2016高考数学二轮复习专题6解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线理

1、i专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线“吻主干考点槻理冷i 椭圆的定义.平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件.到两个定点Fi,F2的距离的和等于常数 2a.(2)2a |FiF2|.2.椭圆的标准方程和几何性质.标准方程葺+=1(心心0a0詁 + 畚=1(460图形yi1Py iaBjhV()B2兀r范闱 byb一工冬 aya对称性对称轴:工轴轴 对称中心：原点椭圆 的定义与几何性质2性质顶点坐标Ai ( a ,0) . A2(atO)A(0,a) ,A2(O,a)Bi (0,b)9B2(O?d)B （以0）民 （九0）轴长长轴AA2的长为辿 短轴的长为逊焦距|FF21 =2 a2b

2、2离心率e G (0,1aci的关系c2=a2b2ZE双曲线的定义与几何性质i.双曲线的定义.平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：到两个定点Fi,F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.（2）2av|FiF2|.32.双曲线的标准方程和几何性质.范围3.等轴双曲线.2 2实轴和虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x-丫=入（入工 0）,离心率e对称性顶点坐标对称轴轴 Q 轴对称中心：原点Ai (a,0),A2(a,0)A(0ta)A2(0)渐近线离心率e= ,eE (1, +)其中c= y/a+ba - -实虚轴线段人儿叫做双曲线的实轴它的长丨儿儿| = 空*线段B及叫做双曲线

3、的虚轴它的=辿2叫做双曲线的半实轴长叫做双曲线的 半虚轴长*c的关系用=/+b2(caQ,cb0)图形（）标准方程1寺一*=（Q00）荒十0Q0）04=輕，渐近线方程为y=x.5亘抛物线的定义与几何性质1.抛物线的定义.平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点F叫做抛物线的 焦点，直线I叫做抛物线的 准线.性质隹占(f,0)（一伊。）(4)(f)对称轴关于工轴对称关于夕轴对称顶点(0,0)6离心率e1曲线的方程与方程的曲线若二元方程f（x,y） = 0 是曲线C的方程，或曲线C是方程f（x,y） = 0 的曲线，则必须 满足以下两个条件：1.曲线上点的

4、坐标都是 二元方程f（x，y） = 0 的解（纯粹性）.2以这个方程的解为坐标的点都是 曲线C上的点（完备性）.概念舛析判断下面结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）.（1）平面内与两个定点Fl,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（X）（2）椭圆上一点P与两焦点Fi,F2构成PFF2的周长为 2a+ 2c（其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距）.（V）（3）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（V）2 2 2 2x yy x(4) +2= 1(ab0)与2+2= 1(ab0)的焦距相同.(V)a bab2 2x y方程一一=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.(X)m n371.平

5、面内到点0, 1）、B（1 , 0）距离之和为 2 的点的轨迹为（A）A.椭圆B. 一条射线C.两条射线D.一条线段解析：因为点到两定点2AB距离之和为 2 |AB= 2,所以该点的轨迹为椭圆.故选A.22以知F是双曲线X 12=1的左焦点，A（1，4） ,P是双曲线右支上的动点，则|PF+ |PA的最小值为9.解析：注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F （4 , 0）,于是由双曲线性质|PF|PF| = 2a= 4,而 IPA+ |PFI |AF,| = 5,两式相加得|PF+ IPA9,当且仅当A P F三点共线时等号成立.2 2一x y3.（2015 新课标I卷）一个圆经过椭

6、圆 16 +壬=1 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴一32225上，则该圆的标准方程为（x2）+y=4解析：由题意知a= 4,b= 2，上、下顶点的坐标分别为（0, 2） , （0， 2），右顶点的坐标为（4 , 0）.由圆心在x轴的正半轴上知圆过点 （0 , 2） , （0， 2） , （4 , 0）三点.设圆的3一222m+4=r，2一标准方程为（xm）+y=r（0vmx4,r0）,则22解得 t所以圆的标I（4m= r ,.22532225准方程为（x 2）+y=4.24. （2015 北京卷）已知双曲线x2y2= 1（a 0）的一条渐近线为，3x+y= 0，贝Ua=a2解析：双曲线2y

7、2=1 的渐近线为y=c，已知一条渐近线为3x+y=0，即y=3aa4气2x,因为a 0，所以- =*3，所以a=青.a3答案：338配套作业8C.32 i8解析：若 m2,则=,解得详。.m43亠2 m 13右 0vm 0)的一个焦点，贝Ub= 3.2222令 y = 0,并把 X0= 2py0代入得 x 2xx + x p = 0.解得 X1= X0 p, X2= X0+ p,解析：如图,5. （2014 江西卷）过双曲线 C:2 2X2 b2= 1 的右顶点作 X 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A, O 两点（O 为坐标原点），则双

