现代控制理论——综合(1)

1、第五章第五章 线性多变量系统的综合与设计线性多变量系统的综合与设计 5.1 引言引言 描述描述分析分析解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等； 研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等) ；综合与设计综合与设计 在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。 5.1.1 问题的提法问题的提法 xAxBuyCx给定系统的状态空间表达式u若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能

2、函数取极小或极大。此时，综合问题就是寻求一个控制作用 ，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。uHyr 对于线性输出反馈控制律rrR其中为参考输入向量。uKxr 对于线性状态反馈控制律()xABK xBryCx由此构成的闭环反馈系统分别为()xABHC xBryCx或KHAABKAABHC闭环反馈系统的系统矩阵分别为(, , )KA BK B C (, , )HA BHC B C 即或 11( )()KGsCsIABKB11( )()HGsCsIABHCB闭环传递函数矩阵作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即：1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robu

3、stness)问题；3)控制规律的工程实现问题。5.1.2 性能指标的类型性能指标的类型 II. 非优化型性能指标非优化型性能指标I. 优化型性能指标优化型性能指标镇定问题镇定问题:渐近稳定作为性能指标 极点配置问题极点配置问题:以一组期望的闭环系统极点作为性能指标 解耦问题解耦问题: MIMO系统实现 “一个输入只控制一个输出”作为性能指标( )y t0( )y t跟踪问题跟踪问题:使系统的输出 无静差地跟踪外部信号0( ( )()TTJ u tx Qxu Ru dt( )u t称为最优控制（线性二次型最优控制，即LQ调节器问题）调节器问题）。 xu 和控制通常取为相对于状态的二次型积分性能

4、指标，即0TQQ00TRR1/2( ,)A Q其中加权阵或，且能观测。( )u t( )J u t任务就是确定，使相应的性能指标极小。5.1.3 研究综合问题的主要内容研究综合问题的主要内容1、可综合条件 2、控制规律的算法问题 5.1.4 工程实现中的一些理论问题工程实现中的一些理论问题 1、状态重构问题 2、鲁棒性(Robustness)问题 3、抗外部干扰问题 经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质上都可视为极点配置问题。 5.2 极点配置问题极点配置问题 K可证明，若被控系统状态能控，则可通过选取合适状态反馈增益矩阵，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望

5、位置。 1s2sns首先假定期望闭环极点为，,，。以下仅研究控制输入为标量的情况！以下仅研究控制输入为标量的情况！ 5.2.1 问题的提法问题的提法 xAxBuuKx 给定单输入单输出线性定常被控系统11( ), ( ),nn nnx tRu tR ARBR式中。选取线性反馈控制律为控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。 ( )() ( )x tABK x t该闭环系统状态方程的解为()( )(0)ABK tx texABK系统稳态响应特性由闭环系统矩阵的特征值决定。如果矩阵KABK选取适当，可使矩阵构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的s为调节器极点。如果这些调节器极点均位

6、于的左半平面内，则当将这种使闭环系统极点任意配置到所期望位置的问题，称极点配置问题。 (0)0 xt ( )0 x t ABK，当时，都可使。一般称矩阵的特征值t ( )0 x t 时，有。5.2.2 可配置条件可配置条件 uKx 如果选取控制规律为现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。 u考虑由式线性定常系统。假设控制输入的幅值是无约束的。K式中为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统定理定理5.1 (极点配置定理极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全能控。 证明：证明：略xAxBuABK现在考虑单输入单输出

7、系统极点配置的算法。给定线性定常系统uKx 若线性反馈控制律为则可由下列步骤确定使12n的特征值为，,（即闭环系统期望极点值）的线性反馈矩阵KiABK（如果是一个复数特征值，则其共轭必定也是的特征值）。 111det()nnnnsIAsIAsa sasa第第1 1步：步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。12,na aa确定出的值。A的征多项式第第2步：步：利用系统矩阵5.2.3 极点配置的算法极点配置的算法 PQW第第3 3步：步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。非奇异线性变换矩阵P可由下式给出1121102310011000aaannaan

8、nWa1nQB ABAB若给定的状态方程已是能控标准形，那么P = I。11211)nnnnnssssa sasa（1112211nnnnKaaaaaaaaP 第第4步：步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为12,na aa并确定出的值。K第第5 5步：步：此时的状态反馈增益矩阵为123Kkkk123()()()sss123()()()sIABKsss闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n = 3，则可将状态反馈增益矩阵K写为KsIABK进而将此代入闭环系统的特征多项式，使其等于即如果n = 2或者n = 3，这种方法非常简便（对于n =4,5,6,，这种方法可能非常繁琐

