复数复习全面版

1、2021/8/212021/8/22第八章第八章 复数复数复数的概念复数的概念复数的运算复数的运算复数的三角形式复数的三角形式数的概念和发展数的概念和发展复数的概念复数的概念复数的向量表示复数的向量表示虚数单位：虚数单位：(1) i2=1(2) a+bi加法与减法加法与减法乘法与除法乘法与除法复数的三角形式复数的三角形式复数的三角运算复数的三角运算复数的几何意义：复数的几何意义：求求z2021/8/231、复数的分类：、复数的分类： 复数复数z=a+bi(a,bR)实数（实数（b=0)虚数（虚数（b0)纯虚数（纯虚数（a=0且且b 0)2、相等的复数：、相等的复数：实部与虚部分别相等的两个复数

2、。实部与虚部分别相等的两个复数。即当即当a,b,c,dR时，时，a+bi=c+dia=c,b=da+bi=0a=b=03、共轭复数：、共轭复数： 实部相等，虚部互为相反数的两个复数实部相等，虚部互为相反数的两个复数.互为共轭的两个复数在复平面内对应的点互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于关于x轴对称。轴对称。2021/8/24(1)复数的模：复数的模： 复平面内表示复数的向量的绝对值大小复平面内表示复数的向量的绝对值大小.22|babiaz (2)复数的辐角：复数的辐角：在复平面内，以在复平面内，以x轴的正轴的正半轴为始边，以复数半轴为始边，以复数z所所对向量所在射线为终边对向量所在射线为

3、终边的角，叫做复数的角，叫做复数z的辐角。的辐角。0 xyZ(3)复数辐角的主值：复数辐角的主值： 适合于适合于0，2）的辐角的值）的辐角的值.(4)复数的三角形式：复数的三角形式：r(cos+isin )4、复平面：、复平面：P178页第二行页第二行2021/8/251、复数代数形式的、复数代数形式的基本基本运算：运算：加：加：(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(d+d)i减：减：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i乘：乘：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i dicbia除：idcadbcdcbdacdicdicdicbia2222)()(

4、2、运算性质：、运算性质：zz=|z|2=|z|2i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(nN)3、复数加法的几何意义：、复数加法的几何意义：平行四边形法则平行四边形法则减法的几何意义：减法的几何意义：三角形法则三角形法则2021/8/26复数的三角形式复数的三角形式z=a+bi=r(cos +isin ). 对其要求是对其要求是 .其中其中r= . 由由 决定决定.r非负在外面非负在外面,正弦在后余弦前，前后都是同一角，中间加号来相连正弦在后余弦前，前后都是同一角，中间加号来相连22ba abtg 及点及点Z所在的象限所在的象限xoyZ ：a+biba*复数的辐

5、角：复数的辐角：在复平面内，以在复平面内，以x轴的正轴的正半轴为始边，以复数半轴为始边，以复数z所所对向量所在射线为终边对向量所在射线为终边的角，叫做复数的角，叫做复数z的辐角。的辐角。*复数辐角的主值：复数辐角的主值： 适合于适合于0，2）的辐角的值）的辐角的值.2021/8/271.设设 z=r(cos +isin ), z1=r1(cos 1+isin 1), z2=r2(cos 2+isin 2) 则则z1 z2= . z1 z2= . zn= . 2. z的的n次方根为次方根为 。r1 r2cos( 1+ 2)+isin ( 1+ 2)r1 r2cos( 1- 2)+isin ( 1

6、- 2)rn(cosn +isinn )nkinkrn2sin2cos其中其中,k=0,1,2,n-13、复数乘法、除法的几何意义：、复数乘法、除法的几何意义：伸缩加旋转伸缩加旋转2021/8/28复数的几何意义复数的几何意义1.复数复数z=a+bi的模的模r=|z|= 它表示它表示 .Zyxo r2. 复数复数z=a+bi的主值的主值 由由 .它表示它表示 .3. 向量向量Z1Z2对应的复数是对应的复数是 .复平面复平面上两点间的距离公式是上两点间的距离公式是 .Z2. Z122ba 点点Z到原点的距离或向量到原点的距离或向量OZ的长度的长度.abtg及点及点Z所在象限决定所在象限决定.向量

7、向量OZ的主值方向的主值方向.z2-z1|Z1 Z2|=| z2-z1 |4.由两点间的距离公式可知由两点间的距离公式可知|z-z0|=r(z0R为常数，为常数，r0是常数是常数.)表示表示 . Z0. Z以以Z0为圆心，以为圆心，以r为半径的圆为半径的圆2021/8/29|z-z1|+|z-z2|=2a (2a|Z1Z2|) 表示表示 .| z-z1 |=| z-z2 |表示表示 . Z1Z2 . Z以以Z1、Z2为焦点、长轴为为焦点、长轴为2a的椭圆的椭圆线段线段Z1Z2的中垂线的中垂线 5.线段线段Z1Z2的中点对应的复数是的中点对应的复数是 .三角形三角形Z1Z2Z3的重心的重心G对应

8、的复数是对应的复数是 .6. 若若z=z1z2，则，则OZ可由可由OZ1 而而得到得到.ZOZ1 22zz213zzz321旋转旋转 2角，模变为原来的角，模变为原来的r2倍倍.7.若将若将OZ旋转旋转 并将模变为原来的并将模变为原来的r倍，则倍，则所得新向量对应的复数为所得新向量对应的复数为 .z r(cos +isin )8. OZ1 OZ2 . z1=z2 bi (z1z20, b R). Z2021/8/210求求z(z(解方程解方程) )的常用方法的常用方法 1. 利用复数相等的条件，即首先设利用复数相等的条件，即首先设z=x+yi(x,y R)或或 z=r(cos +isin )；

9、 2.利用求根公式：一元二次方程的求根公式是利用求根公式：一元二次方程的求根公式是 , xn=b(b C) 利用开方公式；利用开方公式； 3.利用模及共轭复数的定义及性质利用模及共轭复数的定义及性质(如如|z|2=z , |z|2=a2+b2 , =z, z R z= ,z为纯虚数为纯虚数 z+ =0(z0)等等) ;*4.考虑复数的几何意义，结合图形进行分析考虑复数的几何意义，结合图形进行分析. a2bx2,1的平方根zzzz例例1.解下列方程解下列方程(1) |z|-z=1+2i (2) z2= (3)|z-2|=|z-2i|,且且|z|=2z22021/8/211只要我们坚持了，就没有克

10、服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们

11、的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生

12、的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你

13、有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态

14、度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，

15、很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清

16、醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻

17、，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。