三角函数重心移向函数ppt课件

1、三角函数的重心移向函数三角函数的重心移向函数一种经典的说法是：三角函数存在的理由是加法定理一种经典的说法是：三角函数存在的理由是加法定理. .三角函数的重心何在？三角函数的重心何在？所谓加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公所谓加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公式、和差化积公式与积化和差公式等式、和差化积公式与积化和差公式等. .一切这些，讲的都是三角函数式的恒等变形一切这些，讲的都是三角函数式的恒等变形. . 所谓重心的挪动，难道三角的重心曾经不在这里吗？所谓重心的挪动，难道三角的重心曾经不在这里吗？请看请看20192019年的三角函数的考试年的三角函数的考试. .前台后库前台后库1

2、 120192019年高考数学大纲，要求坚持平稳年高考数学大纲，要求坚持平稳. .2019年年中的三角函数中的三角函数2 2试题设计的创新程度，要符合中学教学实践与学生实践试题设计的创新程度，要符合中学教学实践与学生实践. .3 3三角函数、立体几何两个模块的详细要求降低三角函数、立体几何两个模块的详细要求降低4 4易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主体，较难题不超越体，较难题不超越30%30%，中档题和容易题不低于，中档题和容易题不低于70%.70%.修订后的修订后的20192019年考纲有如下引人关注的几点：年考纲有如下引人关注的

3、几点：这里，明白无误地声明，三角函数的这里，明白无误地声明，三角函数的“详细要求降低详细要求降低. .当年的考卷兑现了诺言，三角函数的要求确实降低了当年的考卷兑现了诺言，三角函数的要求确实降低了. .【例【例1】 (2019年全国甲卷年全国甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2019年全国甲卷年全国甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【点评】【点评】 此题调查函数，是函数求值问题此题调查函数，是函数求值问题. 函数式为函数式为 y = f (x) = sin x ( 或或cos x )求求

4、x =210( 或或 x = 330)【例【例1】 (2019年全国甲卷年全国甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2019年全国甲卷年全国甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【阐明】【阐明】 此题对此题对“恣意角降低要求作了解释：恣意角的实践恣意角降低要求作了解释：恣意角的实践意义是将三角形的内角扩展到意义是将三角形的内角扩展到0到到360之间之间.这就是考题对考纲的兑现这就是考题对考纲的兑现.关于考点要求的四个层次：了解、了解、掌握和运用，人们对关于考点要求的四个层次：了解、了解、掌握和运

5、用，人们对于于“了解和了解和“了解，从来就很模糊，由于它们在命题中不具了解，从来就很模糊，由于它们在命题中不具备操作性备操作性. . “了解降成了解降成“了解了解“恣意角的概念和弧度的意义降低要求之后，三角函数的大恣意角的概念和弧度的意义降低要求之后，三角函数的大题也就随之降低了要求题也就随之降低了要求. .有的试卷，单一的三角函数的试题有有的试卷，单一的三角函数的试题有能够不出如今大题中能够不出如今大题中. .新大纲提出这种变动，只在通知人们，对此考点降低了要求新大纲提出这种变动，只在通知人们，对此考点降低了要求. .对对“弧度意义降低要求后，人们至少不会在如下问题上大做弧度意义降低要求后，

6、人们至少不会在如下问题上大做文章了：文章了： 设设x x为锐角，求证：为锐角，求证：sinx x tanxsinx x tanx【分析】【分析】 求单调区间，是在研讨函数的通性求单调区间，是在研讨函数的通性. 这里只不过把三角这里只不过把三角函数当成了一个详细的函数而已函数当成了一个详细的函数而已. 【例【例3】 2019年年 全国乙卷全国乙卷 理理12 函数函数 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一个单调增区间是的一个单调增区间是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)欲求欲求 y = f (x)的一个单调增区间，易想到先一致的一个单调增区间，易想到

