单相交流电路

1、辽宁省精品课辽宁省精品课 I(U、E）t 0mIi(u、e）t 0i(u、e）t 0正弦交流电的特点正弦交流电的特点: :tIim sin： 电流幅值（最大值）电流幅值（最大值） ： 角频率（弧度角频率（弧度/秒）秒） ： 初相角初相角mI 三要素三要素: :2.12.1正弦交流电的基本特征正弦交流电的基本特征t it mI1. 周期周期 T： 变化一周所需的时间变化一周所需的时间 单位：秒（单位：秒（S S）Tf1fT22 一、周期、频率、角频率一、周期、频率、角频率3. 角频率角频率 ： 每秒变化的弧度每秒变化的弧度 单位：弧度单位：弧度/秒秒(rad/s)(rad/s)2. 频率频率 f

2、： 每秒变化的次数每秒变化的次数 单位：赫兹单位：赫兹(Hz)(Hz)it T0 t Iimsin二、瞬时值、最大值、有效值二、瞬时值、最大值、有效值dtRiQTa20RTIQd2daQQ TdtiTI021t Iimsin2mUU 2mEE TmdttTII02)22cos(1 1TmttTI02)22sin(212mI问题与讨论问题与讨论 电器电器 220V最高耐压最高耐压 =300V 若购得一台耐压为若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于的电器，是否可用于 220V 的线路上的线路上? ? 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所，所以以不能用

3、不能用。2有效值有效值 U = 220V 最大值最大值 Um = 220V = 311V 电源电压电源电压tIi sin2初相位：初相位：it ）、度（）、度（单位：弧度（单位：弧度（radt相位（相位角）：相位（相位角）：三、相位、初相位和相位差三、相位、初相位和相位差t = 0 时的相位，即时的相位，即相位差相位差: :111sin t Iim122i1i t0=00 两个两个同频率同频率正弦量间的相位差正弦量间的相位差( (初相差初相差) ) 222sin t Iim2121)()(tt两种正弦信号的相位关系两种正弦信号的相位关系同同相相位位1i1221t2i超前于超前于1i2i相相位位

4、超超前前021相位差为相位差为01i2i与与同相位同相位021 滞后于滞后于2i1i相相位位落落后后t121i2i2i12t1i可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。222111 sin2 sin2tUutUu如：如：结论结论: : 因角频率（因角频率（ ）不变，所以以下）不变，所以以下讨论讨论同频率正同频率正弦波弦波时，时， 可不考虑，主要研究可不考虑，主要研究幅值与初相位的变化。幅值与初相位的变化。tUtUtUuuu sin2 sin2 sin2221121幅值、相位变化幅值、相位变化频率不变频率不变例例1:1:幅值：幅值：A1mIrad/s 1000

5、频率：频率：30 初相位：初相位：301000sinti已知：已知：A求幅值、频率、初相位。求幅值、频率、初相位。Hz159210002fA. 707021I1i2it如果相位差为如果相位差为+180 或或180 180 , ,称为称为两波形两波形反相反相例例2: 已知已知求相位差。求相位差。tIim)90sin(11tIim)90sin(22180)90(9021解解:三角函数式三角函数式301000sinti 这两种方法不便于运算，下面介绍矢量表这两种方法不便于运算，下面介绍矢量表示法和相量表示法，重点介绍相量表示法。示法和相量表示法，重点介绍相量表示法。波形图波形图it 2.2 2.2

6、正弦交流量的矢量表示法和复数表示法正弦交流量的矢量表示法和复数表示法 概念概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 在纵轴上的投影值来表示。在纵轴上的投影值来表示。矢量长度矢量长度 = mU矢量与横轴夹角矢量与横轴夹角 = 初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度 按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转xytUum sinmUt i有效值有效值最大值最大值矢量的书写方式矢量的书写方式 3.矢矢量符号量符号U U、I I 包含幅值与相位信息。包含幅值与相位信息。mUU或或xy01. 若若其幅值用最大值表示其幅值用最大值表示 ，则用符号：，则用符号：mUmI2. 在实

