生物统计农业类ppt课件

1、第四节第四节 方差分析方差分析* * * * Analysis of Variance (ANOVA)Analysis of Variance (ANOVA)一一 方差分析的根本原理方差分析的根本原理二二 平方和和自在度分解平方和和自在度分解三三 F检验检验四四 多重比较多重比较五五 方差分析的线性模型与期望均方方差分析的线性模型与期望均方六六 方差分析的根本假定和数据转换方差分析的根本假定和数据转换 5个平均数的比较，采用个平均数的比较，采用t检验法要进展检验法要进展 =10次两个平均数的差别显著性检验；假设次两个平均数的差别显著性检验；假设有有k个处置，那么要作个处置，那么要作 k(k-1

2、)/2次类似的检验。次类似的检验。 无一致的实验误差，误差估计的准确性无一致的实验误差，误差估计的准确性和检验的灵敏性低。和检验的灵敏性低。 Df=2*(n-1) k*(n-1)Type 1 error: 1-(1-0.05)1025C多个平均数间的差别显著性检验。多个平均数间的差别显著性检验。v 方差分析方差分析 (analysis of variance) (analysis of variance)是是由英国统计学家由英国统计学家R.A.FisherR.A.Fisher于于19231923年提出年提出的。的。 是将总变异分解为各个变异来源的相是将总变异分解为各个变异来源的相应部分，从而发

3、现各种变异缘由在总变异应部分，从而发现各种变异缘由在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。中相对重要程度的一种统计分析方法。一一 方差分析的根本原理方差分析的根本原理 从总变异中扣除了各种实验缘由所引从总变异中扣除了各种实验缘由所引起的变异后，剩余变异为实验误差的无偏起的变异后，剩余变异为实验误差的无偏估计。估计。 假设某单要素实验有假设某单要素实验有k个处置，每个处置有个处置，每个处置有n次反复，那次反复，那么共有么共有nk个观测值。这类实验资料的数据方式。个观测值。这类实验资料的数据方式。一、方差分析的线性模型一、方差分析的线性模型 表中表中xij 表示第表示第i个处置的第个处置的第j个

4、观测值个观测值 i=1,2,k；j=1,2,n； Ti表示第表示第i个处置个处置n个观测值的和；个观测值的和； T表示全部观测值的总和；表示全部观测值的总和；xi.表示第表示第i个处置的平均数；个处置的平均数； x.表示全部观测值的总平均数；表示全部观测值的总平均数；表中数据所代表总体的线性模型为：表中数据所代表总体的线性模型为：jiiijx 式中式中全实验总体的平均数；全实验总体的平均数；i 实实验处置效应，验处置效应， ij随机误差随机误差当以样本表示时，样本的线性模型为当以样本表示时，样本的线性模型为 式中式中x是是的无偏估计；的无偏估计； ti 是是i的无偏估计，的无偏估计， eij是

5、随机误差是随机误差jiiijetxx 从上面两个公式可知：从上面两个公式可知： 引起每个察看值出现变异的缘由有处置效引起每个察看值出现变异的缘由有处置效应应i或或 ti 和实验误差和实验误差ij或或eij 。 二、平方和与自在度的分解二、平方和与自在度的分解 v方差是平方和与自在度的商，要将整个实验方差是平方和与自在度的商，要将整个实验资料的方差分解为各个来源的相应方差，首资料的方差分解为各个来源的相应方差，首先须将平方和与自在度分解为相应的部分。先须将平方和与自在度分解为相应的部分。v单要素实验的总均方方差可分解为处置单要素实验的总均方方差可分解为处置间均方和处置内均方。间均方和处置内均方。

6、1、总平方和的分解、总平方和的分解nkxxxxSSijijkinjijT22112.)()(nkTnkxCij22)( 总变异的平方和是各观测值总变异的平方和是各观测值xij与总平均与总平均数的离均差平方和，记为数的离均差平方和，记为SST。即。即:C称矫正数称矫正数kinjiijnjiijkikiiikinjiijiijiikinjkinjiijiijxxxxxxxxnxxxxxxxxxxxxxx11211121122111122.)( .)(.).(2.).(.)(.).)(.( 2.).(.)(.).(.)(=0 为各处置平均数与总平均数的离为各处置平均数与总平均数的离均差平方和与反复数

