分离变量法的精神和解题要领

1、习题一：判定下列二阶方程的类型及化简06234yxyyxyxxuuuuu0)1 ()1 (22yxyyxxyuxuuyuxuuu14711471答案：答案：0uu0yyxxxuu0)(60)()(24103023uuuoruuxuxuuux答案：2)()0 ,(),( 0), 0()0,0( 2xlxxukqtlututlxuauxxxt习题二：长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热量q进入（即单位时间由通过单位截面积流入的热量为q），杆的初始温度分布是 2)(xlx，试写出相应的定解问题。答案： 建立方程解题思路： 设其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律

2、。 建立坐标：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= dx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则 由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx 由热传导定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxxxu解题方法： 1 1建立方程， 2 2定解条件：边界条件，初始条件 3 3定解问题分离变量法的精神和解题要领 1分离变量法的精神 将未知函数按多个单元函数分开，如，令 从而将偏

3、微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解 2分离变量法的解题步骤 用分离变量法求解偏微分方程分4步 （1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特征值问题和其它常微分方程。 （2）求解特征值问题 （3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如 ）。 （4）叠加（如 ）用初始条件和齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。)()()()(),(tTzZyYxXtzyxu, 2 , 1,nunnuu特征值问题 在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方

4、程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。 常涉及到的几种特征值问题： （1） 特征值 ，特征函数 （2） 特征值 ，特征函数 （3） 特征值 ，特征值函数 （4） 特征值为 ，特征值函数 0)()0(0)()(lXXxXxX222ln, 2 , 1 sin)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXXxXxX2)(ln, 2 , 1 , 0 cos)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXX

5、xXxX2)21(ln , 2 , 1 , 0 21sin)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXXxXxX2)21(ln , 2 , 1 , 0 21cos)(nxlnCxXnn有界弦的自由振动 ( , )( ) ( )u x tX x T t3 , 2 , 1sin)(kxxXk 0 )( )(u 0)(t 0),(), 0( )0,0( 0002lxxuxtlututlxuautttxxtt 0)()0( 0)()(lXXxXxX特征值问题同热导相同222lkkxlktlakBtlakAtTxXtxutxukkkkkkkksin)sincos()()(),(),(111lkdl

6、nlA0sin)(2lkdlnakB0sin)(2形式不变有界杆上的热传导0:0:0)(:0)0 , 0(02huulxuxxutlxtuauxxxt)3 , 2 , 1(sinsin)(kxlxxXkkk1sin),(2kktakxeAtxuk), 2 , 1()(2klkk形式不变( , )( ) ( )u x tX x T t特征值问题同振动方程相同1020sinsinsin)(),(2kktalklkxeddtxuklklkkddA020sinsin)(), 2 , 1()(2klkk222,(0, ),0( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxu xx

7、xlutu l tt本征值和本征函数21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln222112220()()( , )expsinnnannu x tAtxll120()2( )sinlnnAdll 波动与热导对比( , )( ) ( )u x tX x T t本征值问题( )( )0(0)( )0XxX xXX lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：( )( )0(0)( )0XxX xXX l本征值问题X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：波动热导0yyxxxuu0)(60)()(24103023uuuoruuxuxuuux答案： 建立方程解题思路：

8、 设其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。 建立坐标：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= dx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则 由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx 由热传导定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxxxu解题方法： 1 1建立方程， 2 2定解条件：边界条件，初始条件 3 3定解问题 （1） 特征值 ，特征函数 （2） 特征值 ，特征函数 （3） 特征值 ，特征值函数 （4） 特征值为 ，特征值函数 0)()0(0)()(lXXxXxX222ln, 2 , 1 sin)(nxlnCxXnn 0)()0(0)()(lXXxXxX2)(ln, 2