7、际应用中，幅值更多采用有效值，则用符号：在实际应用中，幅值更多采用有效值，则用符号：UI复数的代数式 jbaA22baA abarctg sincosAbAa 式复数的 三三角角函函数数 )sin(cos jAA式复数的 指指数数 jeAA式复数的 极极坐坐标标 AA)()(212121bbjaaAA )(212121 jeAAAA)(2121212121 jjjeAAeAeAAA11111 jeAjbaA 22222 jeAjbaA 9090sin90cosjejj 90)90sin()90cos(jejj )(9090jjjeAeeAjA)()(9090jjjeAeeAjA称称j为为旋转旋

8、转90算子。算子。90逆逆时时针针旋旋转转A90顺时针旋转顺时针旋转A180180111jjeemU)sin(tUum例例：UUjUUeUj)sin(cos或mmjmmUjUeUU)sin(cos设设a、b为正实数为正实数在第一象限在第一象限 jeUjbaU 在第四象限在第四象限 jeUjbaU 在第二象限在第二象限 jeUjbaU 在第三象限在第三象限 jeUjbaU 在一、二象限，一般在一、二象限，一般 取值：取值：180 0 在三、四象限，一般在三、四象限，一般 取值：取值：0 -180 计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：)9126sin(2

9、5tu43jU )9126sin(25tu43jU )153sin(25tu43jU )153sin(25tu43jU 例例:相位哪一个超前？相位哪一个超前？哪一个落后？哪一个落后？例例1: 已知瞬时值，求相量表示已知瞬时值，求相量表示。求：求： i 、u 的相量表达式及相量图。的相量表达式及相量图。解解：Ati)sin(.63144141已已知知：Vtu)sin(.33141311AeeIjj30100100241413030.5190110606021311.)sin()cos(.jjUVej602202206060IU30IU超前超前例例2：已知相量，求瞬时值已知相量，求瞬时值。解解：s

10、radf6280100022 已知两个频率都为已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流，其相量的正弦电流，其相量式为：式为：A10A601003021jeIIAti)sin(60628021001Ati)sin(306280210221,ii求：同频率正弦量的同频率正弦量的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。例例3 3：同频率：同频率正弦波相加正弦波相加 -平行四边形法则平行四边形法则2U21U1U2221 sin2 tUu11 sin2tUu sin2tU21UUU21uuu注意注意 ： 只有正弦量只有正弦量才能用相量表示，才能用相量表示， 非正弦量不可以。非正弦量不可以

11、。2. 只有只有同频率同频率的正弦量才能画在的正弦量才能画在 一张相量图上。一张相量图上。波形图波形图瞬时值瞬时值相量图相量图复数式复数式 （相量）（相量）小结：正弦量的四种表示法小结：正弦量的四种表示法tUum sin TmUt uUeUjbaUj即三角函数式表示即三角函数式表示U符号说明瞬时值瞬时值 - 小写小写有效值有效值 - 大写大写复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mmmEIU、EIU、正误判断正误判断tu sin100？瞬时值瞬时值复数复数U2121221ii,iiii)A3060sin( )A,i45100sin(i , :求t

12、t设1)3060sin( )45100sin( ii21tt解：解：用瞬时值表达式来求解用瞬时值表达式来求解)30sincos30cos60(sin )45sincos45cos100(sin tttt例例A)2018sin( 129tttcos30)2(50sin)3302(50用相量式求解：用相量式求解：AeIm30260j j)30sin30(cos60)45sin45(cos10021jjIImmAtii) 2018sin(12921所以：所以：20181297 .407 .122)3052()7 .707 .70(j jejjjAeIm451100j j153045216000601

13、00jjjmmeeeII)15sin(600021tii所以：所以：7530453560100jjjeeem2m1II)75sin(3521tii所以：所以： 练习：练习：1.写出瞬时值表达式：写出瞬时值表达式：j45m5eI(1)455sin(1)itj90220eU(4)j30m10eU(2)j352eI(3)j0.5I(5)3010sin(2)ut)90sin(20.5(5)it)35sin(22(3)it)90sin(2220(4)ut2.指出下列各式的错误：指出下列各式的错误：20j45j3020eI(4)A3010(3)I)V45sin( 2100100e(2)UA5e)305si