7、均差平方和与反复数n的乘积的乘积 ，反映了反复，反映了反复 n 次的处置间变异次的处置间变异 ，称为处置间平方和，记为，称为处置间平方和，记为SSt，即：，即： 所以所以kinjkikinjiijiijxxxxnxx111112.2.2.)()()(kiixxn12.).(kiitxxnSS12.).(于是有于是有SST = SSt +SSekinjiijxx112.)(kinjiijexxSS112.)( 上式中，上式中， 为各处置内离均差为各处置内离均差平方和之和，反映了各处置内的变异即误差，平方和之和，反映了各处置内的变异即误差，称为处置内平方和或误差平方和，记为称为处置内平方和或误差平

8、方和，记为SSe，即即平平方方和和的的计计算算CnTnkTnTnkTnknTnxnkxnxnkxnkxnxnxxnxnxxxxnxxnSSiiiiiiiiiit222222222222222)()(22)2()( 三个平方和的计算公式三个平方和的计算公式CnTSSCxSSikitijnjkiT21211tTeSSSSSS2、总自在度的分解、总自在度的分解 总自在度记为总自在度记为dfT，dfT =nk-1。 处置间自在度处置间自在度dft， dft =k-1 处置内自在度处置内自在度dfe， dfe =kn-k=K(n-1) 自在度分解式为自在度分解式为 nk-1=(k-1)+k(n-1) 各

9、部分平方和除以各自的自在度便得到各部分平方和除以各自的自在度便得到总均方、处置间均方和处置内均方，总均方、处置间均方和处置内均方， 分别分别记为记为 MST或或 、MSt或或 和和MSe或或 。2TS2tS2eSTTTTdfSSSMS/2ttttdfSSSMS/2eeeedfSSSMS/2v例题：以例题：以A、B、C、D四种药剂处置水稻四种药剂处置水稻种子，其中种子，其中A为对照，每处置各得为对照，每处置各得4个苗个苗高察看值高察看值cm),其结果见下表，试分解其结果见下表，试分解其平方和与自在度。其平方和与自在度。xix 这是一个单要素实验，处置数这是一个单要素实验，处置数k=4，反，反复数

10、复数n=4。各项平方和及自在度计算如下：。各项平方和及自在度计算如下： 矫正数矫正数 C=T2/nk=3362/(44)=7056 总平方和总平方和 dfT=nk-1= 44-1=1560270563221182222CxSSijT504)116569272(41122222CCTnSSit处置间平方和处置间平方和98504602tTeSSSSSSdft=k-1=4-1=3dfe=K(n-1)=4 (4-1)=12进而得各项变异的均方进而得各项变异的均方/方差方差总变异均方总变异均方 MST=SST/dfT=602/15=40.13处置均方处置均方 MSt=SSt/dft=504/3=168.

11、00误差均方误差均方 Mse=SSe/dfe=98/12=8.17三、三、F F 分布与分布与F F 检验检验 1 1、F F分布分布 在一正态总体在一正态总体N N，22中随机抽取样本含量为中随机抽取样本含量为n1 n1 和和n1n1的两的两个样本分别求得其均方个样本分别求得其均方s12s12和和s22, s22, 统统计学上把两个均方之比值称为计学上把两个均方之比值称为F F值。值。即即 F = s12 / s22 F = s12 / s22 假设在给定的n1和n2的条件下，按上述方法进展一系列抽样，那么可获得一系列的F 值。这些F 值所具有的概率分布称为F 分布。 F 分布曲线是随自在度

12、1 n1 1 、2 n2 1而变化的一组偏态曲线，其形状随着1、 2的增大逐渐趋于对称。F分布的取值范围是分布的取值范围是0，+ 2、F 检验 用F 值出现概率的大小推断两个总体方差能否相等的方法称为 F 检验(F - test)。 进展F 检验目的在于推断处置间的差别能否存在。计算F 值时以被检验要素的方差作分子，误差均方作分母。 如在单要素实验结果的方差分析中，无如在单要素实验结果的方差分析中，无效假设为效假设为H0：1=2=k，备择假设为，备择假设为 HA：各：各i不全相等。不全相等。 F=MSt / MSe，可以判别处置的效应能，可以判别处置的效应能否存在，也就是要判别处置间均方能否显

