平面直角坐标系知识梳理及经典题型(学生版)

1、知识结构图:平面直角坐标系I概念：有顺序的两个数已与卜组成的数对 有序数对表示方法：（3 . b）平面世国 坐标系在平面内画两条数轴（1）垂直.（2）原点重合应用：用有序数对表示点的位置概互 水平数轴为数由或横轴,取向右的方向为正方向。磐育数轴为渤或纵轴，取向上的方向为正方向第一象限（+、+）坐标平面筑里笫二象限，+） 第三象限（、-） 第四象限（+、-）平面豆角 坐标系原点（0、0）坐标轴，轴上点的坐标0C ）调由上点的坐标一（口3）应用由点的位置确定点的坐标（坐标为整数） 由点的坐标确定点的位置（坐标为整数）用坐标表示平移建立直坐标系 用坐标表示确定比例尺地理位置图形的平移确定各点的位置

2、写出各点的坐标注菽原茂和比例尺的 选择要恰当！V）右移a个单位长度；/。里）点 的平移 点工、V）左修a个单立长度：.工一/） 点（心y）上移a个单位长度：（乩箕度 点一. y）下移a个单位长度：度图形的平移图形上各时应点的平移平移前后图形的大小、形状完全相同移不了 “平律混 意的规记 注点的要一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数 a与b组成的数对。记作（a , b）（二）平面直角坐标系： 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标H；1、坐标平面上的任意一点 P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（a,b） 对应；其 中，a为横坐标，b为 纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵

3、坐标等于 0； y轴上的点，横坐标等于 0；坐标轴上的点 不属于任何象（三）四个象限的点的坐标具有如下特征:象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负1、点P（x,y）所在的象限横、纵坐标x、y的取值的正负性;2、点P （x,y）所在的数轴一横、纵坐标x、y中必有一数为零;（四）在平面直角坐标系中，已知点 P（a,b）,则、点P到x轴的距离为b；、点P到y轴的距离为a;、点P到原点。的距离为PO= Ya2+b2（五）平行直线上的点的坐标特征:、在与x轴平行的直线上,所有点的纵坐标相等;点A、B的纵坐标都等于2、在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;点C、D的横坐标

4、都等于（六）对称点的坐标特征:1 、点P（m, n）关于x轴的对称点为Pi（m,-n）,即横坐标不变，纵坐标互为相反数;2 、点P(m, n)关于y轴的对称点为P2(-m,n),即纵坐标不变，横坐标互为相反数;、点P(m, n)关于原点的对称点为 P3(-m,-n),即横、纵坐标都互为相反数;盗yn P nNIm； 1OX X-njPi.yP2 一/Il1IIIII=lmOm* x关于x轴对称关于y轴对称-P3np PIIjO m* X一 一 n关于原点对称在第一、三象限的角平分线上(七)两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1 、若点P ( m,n)在第一、三象限的角平分线上，则 m =

5、n ,即横、纵坐标相等；2 、若点P(m,n)在第二、四象限的角平分线上， 则m = -n,即横、纵坐标互为相反数;在第二、四象限的角平分线上(A)利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x轴、y轴的正方向;2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。、题型分析:题型一：代数式与点坐标象限判定此类问题通常与不等式(组)联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由 字母的取值范围确定点所在的象限.【例1】在平面直角坐标系中，点(币,2 )在()A.

6、第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】若点P ( m 1_2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，则点 P一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例3】若点P (a, b)在第四象P则点 M (b-a, a-b)在()A、第一象限B、第二象限 C、第三象限D、第四象限【例4】如果a- bv 0,且abv 0,那么点(a , b)在()A、第一象限B、第二象限 C、第三象限，D、第四象限【例5对任意实数x,点P (x, x22x) 一定不在()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【例7】点P (x, y)在第四象限，且|x|二3, |y|=2,则P点的坐