7、先一致 y = f (x)中的角，中的角，这在函数式的变换中称作这在函数式的变换中称作“自变量的集元自变量的集元.【分析】【分析】 为了为了“集元，可将集元，可将 向向 x 一致一致. 这可经过将这可经过将cos2 降幂来实现降幂来实现. 然后将然后将y = f (x)化成二次函数型，化成二次函数型，再根据复合函数的单调性求解再根据复合函数的单调性求解.2x【例【例3】 2019年年 全国乙卷全国乙卷 理理12 函数函数 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一个单调增区间是的一个单调增区间是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)2x在这里，把三角函数的

8、单调性化为复合二次函数的单调性求解在这里，把三角函数的单调性化为复合二次函数的单调性求解.【解析】【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos1coscos22xxx【例【例3】 2019年年 全国乙卷全国乙卷 理理12 函数函数 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一个单调增区间是的一个单调增区间是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)【解析】【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos1coscos22xxx( 1 t 1

9、).xxtcos)(45)21()(2ttfy【插话】【插话】 于是三角函数的问题转化为二次函数求解于是三角函数的问题转化为二次函数求解.45)21()(2ttfy只需探求使得只需探求使得 和和 ( 1 t 1)单调性一致单调性一致的的x的范围即可的范围即可.xxtcos)()(tfy 而当而当 时，时， 单调递减，单调递减，323 xxxtcos)(此时此时 ，并且存在，并且存在 上上 单调递减单调递减. 21)(21tf21 ,21)(tfy 因此时因此时y = f (x)的一个单调区间为的一个单调区间为 ，应选，应选A.32 ,3【续解】【续解】 对二次函数对二次函数 ( 1 t 1).

10、【点评】【点评】 此题以三角为载体，重点调查了函数的单调性、此题以三角为载体，重点调查了函数的单调性、二次函数的性质、复合函数的单调性二次函数的性质、复合函数的单调性.三角函数的值域等，在这里只作为复合函数的一员三角函数的值域等，在这里只作为复合函数的一员. 而三角函数的二倍角的余弦公式，在这里只充任了恒等而三角函数的二倍角的余弦公式，在这里只充任了恒等变换中的一个工具变换中的一个工具.虽然此题是一个选择题，但涉及到的内涵非常丰富，特虽然此题是一个选择题，但涉及到的内涵非常丰富，特别是函数思想在解题中的运用别是函数思想在解题中的运用.【 例例4】 全国甲卷全国甲卷 理理2文文3函数函数 y =

11、 |sin x|的一个单调增区间是的一个单调增区间是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443 ,423 ,2 ,23【解【解1】 笼统思想变式：笼统思想变式： 【点评】【点评】 此题考函数，正弦函数与绝对值函数的复合此题考函数，正弦函数与绝对值函数的复合22cos1sin |sin| 2xxxy按复合函数的单调性易知，此题答案为按复合函数的单调性易知，此题答案为C.【 例例4】 全国甲卷全国甲卷 理理2文文3函数函数 y = |sin x|的一个单调增区间是的一个单调增区间是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443 ,423 ,2 ,23【解【解2】 直觉思想看图：直觉思想看图

12、：【点评】【点评】 此题考函数的图象变换此题考函数的图象变换. 是数形结合的代表作是数形结合的代表作.看图易知，此题答案为看图易知，此题答案为C.三角函数三角函数 转向转向“函数函数【例【例5】 (全国甲卷全国甲卷 理理17) 在在 ABC 中，知内角中，知内角A= ，边，边 BC=2 . 设内角设内角B = x, 周长周长为为y.求函数求函数 y = f (x)的解析式和定义域；的解析式和定义域；求求 y 的最大值的最大值.33【评说】【评说】 此题考函数此题考函数函数建模函数建模. 三角函数只充任了一个三角函数只充任了一个“载体载体将三角函数纳入普通函数之将三角函数纳入普通函数之 列，调查