14、n( (1)itt一一. . 电阻电路电阻电路iRu 2.3 2.3 单一参数的正弦交流电路单一参数的正弦交流电路1.1.电流、电压的关系电流、电压的关系 uiRtUu sin2 设设：tRURui sin2则：tI sin2结论：结论：u u、i i同频率同频率)(mmIRUIRU u u、i i同相位同相位用相量表示：用相量表示：UI uiR 0jUeU 0jIeI用相量图表示：用相量图表示：IRU tui波形图表示：波形图表示：tuipt2. 2. 电阻电路中的功率电阻电路中的功率(1) 瞬时功率瞬时功率p：(2) 平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P P：TdtpTP01单位：瓦

15、、千瓦单位：瓦、千瓦 (W(W、kW) kW) tUIiup2sin2RURIUI/22TdttUIT0)2cos1(1)2cos1 (tUIdtdiLu cos2tLIdtdiLu则则)90sin(2tU)90sin(2tIXL二二. .电感电路电感电路1.1.电流、电压的关系电流、电压的关系 令：令：U=IXL ，其中：其中： XL= L 称称感抗感抗 , iuLtIi sin2设：单位：欧姆（单位：欧姆（）)90sin(2tIL波形图表示：波形图表示：iuL结论：结论：u 超前超前 i 90 )(mLmIXUIXULiut 90用相量表示：用相量表示：90jUeU0jIeI用相量图表示：

16、用相量图表示：IjXULUItIi sin2)90sin(2tUu u u、i i同频率同频率 感抗（感抗（XL =L ）是频率的函数，是频率的函数， 表示电感电路表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦量有效中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦量有效。LLXIU = 0 时时XL = 0关于感抗的讨论关于感抗的讨论u+_LR直流直流U+_R对直流电，电感相当于短路。对直流电，电感相当于短路。? ?tUIttUIiup 2sincossin2（1）瞬时功率瞬时功率 p ：2. 2. 电感电路中的功率电感电路中的功率iuLtIi sin2)90sin(2tUu uitP 0P 0

17、可逆的可逆的能量转换能量转换过程过程储存储存能量能量释放释放能量能量 （2）平均功率平均功率 P （有功功率）（有功功率）0)2(sin1100dttIUTdtpTPTT 结论：结论：纯电感不消耗能量纯电感不消耗能量，只和电源进行能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）交换（能量的吞吐）tUIuip 2sin瞬时功率瞬时功率无功功率等于瞬时功率达到的最大值。无功功率等于瞬时功率达到的最大值。LLLXUXIUIQ22tUIpsin2所以单位：乏单位：乏(var) 为了衡量电感与电源之间能量交换的规模大小，把为了衡量电感与电源之间能量交换的规模大小，把电感与电源之间能量交换的最大值，称为无功功率

18、。电感与电源之间能量交换的最大值，称为无功功率。tIi sin2)90sin(2tUu 则：例例1:将一将一0.1H的线圈接到的线圈接到f=50Hz，U=10V的正的正弦交流电源的电流多大？若弦交流电源的电流多大？若U不变，改变不变，改变f=5000Hz，电流多大？，电流多大？解解:4 .311 . 05014. 322LfLXL iuLAXUIL318. 04 .311031401 . 0500014. 322LfLXL mAAXUIL18. 300318. 0314010电流与电压电流与电压的变化率成的变化率成正比。正比。tuCidd则：则：)90sin(2tCUtUCtuCicos2dd

19、uiC+_设：设：tUusin2)90sin(2tI 令：令： U=IXC ，其中：其中： XC=1/ C 称称容抗容抗 单位：欧姆（单位：欧姆（）itui90u波形图波形图:结论：结论：u 滞后滞后 i 90 )(mCmIXUIXUCuiC+_用相量表示：用相量表示：0jUeU90jIeI用相量图表示：用相量图表示：IjXUCUItUu sin2)90sin(2tIi u u、i i同频率同频率CXIU 则则: : 容抗容抗（）定义：定义：CfCXC211所以电容所以电容C具有隔直通交的作用具有隔直通交的作用 CfXC21XC直流：直流： XC ，电容，电容C视为视为开路开路交流：交流：fu