7、标是 。【例8】若点M (1 - x , x + 2 )在第二象限内，则 x的取值范围为 ;习题演练：21、在平面直角坐标系中，点P ( m +2,-4 ) 一定在 象限。2、点P (x-1, x+1)不可能在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、如果点M (a+b, ab)在第二象限，那么点 N (a, b)在第 象限。4、点 Q (3 - a , 5 - a )在第二象P则 7a2 - 4a + 4 +7a2 - 10a + 25 = 5、点M (a, a-1)不可能在 ()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6、如果y0,那么点P (x, y)在 ()A 、

8、第二象限B 、第四象限 C、第四象限或第二象限D、第一象限或第三象限 题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标例1：在平面直角坐标系中，已知点 P ( m+5,m-2)在x轴上，则p点坐标为例2:已知:A(1,2),B(x,y),AB/ x轴，且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.习题演练：1、已知点A (m, -2),点B (3, m-1),且直线 AB/x轴，则 m的值为。2、已知线段AB=3, AB/ x轴，若点 A的坐标为(1, 2),则B点的坐标为 ;3、已知点P (x2-3, 1)在一、三象限夹角平分线上，则 x= .题型三：求对称点的坐标解答此类问题所需知识点是：点( a,b)关于x轴的

9、对称点是(a,-b),关于y轴的对称点是 (-a,b),关于原点的对称点是(-a,-b ).【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1,如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使这时C点的坐标可能是()A. (1,3)B. (2, -1)A点与B点关于原点对称，则图1根据题意,A点与B点关于原点对称,MN/f在直线为y轴，于是可确定原点为图中。点位置，即x轴为过。点的一条横线，于C点的坐标为(2, -1 ),即选B.【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题,求C点坐标的关键是确定直角坐标系的原C. (21)D. (3 1)点所在.例1:点M (2

10、, 3)关于x轴的对称点N的坐标为 ;关于y轴的对称点P 的坐标为;关于原点的对称点 Q的坐标为。答案：(2, 3) ; (-2 , -3) ;(3, -2)例2已知点A (a, -5), B (8, b)根据下列要求，确定 a, b的值.(1) A, B两点关于y轴对称；(2) A, B两点关于原点对称；(3) AB /x轴；(4) A, B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上.(5) 】(1)两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；(6) 两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；(7) 两点连线平行于 x轴时，这两点纵坐标相同(但横坐标不同)；(8) 当两点位于

11、一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同.xA = _xBa = -8【解答】(1)当点A (a, 5), B (8, b)关于y轴对称时有：二勺Na=Nbb = 15xa =fa = -8(2)当点A (a, 5), B (8, b)关于原点对称时有 二，a = -yBb = 5(3)当AB / x轴时，有qxA - xBNa y Vba 8b = -5(4)当A, B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有:XA=yB 且 Xa=vb 即 a=- 5, b=8.【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键.习题演练:1、点P(-1, 2)关于x轴的对称点的坐标是 ,

12、关于y轴的对称点的坐标是,关于原点的对称点的坐标是 ;2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是()A、(3, 2) (3, 2)B、(0, 3) (0, 3)C、(3, 0) (3, 0)D、(3, 2) (3, 2)题型四：根据坐标对称求代数式的值例1：已知点P(2a3,3)和点A(-1,3b +2)关于x轴对称，那么a + b=入2答案：-2 3习题演练：1、已知点A (2a+3b, 2)和点B (8, 3a+2b)关于x轴对称，那么 a+b=()A、2 B、一 2C、0 D、4答案：A2、已知：点 P的坐标是(m,1),且点P关于x轴对称的点的坐标是(3,2n)

13、,则 m =, n =；1答案：-3 ;一2题型五：根据到坐标轴的距离求坐标例1:过点A (2,-3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B,则点B坐标为 ().A、(0, 2)B 、(2, 0) C 、(0, -3) D 、(-3, 0)答案：C例2:已知点M到x轴的距离为3,至ij y轴的距离为2,则M点的坐标为().A (3, 2)B、(-3 , -2 )C (3, -2)D、(2, 3), (2, -3), (-2 , 3), (-2 , -3)例3:若点P ( a ,答案：Db)至ij x轴的距离是2,至ij y轴的距离是3,则这样的点P有()A、1个答案：DB、2个C、3个D、4个习题演练