8、曲线 C的方程为(A)2 2x yA= 12xB. 72 2xyC- = 1882x D.1242L=1解析：因为2XC:2a2b2=1的渐近线为by = x，所以 A(a , b)或 A(a , b).因此 OA= c a=4，从而三角形OAC 为正三角形，即 tan60= -, a= 2, b= 2 寸 3 双曲线 C 的方程为 x 6. （2014 全国大纲卷）双曲线2,焦点到渐近线解析：由已知可知渐近线的斜率1 +b2= 4 解得a11解析：由题意得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c = 2.根据双曲线的标准方程，可知a2= 1.又c=a+ b，所以b= 3.又 b0,所以 b =寸 3

9、.&在直角坐标系 xOy 中，直线 I 过抛物线 y2= 4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A, B 两点，其中点 A 在 x 轴上方，若直线 I 的倾斜角为 60,则厶 OAF 的面积为 3.解析：由 y2= 4x，可求得焦点坐标为 F(1 , 0)，因为倾斜角为 60 ,所以直线的斜率为k= tan 60 = 3,利用点斜式，直线的方程为y = 3x 3,2y = 4x |MN| = |x1 X2| = 2p,因此S OAF=1 12XOF0),圆心O在抛物线 C: x = 2py 上运动，MN 为圆 O 在 x 轴上所截得的弦.(1) 当点 O运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结

10、论；(2) 当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且 MN 在原点 O 的右侧时，试判断抛物线 C 的准线 与圆 O是相交、相切还是相离，并说明理由.2I 22解析：(1)设 O(X0,yo)，则 Xo= 2pyo(y0 0)，则OO的半径 |O A| =马 xo+( yo p),2222OO的方程为(x X。)+ (y y) = x+ (y0 p).13又 |0A|是|OM|与|0N|的等差中项,|0M| + |0N| = 2|0A|，可得 B(p , 0) , O圆 0与抛物线 C 的准线相交.0)，且点 P(0 , 1)在 C 上.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 I 同时与

11、椭圆 C 和抛物线 C2: y2= 4x 相切，求直线 I 的方程.解析： 因为椭圆 C 的左焦点为 Fi( 1, 0)，所以 c = 1.2 21将点 P(0 , 1)代入椭圆方程?+ b= 1，得 p= 1，即 b = 1,所以 a2= b2+ c2= 2.2xo所以椭圆 C1的方程为2+ y2= 1.2 2 2k x + (2 km 4)x + m= 0.因为直线 l 与抛物线 a 相切，所以2= (2km 4)2 4k2nf= 0,整理得 km= 1. |0 A| =即圆 0的半径为 2 P.又点0到抛物线C 的准线的距离为；一P.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:2x2+

12、a2y了= 1(a b 0)的左焦点为(2)直线 l 的斜率显然存在且不为-2X ,2由0，设直线 I 的方程为 y= kx + m2+歹=1,i2消去 y 并整理得:y= kx + m(1 + 2k2)x2+ 4kmx+ 2ni 2 = 0,2.14因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以1= 16k2ni 4(1 + 2k2)(2m2 2) = 0,整理得 2k2 nf+ 1 = 0.由 y =4x，消去 y 并整理得:y= kx + m,m= 12.综合，解得k =或 315所以直线 I的方程为y=2SJ2 或 y = gL讨 2.11.如图，等边三角形OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点

13、均在抛物线E: x2= 2py(p0) 上.(1) 求抛物线 E 的方程；(2) 设动直线 I 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y= 1 相交于点 Q.证明：以 PQ 为直径 的圆恒过 y轴上某定点.解析：依题意，|OB| = 8 3，/ BOy= 30 .设 B(x , y)，则 x=|OB|sin 30 = 4 3,y= |OB|cos 30 = 12.因为点 B(43, 12)在 x2= 2py 上，所以(43)2= 2pX12,解得 p= 2.故抛物线 E 的方程为 x2= 4y.121(2)证法一由(1)知 y =4x , y=2x.12设 P(xo, yo)，贝UxoM0, y

14、= xo，且 I 的方程为41 1y yo= x0(x xo)，即 y=x2 4 得乂= 2X0，y= 1.12一 XoX 一 Xo.1x2，设 M(0, y1)，令 MP MQ= 0 对满足 yo= 4x0(x0)的 Xo,yo恒成立.由于艰(Xo,MQ=4I2Xo12Xox所以 Q 为1 i2由MP- MQ= o,2即(yi+ yi 2) + (1 yyo= 0.由于式对满足 yo=：x0(x0工 0)的 yo恒成立,1 yi= 0, 所以*2解得 yi= i.yi+ yi 2 = 0,故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0, i).i2ii2由(i)知y= 4x，y= 2X，

15、设P(x0,y0)，则X0工0,y0= 4X0,且1的方程为y故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0, i).以下证明点 M(0, i)就是所要求的点.因为 MP= (X0, y。一 i) , MQ=, 2，所以 MP- MQ=4 2y+ 2 = 2y。 2 2y。2X0/2+ 2 = 0.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0, i).x2422yo yyi+ yi+ yi= 0,证法iy0=2X0(X X0),y = 2x0X - 4x0.由彳fi i2y = 2X0X4x0,2.x=x24得彳2x0$= i.取 X0= 2,此时 P(2 , i) , Q(0, i)，以 PQ 为直径的圆为(