正态分布教案说课材料

1、正态分布教案一、教材分析正态分布是高中新教材人教A 版选修 2-3 的第二章 “随机变量及其分布” 的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充， 也是对前面知识的一种拓展， 是必修三第三章概率知识的后续。 该节内容通过研究频率分布直方图、 频率分布折线图、 总体密度曲线， 引出拟合的函数式， 进而得到正态分布的概念、 分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法， 这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。 新教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。正态分布是描述

2、随机现象的一种最常见的分布， 在现实生活中有非常广泛的应用。在这里学习正态分布，也有利于学生在大学阶段的进一步学习。二、教学目标1知识与技能 通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源 通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用 3 原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2过程与方法 通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观 通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣 通过 3 原则的学习，充分感受数学的对称美三、重点、难点重点

3、 ： 正态分布密度曲线的特点，利用 3 原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点： 正态分布密度曲线的特点四、教法与学法学情分析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布 直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。但正态分布的密度函数表达式较为复杂 抽象，学生理解比较困难。根据以上学情，我采取了如下的教学方法：1、教法本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探 索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。通 过“观察一探究一再观察一再探究”等思维途径完成整个教学过程。而多媒体的辅 助教学，不仅激发学生的学习兴趣

4、，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析 归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提 出、解决数学问题的能力。（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源） 归纳分析：引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。（如通过几何画板的观察，归纳分析参数、对图像的影响）理解应用在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提 高学习数学的兴趣。（如例题2及作业B组题的设置）五、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图通过对高尔顿板试验进行演示。教

5、师创设情境，为导入新知做准备。教师利用多媒体进行以学生感悟体验，对试 验的结果进行定向思动态演示，能提高学 生的学习积极性，提境考。高学习数学的兴趣。激 情学生经过观察发现：第11页共9页研探论证1.用频率分布直方图从频率角度研究 小球的分布规律 将球槽编号，算出各个球槽内的 小球个数，做出频率分布表。以球槽的编号为横坐标，以小球 落入各个球槽内的频率与组距的比值 为纵坐标，画出频率分布直方图。连 接各个长方形上端的中点得到频率分 布折线图。将高尔顿板下面的球槽去掉，试 验次数增多，频率分布直方图无限分 割，于是折线图就越来越接近于一条 光滑的曲线。教学内容下落的小球在槽中的分 布是有规律的。

6、引导学生思考回顾， 教师通过课件演示作图 过程。在这里引导学生回忆 得到，此处的纵坐标为 频率除以组距。教师提出问题：这里 每个长方形的面积的含 义是什么？学生经过回忆，容易 得到：长方形的面积代 表的是相应区间内数据 的频率教师引导学生得到： 此时小球与底部接触时 的横坐标X是一个连 续型随机变量。教师通过课件动态演 示频率分布直方图无限 分割的过程。通过把与新内容有关 的旧知识抽出来作为 新知识的“生长点”， 为引入新知搭桥铺 路，形成正迁移。通过这里的思考回 忆，加深了对频率分 布直方图的理解。这个步骤实现了由离 散型随机变量到连续 型随机变量的过渡。通过几何画板让学生 直观感受正态曲线

7、的 形成过程。师生互动设计意图2.正态曲线：曲线中任意的一个 x均对应着唯 一的一个y值，经过拟合，这条曲线 是（或近似地是）下列函数的图像：2X12 2,x 一 e 2 ,x ,2其中是圆周率，e是自然对数的底, 实数和 （0）为参数。我们称 x的图像为正态分布密度曲 ,线，简称正态曲线。与分别反映的是均值与标准差。教师提出课题并板 书：正态分布教师分析正态分布密 度曲线表达式的特点， 并指出两个参数的实际 意义。与旧教材不同的是， 该处在学生从形的角 度直观认识了正态曲 线之后才给出曲线对 应的表达式，这样处 理能更直观演示正态 曲线来源。3.正态曲线对应的解析式中含有两个 参数和。下面结

