考研数学公式大全(考研必备,免费下载)

1、高等数学公式篇万能公式:sin a =2tan( a /2)/1+tanA2(a/2) cos a =1-tanA2( a /2)/1+tanA2( a /2) tan a =2tan( a /2嗣人2( a /2)导数公式:2(tgx) sec x(ctgx)csc* 2 x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax)axlnaZl 、1(logax)xlna(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)111 x2dx2- cos xdx一 2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx C基本积分tgxdx In

2、cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx Csecx tgxdx secx Cdx2 xdx2 adx2 xdx1 x -一 arctg 一 CaLn 2a lncscx ctgxdx cscx Cxx aa dx C In ashxdx chx C2a a x. x arcsin-achxdx shx Cdxx2a2ln( xx2 a2) C22I n sinn xdxcosn xdx0022 . x 22, x a dx x a 222 . x 22,x a dx 一 x a 222 , x 22, a

3、 x dx . a x 2倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cos2 sinsin33sin4sin3cos34cos33costg33tg3 3 tg2半角公式:sin 一2tg21 cos1 cos1 cos sinsin 1 cos正弦定理:asin Absin Bsin C2R1 cos cos-2 .21 cos 1 cos sin ctg 二 21 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函数性质:arcsin xarccosxarctgxarcctgx高

4、阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz公式:(uv)(n)C：u(n0k)v(k)(n)u V(n 1) nu vn(n 1) u2!(n2)Vn(n1) (n kk!1)(nk) (k)V(n) uv定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f (x)ab a, (V0V1nb a1 /二(丫0n 2定积分应用相关公式:yn)yn)yn 1)y12(y2yn 1 V4yn 2) 4(y1y3yn 1 )精选功：W F s水压力：F引力：Fkm孚,k为引力系数 r函数的平均值：y1f(x)dxb a a均方根：1 f2(t)dt b aa空间解析几何和向量代数：空间

5、2点的距离：dM1M2.(x2 xi)2 (y2 yi)2 zi)2向量在轴上的投影：Pr ju ABAB cos ,是AB与u轴的夹角Prju(ai a?) Pr ja Pr ja2a b cosaxbxaybyazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbxavbvazbx x y y z22.axay2, 2azbxz2 by2bzcabax bxay byaz bza b sin.例:线速度:向量的混合积:abc (ab) cb c cos ,为锐角时,cxcycz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n A, B,C

6、, Mo(xo,yo,zo)2、般方程：Ax ByCz D 03、截距世方程：-y a b平面外任意一点到该平面的距离:AX0 By0 CZ0 DA2 B2 C2Xo空间直线的方程:x x。myy。nZoPt,其中s m,n,p;参数方程:y。ZomtntPt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x2 a2 x2p2yb22y2qz,(p,q 同号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2 xa2 xab22 zc2 zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分：dz dx x全微分的近似计算：dy yz dz, u . u , u .du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,

7、y) y多元复合函数的求导法：z fu(t)，v(t)第z fu(x,y),v(x,y)uz v tv tz u z当u u(x,y), v , u . u .du dx dyxv(x, y)时，dv隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dydxdxxdyy隐函数 F(x,y,z) 0,三Fy-Fx Fzd2y dx2Fx(x)+ 一(x Fy yFx岸ydydxFyFz隐函数方程组：F(X,y,U,v)G(x,y,u,v)J (F,G)(u,v)F u G uF v G vF,G1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G) (u,x) (F,G) (u

8、,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0, y0, z0 )处的切线方程:(t)x Xo-(Uyo (to)z zo在点M处的法平面方程:(to)(x Xo)(to )( yy0)(to)(z Zo)若空间曲线方程为：""为0则切向量T G(x,y,z) o曲面 F(x,y,z) 0 上一点 M (Xo,yo,zo),则：1、过此点的法向量:2、过此点的切平面方程n Fx(x0, yo,z0), Fy(x0,yo, zo), Fz(x0, yo,z。):Fx(xo,yo,zo)(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y y°)3、过此点

9、的法线方程:x Xoy yoz zoFx(xo,yo,zo) Fy(xo,yo,zo) FzNyoZ)方向导数与梯度:函数zf (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为f一 cos xFz(xo,yo,zo)(z zo)其中为x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i x它与方向导数的关系是：、 gradf(x,y) e,其中e cos isinf .sinyj,为l方向上的单位向量。f 是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(xo, yo)fy(xo, yo)ACB2o时,则：ACACB

10、2B2o时, o日t,0,令：fxx(xo,yo)0,(xo,yo)为极大值0,(xo,yo)为极小值无极值不确定A,fxy(xo, yo)B,fyy(xo,yo) C重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrdDD曲面z f（x, y）的面积AD2dxdy平面薄片的重心：x M-xMx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix2y (x, y)d ,Dy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a0）的引力:Fxf 一D 2 (x(x,y)xd3，22、万y a )

