使用符号运算方法(1) 唯一解唯一解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)120/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.42求解线性代数方程求解与检验高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)121/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 解的判定矩阵当 rank(A)=rank(C)=rn, 方程组有无穷解通解(2) 方程组有无穷

55、多解方程组有无穷多解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)122/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 齐次方程的通解求解 A 矩阵的化零矩阵，使得 AZ = 0特解线性代数方程的线性代数方程的MATLAB求解求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)123/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.43求下列方程组的解MATLAB求解语句判定矩阵方程的可解性高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学

56、院Slide 180 (of 188)124/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 通解与检验采用基本行变换方法：解的解释自由变量方程的解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)125/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.44试求解线性代数方程组两种求解方法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)126/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 如果rank(A)r

57、ank(C)，则只能利用Moore-Penrose广义逆求解出方程的最小二乘解它使误差的范数测度取最小值.(3) 方程组无解方程组无解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)127/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.45试求方程组MATLAB求解语句最小二乘解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)128/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 如果线性方程组为对上式两端进行转置处理式中，再套用上述的几种

58、情况，则可以求解原始线性方程组高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)129/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解方程的计算机求解连续Lyapunov方程Lyapunov方程的解析解Stein方程的求解离散Lyapunov方程高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)130/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.4.2.1 连续连续Lyapunov方程方程数学描述这里，

59、假定 C 为对称正定的 nn 矩阵函数调用格式（该函数为控制系统工具箱中的函数）高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)131/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.46给定求解相应的 Lyapunov 方程，并验证精度MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)132/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 4.4.2.2 Lyapunov方程的解析解方程的解析解数学描述将Lyapunov方

60、程的各个矩阵参数表示为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)133/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 表示矩阵 A 和 B 的 Kronecker 乘积函数调用格式Kronecker乘积乘积高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 180 (of 188)134/1752022-1-2Tuesday, 2010-3- 30, 17:37:19 例例 4.47给定试求解得到Lyapunov方程的解析解MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide