利用导数求零点

1、利用导数求零点1.已知函数f x ax3 3x2 1,若f x存在三个零点，则a的取值范围是()A. , 2 B. 2,2C. 2, D. 2,00,22 .已知凡是方程2x2e2x lnx 0的实根，则关于实数 0的判断正确的是()1A.x0ln2 B.x0C.2x0lnx00 D. 2elnx。0e3 .设函数？?？= ?- ?是常数.(I )若？?= 1,且曲线？?= ?的切线？经过坐标原点(0, 0),求该切线的方程；(n)讨论？的零点的个数.4 .设函数 f x lnx m,m R. x当m e (e为自然对数的底数)时，若函数f x在a 1,a 1 (a 1)上有极值点，求实数a的

2、范围；若函数g x f x x有两个零点，试求m的取值范围. 35 .已知函数f x ax x2 xlna b (a, b R, a 1), e是自然对数的底数.(I)当a e, b 4时，求函数f x的零点个数；(n )若b 1,求f x在 1,1上的最大值.6 .设？?(?= In? ?'(花?(?)导数，若？(?= ?(?) - ?有两个不相同的 ?(?)零点，则实数口的取值范围是.参考答案1. D解析很明显a 0，由题意可得：f' x 3ax2 6x 3x ax 2 ，则由f'x 02可倚 x10, x2,a由题意得不等式：fx1fx2-82-122-1 0 ,

3、即：-42-1,a24, 2 a 2 ,a aa综上可得a的取值范围是2,00,2 .本题选择D选项. 点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a, b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)v0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数 有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其 交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.2. C【解析】令f x xex(x 0),则f' x ex x 1 0 ,函数f x在

4、定义域内 单调递增，方程即：2x262%lnx0,2x0e2x0 e ln“ lnx0 ，即 f 2x0f lnx0 ,结合函数的单调性有：2x°lnx0, 2x0 lnx0 0 .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ' (x)>0(或f ' (x)&0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以 取到.3. (1) ?= (? 1) ?(2) 0 <?< ?时，？无零点；？& 0或？?= ?，？?有

5、一个 零点；？?> ?，？?有两个零点【解析】试题分析：(I)将？代入后对函数求导，求出此时的导数即切线斜率， 可得切线方程；(H)函数求导后可得？(？?)?- ? 又t?按？?> 0, ?= 0,?< 0进行讨论，判断单调性，利用单调性求出极值可得零点个 数.试题解析：（I） ?= ?- ? ?（?= ?- 1 经过切点(?？，?- ?)的切线方程为？ (?- ?) = (?- 1)(?- ?)由0- (?- ?) = (?- 1)(0 - ?),得？= 1,所求切线为？?= (?- 1)?(U) ?(?= ?- ?当？?>。时，由？(？= 0得？?= ?？?>

6、 0时,若？?< ?，?(？< 0;若？?> ?(?> 00 函数？?在区间( 8 , ?谓递减，在区间(?+ X)单调递增，?的最小值为？?？? ?1 - ?0 V ?< ?时，？?1 - ?>? 0, ?无零点？?= ?时，？?=?1 - ?0, ?只有一个零点？?> ?, ?1 - ? 0,根据？?0) = 1 > 0与函数的单调性，？?？在区间(-X, ?+ X)各有一个零点，？?共有两个零点？?= 0时，？= ?无零点？?< 0时，由？二 0得，？?= ?由函数图象知，曲线？?= ?与?= ?<一个交点，所以？?只有一个零点

7、。综上所述，0 0?< ?，？?无零点；?< 0或？?= ?, ?有一个零点；？?> ?, ? 有两个零点2 .4. (1) e 1 a e 1 (2) 0 m -【解析】试题分析：(1)由题意得导函数在3a 1 ea 1,a 1 (a 1)上有零点，由导函数等于零得x e ,因此有a 1 e,解得a 1e 1 a e 1 (2)化简方程gx 0,得m1x3 x,利用导数研究函数3h x1x3 x图像：先减后增再减，结合趋势可得m的取值范围.3试题解析：解：(I)当m e时，f x lnx -,其定义域为0.x,1 ex ex efx 2，当 0 x e 日寸，f x 2-0

8、;x x xx当x e时，f x Je 0故f x在0,e上单调递减，在 e,上单调递增x若函数/在上有极值点，须a 1 e,解得 e 1 a e 1 a 13x1mx3x3mx(II)gX f x - - - -2,其定乂域为 0,3x x 33x令gx 0,得m 13*,令卜*1x3x,其定义域为0,.33则g x的零点为h x与y m的公共点的横坐标.h xx2 1 x 1 x 1(0,1)1单增极大值单减2故当x 1时，h x取得最大值h 1,又x 0,时，h x 0;3x 时，h x ,所以当0 m 时，g x有两个零点35.(1) 2； (n)见解析.【解析】试题分析：(I ) f

9、 ' x ex 2x 1 , f 0 0 ,由导数性质得f x是(0, +x)上的增函数，是(-X, 0)上的减函数，由此能求出f (x)的零点个数.(n)当 xG -1 , 1时，f 'x axlna 2x lna2x a1 lna,由导数性质得f(x)是-1 , 0上的减函数,0, 1上的增函数,由此利用导数性质和构造法能求出a的取值范围.4,当x 0时,ex二 f '0,0,上的增函数,当x 0时,ex. f'0,0上的减函数,0,2e20,二存在x11,2是f x在0,上的唯一零点;x22, 1是f x在 ,0上的唯试题解析：I )零点，所以f x的零点

10、个数为2.(n) f' xaxlna 2x lna 2x ax 1 Ina ,当 x 0时，由 a1 ,可知 ax1 0 , lna 0,f'x 0,当 x 0 时，由 a1 ,可知 ax1 0 , lna 0 ,f' x 0 ,当 x0 时，f ' x 0 ,二 f x是1,0上的减函数，0,1上的增函数，.二当x 1,1时，f x巾访f 0 , f x 为f 1和f 1中的较大者. minmax11而 f1 f 1 a 2lna,设 gx x 2lnx ( x 1), ax2g' x 1 、21 10 (当且仅当x 1时等号成立)，.二g x在0, 上x x x单调递增，而g 10,.二当 x 1 时，g x 0,即 a 1 时，a - 2lna 0, f 1 f 1 . af x在 1,1上的最大值为f 1 a lna.6. (-x,-1 - ln2)【解析】？(？?= In?- 2? ?= 0?= ln?2 2?.?