11、2Fy f 一D 2(x(x, y)yd3, a2”Fzfa2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z 其中：F (r, ,z) f (r cos x r sin cos 球面坐标： y r sin sin ,r sin ,z)dv rd r sindr2r sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,、2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0JM转动惯量:Ix(y2z2)dv,(x2曲线积

12、分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）设f （x,y）在L上连续,L的参数方程为:,(t)f(x,y)ds f (t),L(t) .2(t)2(t)dtr(,)F(r,0、2 .)r sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv），则:特殊情况：y (t)第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为x ，则: y (t)(t) Q (t), (t)dt(Pcos Qcos )ds 其中L和分别为P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t)L两类曲线积分之间的关系：Pdx QdyLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q PQ P格林公式：(一 一)dxdyPdx Q

13、d册林公式：(一 一)dxdy ： Pdx Qdyd x yld x yl一一 Q P1当P y,Q x,即： 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydxx yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P 、,且二一。江息奇点，如(0,0),应 x y1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：, Q P_ .在=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y (x.y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 d (x0,yo)曲面积分：

14、对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x,y). 1 z2(x,y) z2(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；D xyP(x, y, z)dydz Px(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y, z)dzdx Qx, y(z,x),zdzd为取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )

15、ds高斯公式:PQR八八( )dv 、Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos xyz高斯公式的物理意义一通量与散度:散度：divR,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 zRcos )dsdiv0,则为消失通量： A ndsAnds(P cos Q cosRcos)ds,因此，高斯公式又可写成：div AdvAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:RQPR(一 )dydz ( )dzdxyzzxQ ( xP) dxdy y-PdxQdy Rdz上式左端又可写成:空间曲线积分与路径无旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线常数项级数等比数列：1dydzdzdxdxdycos

16、coscos等差数列：1调和级数:1级数审敛法:关的条件:的环流量：PdxQdy Rdz 1A tds1 qn1 q 1)n21是发散的 n1、正项级数的审敛法设： lim n-Un,则根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散别法）：1时,不确定2、比值审敛法:设： limnUn1Uk1时,1时,级数收敛级数发散1时，不确定3、定义法:SnU1U2Un;limsn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2如果交错级数满足U3 U4Unlim unUn绝对收敛与条件收敛:U1 U2 UnU2U3U1 U2 U3,Un 0）的审敛法莱布尼兹定理:10,那么级数收敛且其和s U1，其余项rn

17、的绝又t值rnun 1。,其中un为任意实数;如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数:1发散，而 n工收敛；n工Fnp p1时发散1时收敛数轴上都收敛，则必存/x 1时，收敛于xn (1 x|x 1时,发散a1x a2x2anxn,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全求收敛半径的方法：设函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:余项：Rnf(n1)( )(x(n 1)!X0XXX使R在limnan 1anR时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1an 1是(3)的系数,则0时,时，R 0f (x0)2f

18、(x)f(x°)(x x0) -(x x°)2!(n).f(x0)n(x x°) n!x0)n 1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn 00时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f(0)x Ff(n)(0) n xn!些函数展开成骞级数:(1 x)mm(m 1) 21 mxx2!m(m 1) (m n 1) n;:;xn!(1x1)sinx x5 x5!2n 1欧拉公式:ixe cosxi sinxf(t) A。其中,a0An sin( n n 1aAo，an1)nx(2n 1)!cosx或sin xt ) a2n 2An sin n，bn

19、ix eix ee2ix e2ix(an cosnxbn sin nx)n 1An cosn,正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx上的积分=0。傅立叶级数：t x。任意两个不同项的乘积在f(x)ao2(an cosnx bnsinnx), 周期 2其中132anbn152111T2-22-22460, anf(x)cosnxdxf (x)sinnxdx(n 0,1,2(n 1,2,311122 3242111T2T22234f (x)sin nxdxf(x)cosnxdx周期为2l的周期函数的傅立叶级数:2（相力口）62一（相减）12n 1,2,

20、3 f (x)bnsinnx是奇函数n 0,1,2 f (x) a0an cosn娓偶函数2f(x) a0(an cos-nx bnsinn_x), 周期 2l2 n 1llanbn一 f (x) cos dx l l1 1n x .一 f (x)sindxl il(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念: 一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0(x,y),即写成y的函数，解法：x分离变量，积分后将2代替u,(u) ux可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法: g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成6 f(x,y) dxydydudu,、dx设u,贝Uux ,u(u),xdxdxdxx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x) dxP(x)dxC)e/'当Q(x) 0Bt,