13、的是函数的共性：函数的定义域、对应法那么、值域、列，调查的是函数的共性：函数的定义域、对应法那么、值域、函数运用等函数运用等. 此题预示：三角此题预示：三角“专题，已从大题中淡出专题，已从大题中淡出. 【分析】【分析】 此题此题“大中含小，小到什么程度呢？连初中生都可大中含小，小到什么程度呢？连初中生都可拿到不少的分数拿到不少的分数 . 【题【题5】 (甲卷甲卷 理理17 题题10分文分文18 题题12分分) 在在 ABC 中，知内角中，知内角 A= ，边，边 BC = 2 . 设内角设内角B = x, 周长为周长为 y.求函数求函数 y = f (x)的解析式和定义域的解析式和定义域 求求

14、y 的最大值的最大值.33大中含小的“大题 【分割】【分割】 对题对题，求函数的解析式和定义域，而定义域是独立，求函数的解析式和定义域，而定义域是独立的，即三角形的，即三角形B角的取值范围为角的取值范围为 0 B ，假设，假设()的总分值的总分值是是4分，那么这位初中生曾经拿到了分，那么这位初中生曾经拿到了2分分.32 【分割【分割 】 由正弦定理由正弦定理 . 42332sinsinsinABCBCACAB 那么三角形周长那么三角形周长 AB+BC+ C ACBsin4sin432)sin(sin432CB【点评】【点评】 那位初中生假设能写到此步，那么至少再添那位初中生假设能写到此步，那么

15、至少再添1分分.【题【题5】 (甲卷甲卷 理理17 题题10分文分文18 题题12分分) 在在 ABC 中，知内角中，知内角 A= ，边，边 BC = 2 . 设内角设内角B = x, 周长为周长为 y.求函数求函数 y = f (x)的解析式和定义域的解析式和定义域 求求 y 的最大值的最大值.33大中含小的“大题又又 B + C =- A =32故有故有.32,32BCCB令令 y = AB + BC + CA，B = x)3cos(3432xy)32 , 0(x那么由那么由1得函数得函数 y = f (x)的解析式和定义域的解析式和定义域2cos2sin832CBCB1周长周长留给高中生

16、的留给高中生的 仅剩下面仅剩下面1 1分分【题【题5】 (甲卷甲卷 理理17 题题10分文分文18 题题12分分) 在在 ABC 中，知内角中，知内角 A= ，边，边 BC = 2 . 设内角设内角B = x, 周长为周长为y.求函数求函数 y = f (x)的解析式和定义域的解析式和定义域 求求 y 的最大值的最大值.33大中含小 头重脚轻 实践上，没有实践上，没有()的结果，题的结果，题()是照样可解的是照样可解的这是解梯式这是解梯式大题的一种迂回战略大题的一种迂回战略. 【分析】【分析】 用解析式用解析式 求其最大值曾经求其最大值曾经不是难事了不是难事了. 命题人将命题人将()、()两小

17、题进展捆绑，看来有两小题进展捆绑，看来有“头重头重脚轻之嫌，由于相比之下，第脚轻之嫌，由于相比之下，第()小题偏重小题偏重. )3cos(3432xy【单解【单解】 与题与题()分别分别 用平面几何法求解用平面几何法求解 设设 y 的最大值对应的最大点为的最大值对应的最大点为 B = x0 .【题【题5】 (甲卷甲卷 理理17 题题10分文分文18 题题12分分) 在在 ABC 中，知内角中，知内角 A= ，边，边 BC = 2 . 设内角设内角B = x, 周长为周长为y.求函数求函数 y = f (x)的解析式和定义域的解析式和定义域 求求 y 的最大值的最大值.33迂回解 另番天地 内角内角 C 与与 B 是对称关系，设是对称关系，设 y 的最大值对应的点的最大值对应的点 C = x0 那么也有那么也有B=x0. 又又 A= , 故故 C =B = ， 从而从而 ABC 为为 正三角形正三角形. 所以所以 y 的最大值为的最大值为3BC = 6 .333三角函数的重心移向函数三角函数的重心移向函数过去的经典说法是：三角函数存在的理由是加法定理过去的经典说法是：三角函数存在的理