8、合函数解析式研 究曲线特点，并分析参数和 对曲研线的影响：固定的值，观察对图像的影响D « f 10七U = 口比学生研探新知，并进 行推理论证。其中教师对学生进行 学法指导，优化学生思 维。教师利用几何画板， 先后固定参数 和， 通过变化参数 和的 值得到一系列正态曲 线，学生观察图像，分 组讨论并派代表发言。学生通过观察得到： 当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平 移；结合解析式分析知0时它是个偶函数， 于是参数 决定了正态 曲线的对称轴， 0时 的图像可由 0时的 图像平移得到。（教师板 书：曲线是单峰的，它 关于直线x对称）同时得到：曲线在x 时达到峰值（教师板书）。教学内容师

9、生互动针对解析式中含有两 个参数，学生较难独 立分析，教师通过固 定一个参数，讨论另 一个参数对图像的影 响，这样的处理大大 降低了难度。该环节教师利用多媒 体引导学生归纳正态 曲线的特点，既加强 了学生的直观理解， 也增强了学生观察归 纳的能力。设计意图固定的值，观察对图像的影响 综合以上图像，你还能得到正态曲 线的哪些特点？4.曲线与x轴之间的面积为1。根据 对称性知，随机变量X落在对称轴x两侧的概率都是12。请思考： 对于任意一个随机变量 X ,如何求出 落在给定区间a,b内的概率？教学环教学内容学生通过观察并结合 参数与的意义可以 分析得到：当一定时, 影响了曲线的形状。 即：越小，偏

10、离均值 的程度越小，则曲线越 瘦高；越大，偏离均 值的程度越大，则曲线 越矮胖（教师板书）。该环节通过几何画板 呈现了教学中难以呈 现的课程内容，很好 地锻炼了学生观察归 纳的能力，体现了归 纳分类、化难为易、 数形结合的思想。这样的处理很好地 突出了重点，突破了 难点。综合以上的图像并结 合解析式分析得到：曲 线位于x轴上方，与x 轴不相交。（教师板书）。最后引导学生由概率知识知：曲线与 x轴 之间的面积为 1 （教师 板书）。这为接下来提出问 题，引入正态分布的 定义做铺垫。引导学生回忆得到：X落在区间 a,b的概 率的近似值其实就是在 a,b上的阴影部分即 曲边梯形的面积，曲边 梯形面积

11、等于函数 x在区间 a,b上的 定积分。即：P a< X b 口x dx通过设疑，引起学生 对问题的深入思考， 通过复习、巩固原有 知识，以确保新内容 的自然引入，同时加 深了对定积分几何意 义的理解。师生互动设计意图5.正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a v b,随机变量X满足P avX b ；, x dx ,则称 X的分布为正态分布，常记作 N , 2 。如果随机变量 X服从正态 分布，则记作X N , 2。教师在前面分析的基础上引出正态分布的概 念，并说明记法。引导学生分析得到,X所落区间的端点是 否能够取值，均不影响 变量落在该区间内的概 率。以旧引新，虽然概念 较抽象，但

12、这样的处 理过程学生不会觉得 太突兀，易于接受新 知识。同时培养了学 生把前后知识联系起 来进行思维的习惯。6. 3原则研 探论 证几何画板演示3原则:P 2 Vx 20.9544引导学生分析，求定 积分，通常需要求出原 函数。根据现有知识， 无法求 x原函数。 ,得寻求别的方法求概 率。教师通过利用几何画 板演示随机变量 X落 在区间 ，2 ,2 与3 ,3 这三个区间内的概率，引入 3原则的内容，并指 出：在 3 ,3区间以外取值的概率只 有0.0026,通常认为这 种情况在一次试验中几 乎不可能发生。所以，在实际应用中， 我们通常认为服从于正 态分布的随机变量只取4 ,3 之间的值，简称

13、3原则。我 们可以利用3原则解 决一些简单的与正态分 布有关的概率计算问 题。（教师板书 3原则的 内容）学生发现了所学知识 无法解决的问题，从 而引起了他们的疑 问，激发了他们要解 决问题的欲望，变“要 我学”为“我要学”。新知识的直接给出， 学生接受或多或少会 有点困难。教师利用 几何画板，从数与形 上体现了 3原则的 内容，能很好加深学 生的印象便于理解。这为后面3原则的 应用作了铺垫。教学环教学内容师生互动设计意图例题1把一条正态曲线a沿着横轴方 向向右移动2个单位，得到新的一条 曲线b ,下列说法不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线B.曲线a和b的最高点的纵坐标相等 C.以曲线b为