20、iC+_由由)90sin(sinmmttIUuiptUI2sintIU2sin2mmuiotu,ip 0p 0p 0tUu sin2)90sin(2tIi 0d)(2sind10ttUIT1tpTPT0T结论：结论： 纯电容不消耗能量，纯电容不消耗能量，只只和电源进行能量交换（能和电源进行能量交换（能量的吞吐量的吞吐) )。同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。CCCXUXIUIQ22tUIpsin2所以单位：乏（单位：乏（var）为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设tIisin2)90(sin2tUu则：则

21、：例例2:电容器电容器C=0.5F，外加交流电压，外加交流电压U=10V，=30，=106rad/s，求，求i。uiC+_（1）相量图法：先画相量图，）相量图法：先画相量图， 分别求分别求I、 。解解:30UIAcUXUIC5105 . 01010166 1209030i Ati)12010sin(256例例2:电容器电容器C=0.5F，外加交流电压，外加交流电压U=10V，=30，=106rad/s，求，求i。uiC+_（2）复数复数(相量相量)法：法：解解:Ati)12010sin(256VeUeUjj30101030 由已知：2105 . 0101166cXC AeeejXUIjjjC1

22、20552101209030有：单一参数交流电路中的基本关系单一参数交流电路中的基本关系小小 结结iRu UIRIUdtdiLu UI)(LXjIUdtduCi UI)(CXjIU0QRURIUIP22(w(w、kw)kw) 0PLLLXUXIUIQ22(var(var、kvar)kvar) 相量式相量式相量图相量图功率功率瞬时式瞬时式电路图电路图RiuLiuCiu0PCCCXUXIUIQ22(var(var、kvar)kvar) LXLCXC1一、一、电流、电压的关系电流、电压的关系2.4 RLC2.4 RLC串联交流电路串联交流电路分析方法分析方法：（1 1）相量图法）相量图法uRuLuC

23、uRLCi?sinutIim求，已知： 0jIeI 设：CLRuuuuCLRUUUU复数式：（1 1）用相量图法分析：）用相量图法分析：先画出参先画出参考相量考相量CUULUIRUCLUU （设（设 ）CLXX uRuLuCuRLCi0jIeI CLRUUUUUCLUU RUCURUULUCLUUI（设（设 ）CLXX 电压三角电压三角形形RXXarctgUUUarctgCLRCL 22)(CLRUUUUZIXXRICL22)(22)(CLXXRZ阻抗：阻抗：电压与电流的相位差：电压与电流的相位差：CLCLIXIXUUIRURZRCLXX 阻抗三角形阻抗三角形阻抗角RXXarctgCL22)(

24、CLXXRZ阻抗：阻抗：UCLUU RU电压三角电压三角形形RXXarctgUUUarctgCLRCL 电压与电流的相位差：电压与电流的相位差：ZRCLXXX阻抗三角形阻抗三角形阻抗角RXXarctgCL22)(CLXXRZ阻抗：阻抗：当当 时时， ， u 超前超前 i 电路呈电感性电路呈电感性CLXX 0CLXX 0当当 时，时， ， u 、i同相同相 电路呈电阻性电路呈电阻性CLXX 0当当 时时， ， u 落后落后 i 电路呈电容性电路呈电容性ZIXXjRIjXIjXIRIUCLCL则则 RIUR0II设设（参考相量）（参考相量）复阻抗)(CLXXjRZ（2 2）用复数解析法分析：）用复

25、数解析法分析：uRuLuCuRLCiCLRUUUU LLjXIUCCjXIU 二、二、 RLC串联交流电路的功率串联交流电路的功率)2cos(cossin)sin(2tUIUIttUIiupuRuLuCuRLCi由：由：tIisin2)(sin2tUucos10IUdtpTPT其中其中 称功率因数称功率因数cosRIIUIUPR2cosuRuLuCuRLCi设：设：tIisin2)(sin2tUuUCLUU RU)2cos(costUIUIpuRuLuCuRLCi设：设：tIisin2)(sin2tUusinIUQCLCLXIXIIUU22)(CLQQ ，感性，00sin0Q，容性，00sin