13、否存在，也就是要判别处置间均方能否显著大于处置内著大于处置内(误差误差)均方。均方。 假设假设F0.05，应接受应接受H0。 假设假设F 即即P0.01，接受，接受HA，标志标志“*。 假设假设F 即即P0.05， 不不 能能 否认否认H0，各处置间差别不显著，标志，各处置间差别不显著，标志“ns； ),(05. 021dfdfF 假设假设 F 即即 0.01标志标志“*；),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(01. 021dfdfF 【例题】：不同药剂处置水稻察看苗高的实验【例题】：不同药剂处置水稻察看苗高的实验中，检验不同药剂处置的效应能否一样？中，检验不同药剂

14、处置的效应能否一样？ 算出：算出： MSt =168.00, df1=3 MSe=8.17, df2=1221xix那么：那么： F=MSt /MSe=168.00/8.17=20.56* 根据根据 df1=3，df2=12 查附表查附表5， 得得F0.053，12=3.49 ,F0.013，12=5.95 由于由于 FF0.01(3，16) , P0.01推断：药剂间的变异显著大于药剂内变异，推断：药剂间的变异显著大于药剂内变异，不同药剂对水稻苗高具有不同的效应。不同药剂对水稻苗高具有不同的效应。 结果表示：在方差分析中，通常将变异来源、自在度、平方和、均方和F 值归纳成一张方差分析表。方差

15、分析显著表示？方差分析显著表示？四、多重比较四、多重比较v统计上把多个平均数间的相互比较称为多统计上把多个平均数间的相互比较称为多重比较重比较(multiple comparisons)。v常用的有最小显著差数法常用的有最小显著差数法(LSD法法)、复极差、复极差法法q法和最小显著极差法法和最小显著极差法(LSR法法) 。 假设假设 那么这两个平均数在那么这两个平均数在程度上显著。程度上显著。 LSD的本质是两个平均数相比较的t检验法。首先计算出显著程度为的最小显著差数LSD 。然后用任两个平均数的差与LSD比较. 一最小显著差数法一最小显著差数法(LSD法法) (least signific

16、ant difference)LSDxx21 式中：式中： 为为F检验中误差自在度检验中误差自在度时，显著程度为时，显著程度为的临界的临界t值，值， 为平均为平均数差数的规范误，当两样容量相等时。数差数的规范误，当两样容量相等时。 由由 那么那么.)(jiexxdfaaStLSD)(edft.jixxSnMSSexxji/2. 当显著程度当显著程度 =0.05和和0.01时，从时，从t值表值表中查出中查出 和和 ，得：，得： 其中其中 为为F 检验中的误差均方，检验中的误差均方，n为各为各处置的反复数。处置的反复数。eMS)(05. 0edft)(01. 0edft.)(01. 001. 0)

17、(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSDLSD法多重比较的步骤：法多重比较的步骤： (1) 列出平均数的多重比较表列出平均数的多重比较表 : 各处置按其平均数从大到小陈列各处置按其平均数从大到小陈列, 计算任两个平均数的差；计算任两个平均数的差； (2)计算最小显著差数计算最小显著差数LSD0.05 和和LSD0.01 ； (3)将任两个平均数的差数与将任两个平均数的差数与LSD0.05 和和LSD0.01 比较，作出统计推断。比较，作出统计推断。v例题：四种药剂处置水稻后对苗高的影响例题：四种药剂处置水稻后对苗高的影响 当当df=12时，时，t0.05=2.17

18、9,t0.01=3.055 LSD 0.05= t0.05 =4.40(cm) LSD 0.01= t0.01 =6.18(cm)不同药剂处置对水稻苗高影响的多重比较。不同药剂处置对水稻苗高影响的多重比较。02. 24/17. 82/2.nMSSexxji.jixxS.jixxS 二复极差法二复极差法 当随机抽取当随机抽取k(k 2)个样本时，随机极个样本时，随机极差与差与k=2是不同的。是不同的。 根据极差范围内平均数个数不同，分别根据极差范围内平均数个数不同，分别确定最小显著极差确定最小显著极差Least significant Least significant rangesranges