14、正态分布的总体的方差 比以曲线a为正态分布的总体的方差 大2D.以曲线b为正态分布的总体的期望 比以曲线a为正态分布的总体的期望 大2学生独立分析，并学 生间互问互检，质疑答 辩。教师排难解惑，帮 助学生巩固深化所学知 识。学生易分析知：正态 曲线a经过平移仍是正 态曲线，峰值不变。而 曲线的左右平移与即均值（期望）有关。故 C选项的说法不正确。通过该例的设置，深 化了学生对正态曲线 的特点及正态分布密 度函数表达式中参数 与的理解。反馈矫正例题2某地区数学考试的成绩 X服 从正态分布，其密度函数曲线如下图：求成绩X位于区间 52,68的概率是多少？求成绩X位于区间 60,68的概率是多少？若

15、该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在 76分以上 的考生有多少人？学生相互讨论，根据对称轴可知60 ,根据峰值可知8,代入正态曲线表达式可得：x 60 21,x 1 e 1288 2由 60,8知：P 52V X 68P VX0.6826P 60V X 681P 52Vx 6820.3413P X>76PXV4411 P 44 X 7621c c1 0.954420.0228通过一个贴近生活的 实例，学生体会到了 数学在实际问题中的 应用，培养学生应用 所学知识解决问题的 能力，激发学习热情。 本例是由课本74页 练习2进行变式处 理，做到了一题多用。 该环节设置的 这三个

16、小问，分别要 求学生根据 3原则 直接求出对称区间概 率，利用对称性及结 合概率为1,求不对 称区间的概率。体现 了数形结合的思想， 同时问题的设置由易 到难，形成坡度。教学环节例3设正态总体落在区间，1和区间3,内的概率相等，落在区间2,4内的概率为99.74%,求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。学生分析易知：落在,1和3, 内概 率相等知 1,由区间2,4 概率为 99.74%, 知 1 34,1 32,即 1 ,代入正态分布 密度函数解析式知最高1点的坐标为 1, 一 .2要求学生能根据题意 画出草图，分析已有 条件得到两个参数的 解，利用解析式求出 结果。再一次强化了 数形结合

17、的解题思 想。教学内容师生互动设计意图应 用 评 价1 .正态曲线有哪些具体的特点？2 . 3原则是什么？它对、取任何数，数据落到相对区间内的概率是 /、变的吗?3 .思想方法：数形结合等。4 .生活中的正态分布教师引导学生进行课 堂小结，自我评价。学生可以展示自己的 所悟所得，与同伴分享 成功的喜悦；还可以提 出自己的困惑，师生共 同探讨。将课堂小结作 为自我评价的主阵地。教师结合例子对止态 分布进行介绍。通过学生提出学习本 节内容中的困惑和与 同伴分享学习成果， 引导学生进行反思与 自我评价。教师/、仅 引导学生反思学习知 识，还反思思想方法。通过教师的介绍，学 生能够体会到生活中 处处后

18、正态分布，感 受到数学的实际应 用。思 维 创 新A组课本75页A组第1题B组第2题B组 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N 70,100 ,已知成绩在 90分以上(含90分)的学生有12名。试问此 次参赛的学生总数约有多少人？课外思考：请尝试从解析式角度分析 正态曲线的对称性与最值。学生通过作业进行课 外反思，通过思考发散 思维，发现创新。教师通过布置作业， 进行自我评价，更新数 法。学生通过作业，及时 反馈，巩固所学知识； 教师通过分层次布置 作业，提高了学生的 学习效率，同时能在 作业中发现教学的不 足。板书设计正态分布1 .解析式 例1 .多媒体投影2 .曲线性质(4)3 . 3原则六、教学设计说明数学知识之间存在着内在的本质联系，本设计充分注意了新旧知识间的内在联 系，这样更容易使学生在学习过程中把前后所学知识联系起来进行理解记忆，更容