26、0Q，谐振，00sin0QuRuLuCuRLCiIUS 单位：伏安单位：伏安(VA(VA） 有些电器设备的容量是不能用有功功率来表示的，如有些电器设备的容量是不能用有功功率来表示的，如发电机和变压器。因为其所带负载的功率因数是未知的，发电机和变压器。因为其所带负载的功率因数是未知的，所以用视在功率来表示容量。它表示最大可能输出的功率。所以用视在功率来表示容量。它表示最大可能输出的功率。 把电压有效值和电流有效把电压有效值和电流有效值的乘积，叫做视在功率。值的乘积，叫做视在功率。uRuLuCuRLCiZIIUS222QP sinIUQ cosIUP ZRCLXX SPQ阻抗三角形阻抗三角形URU

27、CLUU 电压三角形电压三角形功率三角形功率三角形除以除以I乘以乘以IZjXRZiu1. R-L串联串联电路电路R-L-C串联交流电路中的特例串联交流电路中的特例2. R-C串联串联电路电路uRuLuRLiuRuCuRCiR-L串联电路串联电路相量式表示相量式表示UILURUZIjXRIUUULLR)（ 阻抗角阻抗角,电压超前电流的相位角电压超前电流的相位角 0II设设:LRUUUuRuLuRLiZjXRZL22LXRZRXarctgLLRUUU向量图向量图UILURU UULUR |Z|XLR SQP电压三角形电压三角形阻抗三角形阻抗三角形功率三角形功率三角形22LRUUU22LXRZ22Q

28、PScos 称为功率因数称为功率因数电压三角形、阻抗三角形电压三角形、阻抗三角形功率三角形功率三角形coscosUISP2 R-C串联电路中电压电流的相量图串联电路中电压电流的相量图以以I为参考相量为参考相量IURUCU CRUUUZIUUUCR22有效值关系有效值关系:22CXRZRXtgC1R时，时， UL= UC U 串联谐振又称电压谐振。串联谐振又称电压谐振。 LUCUI谐振时电压、电流的相量图谐振时电压、电流的相量图 UUR 5. 功率功率P=RI02=U2/R200LIQL 2001 ICQC 0 CLQQQ负载吸收功率负载吸收功率电源发出功率电源发出功率 20cosRIUIP 0

29、sin UIQPQLC+_Ru电源供给的能量全部被电阻所消耗。电源供给的能量全部被电阻所消耗。天线回路与天线回路与LC调谐回路调谐回路 LRCY j1j )( j)(2222LRLCLRR 谐振时谐振时 0)(22 LRLC 由电路参数决定。由电路参数决定。 求得求得 20)(1LRLC j LR+- UIC j1LICIUILICI谐振时的电压、电流相量图谐振时的电压、电流相量图 当电路发生谐振时，电路的总阻抗为当电路发生谐振时，电路的总阻抗为 RCLRLRZ 2020)()(。改变频率可能发生谐振改变频率可能发生谐振时时即即当当 , ,)(1 2CLRLRLC 不不可可能能发发生生谐谐振振

30、。时时当当 , CLR 并联谐振具有以下特征：并联谐振具有以下特征：（1）电路的阻抗最大，电源电压一定时，总电流最小。）电路的阻抗最大，电源电压一定时，总电流最小。并联谐振时电路的总阻抗为并联谐振时电路的总阻抗为 RCLRLRZ 2020)()( 在在RL条件下，其值接近于最大，并相当条件下，其值接近于最大，并相当于一个纯电阻。当于一个纯电阻。当R=0时，趋近于无穷大。时，趋近于无穷大。电路总电流为电路总电流为若电压一定，则总电流很小。若电压一定，则总电流很小。RCLUZUI 00 （2）电感支路和电容支路上的电流可能远）电感支路和电容支路上的电流可能远远大于总电流，且电感支路电流的无功分量远大于总电流，且电感支路电流的无功分量与电容支路电流相等，即与电容支路电流相等，即CLLIIsin并联谐振时，电路的电压与电流相量图并联谐振时，电路的电压与电流相量图 若电压一定，在谐振情况下若电压一定，在谐振情况下RL时，时，支路电流支路电流IL、IC可以远大于总电流可以远大于总电流I，故并联，故并联谐振又称电流谐振。谐振又称电流谐振。 并联谐振时，总阻抗相当于一个纯电阻。并联谐振时，总阻抗相当于一个纯电阻。电源只向电路提供有功功率，电感与