19、，LSR)LSRLSR)LSR。 1、q 法法nMSSEe/ q 法的尺度构成为法的尺度构成为 LSR =q;df, p SE 式中式中为显著性程度，为显著性程度，df 为为F检验误差检验误差自在度，自在度，p 为一切平均数按从大到小陈列为一切平均数按从大到小陈列两极差范围内所包含的平均数个数。两极差范围内所包含的平均数个数。SE为为平均数的规范误。平均数的规范误。 例题：用例题：用q法对不同药剂处置对水稻苗高法对不同药剂处置对水稻苗高影响进展多重比较。影响进展多重比较。 43. 14/14. 8/nMSSEe 查查q q表附表表附表7 7，当，当df=12df=12时，时，p=2,3,4p=

20、2,3,4的的qq值。并计算出尺度值值。并计算出尺度值LSRLSR 与与LSD 对对 比比2、新复极差法、新复极差法(SSR法法 q法，法，LSR变幅较大，邓肯变幅较大，邓肯 (Duncan) 于于1955年提出了新复极差法，最短显著极年提出了新复极差法，最短显著极差法差法 (shortest significant ranges, SSR法法)。 SSR法与法与q法，独一不同的是计算最小法，独一不同的是计算最小显著极差时需查显著极差时需查SSR表表(附表附表8) 。 LSR =SSR,df,p SE 例题：用例题：用SSR法对不同药剂处置对水稻苗法对不同药剂处置对水稻苗高影响进展多重比较。高

21、影响进展多重比较。43. 14/14. 8/nMSSEe 查查SSRSSR表附表表附表6 6，当，当df=12df=12时，时，p=2,3,4p=2,3,4的的SSRSSR值。并计算出尺度值值。并计算出尺度值LSR LSR LSR和和q法尺度的比较法尺度的比较 三多重比较方法的选择：三多重比较方法的选择：LSD法法SSR法法q法法 即即k=2时，取等号；时，取等号； 在多重比较中，在多重比较中，LSD法的尺度最小，法的尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。 1、与一个对照处置相比，可以采用、与一个对照处置相比，可以采用LSD法。处置之间相互比较可以

22、采用复极差法。法。处置之间相互比较可以采用复极差法。 3、在农业田间实验中，由于实验误差较、在农业田间实验中，由于实验误差较大，常采用大，常采用SSR法。法。 2、根据实验的重要性决议。实验事关艰、根据实验的重要性决议。实验事关艰苦，可采用复极差法苦，可采用复极差法q法。普通性实法。普通性实验，采用验，采用SSR法较为妥当。法较为妥当。 四多重比较结果的表示法四多重比较结果的表示法1、梯形表法：、梯形表法： 将平均数按从大到小顺序陈列，然后算将平均数按从大到小顺序陈列，然后算出各平均数间的差数，到达显著程度的，在出各平均数间的差数，到达显著程度的，在差数右上角标一个差数右上角标一个“*号，到达

23、号，到达0.01显著程显著程度的，标两个度的，标两个“*号。号。2、标志字母法、标志字母法 标志字母法的解读：标志字母法的解读： 各平均数间只需有一个一样字母，即各平均数间只需有一个一样字母，即为差别不显著，凡无一样字母的即为差别为差别不显著，凡无一样字母的即为差别显著。显著。 用小写字母表示显著程度用小写字母表示显著程度 =0.05 ，用大写字母表示显著程度用大写字母表示显著程度=0.01。 此法的优点是占篇幅小，在科技文献此法的优点是占篇幅小，在科技文献中常见。中常见。 五、遗传模型与期望均方五、遗传模型与期望均方 方差分析的线性模型为：方差分析的线性模型为： 对总体：对总体： 对样本：对

24、样本： - 的无偏估计；的无偏估计； ti -i的无偏估计的无偏估计 eij-ij的无偏估计的无偏估计 jiiijxjiiijetxxx一遗传模型一遗传模型 在线性模型中，根据研讨目的不同，对在线性模型中，根据研讨目的不同，对i会有不同解释，因此有固定模型和随机模型会有不同解释，因此有固定模型和随机模型之分。之分。The choice of labeling a factor as a fixed or random effect will affect how you will make the F-test.This will become more important later in

25、the course when we discuss interactions. 1、固定模型、固定模型 (fixed model)： 实验的目的在于研讨处置本身实验的目的在于研讨处置本身i效应的效应的大小。大小。 检验的假设为检验的假设为 Ho:i =0或或 Ho : i=。 当否认当否认Ho时时, 需作多重比较。需作多重比较。All treatments of interest are included in your experiments.You can not make inferences to a larger experiment.固定模型举例：固定模型举例： 几个小麦新种类的