14、:1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离 y轴2个单位长度，那 么点P的坐标是（）A （4, 2）B 、（ 2, 4） C 、（ 4, 2） D、（2, 4）答案：B2、点E （a,b ）到x轴的距离是4,到y轴距离是3,则有 （）A、a=3, b=4 B 、a= 3,b= 4C 、a=4, b=3 D 、a=4,b=3答案：D3、已知点P的坐标为（2 - a, 3a + 6 ）,且点P到两坐标轴的距离相等，则点 P坐标 是（）A、（3, 3） B 、（3 , -3）C 、（6 , 6） D 、（3 , 3）或（6 , 一 6）答案：D题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标

15、例1:在平面直角坐标系中，A B, C三点的坐标分别为（0, 0）, （0, -5）, （-2 , -2）, ?以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第 象限.答案：一习题演练：1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1,-1）、（ - 1, 2）、（3,-1）,则第四个顶点的坐标为（）A 、（2,2）B、（3,2）C、（3,3）D 、（2,3）答案：B题型七：根据点的坐标求图形的面积例1:已知点A （-2, 0） B （4, 0） C （-2,-3）。（1）求A B两点之间的距离。（2）求点C 到X轴的距离。（3）求 ABC的面积。答案：（1） 6 ;（2） 3 ;

16、（3） 9习题演练：1、在坐标系中，已知 A （2, 0）, B （ 3, 4） , C （0, 0）,则 ABC的面积为（）A、4 B、6C、8 D、3答案：A技巧：割补法求面积题型八：求平移后的坐标例1 :已知三角形的三个顶点坐标分别是（一 1, 4）、（1, 1）、（一4, 1）,现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是 （）A、(2, 2), (3, 4), (1, 7)C (2, 2), (3, 4), (1, 7) 答案：A、(2, 2), (4, 3), (1, 7)、(2, 2), (3, 3), (1, 7)例2:线段CD是由线段A

17、B平移得到的.点A （ T, 4）的对应点为C （4, 7）,则点B （ -4,-1）的对应点D的坐标为（）A、（2, 9） B、（5, 3）C、（1, 2） D、（-9, -4）答案：C习题演练：1、已知点M （3, -2 ）,将它先向左平移 4个单位，再向上平移 3个单位后得到点 N , 则点N的坐标是.答案：（-1,1 ）题型九：图形变换后点的坐标【例4】将点P（_2,2）沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标是（）A. (2,6)B. (-6,2)C. (2,2)D. (2,-2)【解析】将点P沿x轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是 点P的坐标为（2, 2）,

18、即选C.x轴正方向平移时,【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿 纵坐标的不变性就很直观了. _ 【例5】如图2,将ZXAOB绕点O逆时针旋转90:得到AOB.若点A的坐标为（a, b）,则点A的坐标为.【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转902后，得到的 AOB所在位置也很特殊，即B恰好落在y轴上，于是点 A的纵坐标为a,横坐标应该为-b;故点A,的坐标为（-b,a ）.【点评】本题分析出得到的AOB所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点 A的横坐标应该为 b,忽视逆时针旋转后点 A所在象限变化到第二象限了例1:如图4所示，将边长为1的正万形OAPB沿x轴正万向连续翻转 2006次，点P依 次落在点P1,P2,P3,P4,，P2006的位置，则P2006的横坐标X2006=.答案：2006图1图2例2:已知 ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将4 ABC向右平移6个单位,则平移后A的坐标是()A. (2, 1)B, (2, 1) C, (2, 1) D. (2, 1)答案：B题型十：寻点构造等腰三角形例1:在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知 A点的坐标为(1, 1),请你在坐标轴上找出点B,使4AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有()A. 6个 B. 7个 C. 8