26、产量实验，几个小麦新种类的产量实验， 农作物密度、施肥等实验。农作物密度、施肥等实验。 研讨的目的是比较这些处置本身的效应大研讨的目的是比较这些处置本身的效应大小。小。 实验结论仅限于供试的特定处置。实验结论仅限于供试的特定处置。2、随机模型、随机模型 (random model)： k个处置并非特别指定，而是从同一个总体个处置并非特别指定，而是从同一个总体N，2中随机抽取的中随机抽取的k个样本而已。个样本而已。 实验目的不是针对这些供试处置本身，而是实验目的不是针对这些供试处置本身，而是经过研讨经过研讨i的变异的变异 ，对抽出这些处置所在总体的，对抽出这些处置所在总体的变异变异2 进展研讨。

27、进展研讨。 实验的各个处置是抽自同一总体实验的各个处置是抽自同一总体N(，2)的的一组随机样本，因此在一次实验中处置效应一组随机样本，因此在一次实验中处置效应i= i -是随机的，是随机的， i 是一个随机变量，是一个随机变量， i N0，2 。 检验的假设为检验的假设为Ho : 2 =0或或HA : 2 0。当否认当否认Ho时，处置方差时，处置方差2 是随机模型的重点是随机模型的重点研讨对象。研讨对象。 假设反复实验时假设反复实验时 ，需从总体中重新随机抽取样，需从总体中重新随机抽取样本。本。Treatments are a sample of the population to which

28、 you can make inferences.You can make inferences toward a larger population using the information from the analysis.举例：随机模型举例：随机模型分析学生做同一实验的结果差别性。分析学生做同一实验的结果差别性。某单位从美国引进某单位从美国引进400个玉米自交系，欲评价这批个玉米自交系，欲评价这批资料的遗传参数，从中随机抽取资料的遗传参数，从中随机抽取20个自交系，进个自交系，进展实验。展实验。An experiments is conducted at Fargo and Gran

29、d Forks, ND. If location is considered a fixed efect, If location is considered a random effect, .3、混合模型、混合模型 多要素实验中，一个要素为随机，另一多要素实验中，一个要素为随机，另一个要素为固定的模型称为混合模型。个要素为固定的模型称为混合模型。二期望均方22)(ttnMSE2)(eMSE 处置效应的期望均方在固定模型和随机处置效应的期望均方在固定模型和随机模型中能够不同。模型中能够不同。 无偏估计：一切能够样本的某一统计无偏估计：一切能够样本的某一统计数的平均数等于总体的相应参数，那么称

30、数的平均数等于总体的相应参数，那么称该统计数是总体相应参数的无偏估计值。该统计数是总体相应参数的无偏估计值。 均方的无偏估计值称为期望均方。均方的无偏估计值称为期望均方。 对单要素实验来说：固定模型的期望均方是对单要素实验来说：固定模型的期望均方是 MSt = 2 +n 2 Mse = 2 随机模型的期望均方是随机模型的期望均方是: MSt = 2 +n 2 Mse = 2 两种模型的估计值是一样的。两种模型的估计值是一样的。 方差分析就是经过方差分析就是经过 MSt 与与MSe的比较的比较来推断来推断2或或2 能否存在。能否存在。 在固定模型中需求比较各个在固定模型中需求比较各个i能否相等。

31、能否相等。v但对多要素来说，两种模型将会有较大差但对多要素来说，两种模型将会有较大差别，别，F检验也将不同。检验也将不同。变异来源变异来源MS期望均方期望均方固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型*A要素要素MSA2+bn22+bn22+n2+bn22+n2+bn22 +bn22 +bn2B要素要素MSB2+an22+an22+n2+an2+n2+an22 2 + n 2 + 2 + n 2 + an2an2AB互作互作MSAB2+bn22+bn22+n22+n22+n22+n2误差误差MSe222222六、方差分析的根本假定和六、方差分析的根本假定和数据转换数据转换 方差分析必需满

32、足一定条件方可进展。方差分析必需满足一定条件方可进展。 效应可加性、误差符合正态分布、方效应可加性、误差符合正态分布、方差同质性差同质性一方差分析的根本假定：一方差分析的根本假定： 1 1、效应的可加性、效应的可加性 Additivity Additivity 方差分析的模型均为线性可加模型。方差分析的模型均为线性可加模型。这个模型要求各种变异来源的效应是这个模型要求各种变异来源的效应是“可加的可加的。 正是由于这一正是由于这一“可加性，才有了实验观可加性，才有了实验观测值总平方和与自在度的分解。测值总平方和与自在度的分解。 2 2、实验误差符合正态分布、实验误差符合正态分布(normalit

33、y)(normality) 据据F分布的定义可知分布的定义可知, 样本为正态总体的样本为正态总体的一个随机样本。实验误差应该是相互独立的，一个随机样本。实验误差应该是相互独立的，且服从正态分布且服从正态分布N(0，2)。只需在这样的条件。只需在这样的条件下才干进展下才干进展F检验。这就要求处置要随机。检验。这就要求处置要随机。3 3、方差的同质性、方差的同质性(homogeneity) (homogeneity) 各个处置所在总体的方差各个处置所在总体的方差22应是同质应是同质的。只需这样，才干将各个处置内的均方的。只需这样，才干将各个处置内的均方加权成合并均方加权成合并均方, ,以此做为检验

34、各处置差别以此做为检验各处置差别显著性的共同的误差均方。显著性的共同的误差均方。SSe=SSe1+SSe2+SSe3+SSe4如何判别资料能否符合根本假定？如何判别资料能否符合根本假定？ 1、凭对资料的了解、凭对资料的了解 如二项资料平均数与规范差有相关性。如二项资料平均数与规范差有相关性。2、方差的同质性检验、方差的同质性检验 选取大、中、小处置，简单求其平均选取大、中、小处置，简单求其平均数和方差或极差，判别方差能否相差数和方差或极差，判别方差能否相差太大，或与平均数能否相关。太大，或与平均数能否相关。 Bartlett法检验法检验 对不符合根本条件的资料对不符合根本条件的资料,可采取以下

35、措施可采取以下措施: 1、剔除某些表现、剔除某些表现“特殊的察看值。特殊的察看值。 2、将全实验误差分解为几个较为同质的实、将全实验误差分解为几个较为同质的实验误差验误差, 分别进展方差分析。分别进展方差分析。 3、采用几个察看值的平均数作方差分析、采用几个察看值的平均数作方差分析 4、采用相应的数据转换，用转换后的数据、采用相应的数据转换，用转换后的数据作方差分析作方差分析1、 平方根转换平方根转换 此法适用于样本平均数与其方差之间有某种函此法适用于样本平均数与其方差之间有某种函数关系的资料。变换有利于满足效应的可加性和误数关系的资料。变换有利于满足效应的可加性和误差的正态性要求。差的正态性

36、要求。 二数据转换二数据转换(transformation of data) 原数据原数据x的平方根的平方根 ; 假设原观测值中有为假设原观测值中有为0的的数或多数观测值小于数或多数观测值小于10，那么把原数据变换，那么把原数据变换成成 。x1xv例题：一定面积燕麦田中例题：一定面积燕麦田中A1、A2、A3、A4、A5的杂草株数调查结果见下表。试的杂草株数调查结果见下表。试进展方差分析。进展方差分析。处 理A1A2A3A4A514385387717182442422613126331937715187774380315521620395413853835ix 94 45 28 94 45 28

37、 v 燕麦田中某种杂草株数的平方根燕麦田中某种杂草株数的平方根处 理A1A2A3A4A5120.923.28.84.14.2221.020.57.85.65.1317.919.412.39.38.8419.517.77.24.04.519.820.29.05.85.7ix 2.3 2.3 2.3 2.3 2.12.1v 方差分析表方差分析表变异来源变异来源 dfSSMSFF0.05F0.01处理间处理间误误 差差总变异总变异41519866.6669.99936.65216.664.66746.43*3.064.892 2、对数转换、对数转换 假设各组数据表现的效应呈倍加性或可假设各组数据表现的效应呈倍加性或可乘性，或者样本平均数与其规范差乘性，或者样本平均数与其规范差( (或全或全距距) )大体成比例，那么将原数据大体成比例，那么将原数据X X变换变换为对数为对数(lgx(lgx或或lnx)lnx)后，可以使方差变成比后，可以使方差变成比较一致而且使效应由相乘性变成相加性。较一致而且使效应由