9、）。还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K。下面介绍著名的爱克曼公式，可用来确定状态反馈增益矩阵K。 3n 注意注意，如果是低阶系统（），则将线性反馈增益矩阵K直接代入ss1k2k3k由于该特征方程的两端均为的多项式，故可通过使其两端的系数相等，来确定， ，同次幂的值。5.2.4 爱克曼公式爱克曼公式(Ackermanns Formula) xAxBuuKx ()xABK xAABK11211()()()0nnnnnsIABKsIAssssa sasa*1*11( )nnnnAAa AaAa IO 考虑系统，重写为1122,nnsss假设该系统是状态完全能控，又设期望闭环极点为利用线性状态反馈控

10、制律则所期望的特征方程为A由于凯莱-哈密尔顿定理指出应满足其自身的特征方程，所以将系统状态方程改写为以此式来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n = 3的情况。（需要指出的是，对任意正整数，下面推导可方便地加以推广。） 22233322()()IIAABKAABKAABKBKAAABKAA BKABKABKA考虑下列恒等式*23321a Ia Aa AA*2322321()()a IaABKaAABKBKAAA BKABKABKA*23*22321211a Ia Aa AAa BKa ABKa BKAA BKABKABKA*23*321( )a Ia Aa AAAO*32100,(1)aaaaa

11、 将上述方程分别乘以，并相加，则可得 可得也可得到*23*321( )0a Ia Aa AAA*2*2211*2*2211( )( )()()AAa BKa BKABKAa ABKABKAA BKB a Ka KAKAAB a KKAA BK*2212*1a Ka KAKAB AB A Ba KKAK2QB AB A B*22121*1( )a Ka KAKAB AB A BAa KKAK由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵的逆存在。在上式两端均左乘能控性矩阵Q的逆，可得*22121*10 0 1( )0 0 1a Ka KAKAB AB A BAa KKAKK11*0 00 1( )nK

12、B ABABA 上式两端左乘0 0 1，可得21*0 0 1( )KB AB A BA重写为K 从而给出了所需的状态反馈增益矩阵。对任一正整数n，有称为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。0100001,01561AB xAxBu 例例1 1 考虑如下线性定常系统式中uKx 利用状态反馈控制试确定状态反馈增益矩阵K。，希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10。20010161631QB AB A B所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。 首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：用3种方法中的每一种求解 323

13、212310|016510156ssIAsssssa sa sas 323*2*123(24)(24)(10)14602000sjsjsssssa sa sa 200 1 605 146 199558K 方法方法1 1：该系统的特征方程为：该系统的特征方程为：1236,5,1aaa因此期望的特征方程为*12314,60,200aaa因此可得123Kkkk123000100|000010 001561ssIABKskkks 32323211231001(6)(5)11460200156sssk sk skssskksk 321614,560,1200kkk123199,55,8kkk199558

14、K 方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为|sIABK并使和期望的特征多项式相等，可得因此从中可得或21*0 0 1( )KB AB A BA3201001001010019955800114 00160 001200 01081597156156156001743117 20010161631B AB A B10011995580 01 016815971631743117561199558001 61081597199 55 8100743117K 方法3：利用爱克曼公式可得*32( )1460200AAAAI由于且可得所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声

15、的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的期望特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。 如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。5.3 利用利用MATLAB求解极点配置问题求解极点配

16、置问题 来实现。 用MATLAB易于求解极点配置问题。 现求所需的状态反馈增益矩阵K。1a2a3a如果在设计状态反馈控制矩阵K时采用变换矩阵P，则必须求特征方程|sI-A|=0的系数、和。这可通过给计算机输入语句P = poly(A)A = 0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6；P = poly(A)P =1.0000 6.0000 5.0000 1.00001231(2),2(3),3(4)aaPaaPaaP2QB AB A B211110100aaWa方法方法1 其次，再求期望的特征方程。可定义矩阵J，使得123002400000240001000jJj 24*00;024*0;0

17、010;poly( )1 1460200JiiQJQ *1231(2),2(3),3(4)aaaQaaaQaaaQ1332211KaaaaaaP332211*(inv( )KaaaaaaaaaP*iaaai即对于，可采用故状态反馈增益矩阵K可由下式确定：或3*2*123( )AAa Aa Aa I010001156A32199558( )146020081597743117AAAAI 如果采用爱克曼公式来确定状态反馈增益矩阵K，必须首先计算矩阵特征方程(A)。 对于该系统 在MATLAB中，利用Polyvalm可计算矩阵多项式(A)。对于给定的矩阵J，如前所示，poly(J)可计算特征多项式的

18、系数。对于利用MATLAB命令Polyvalm(Poly(J), A)，可计算下列(A)，即方法方法2 5.4 状态重构问题与状态重构问题与Luenberger状态观测器状态观测器 对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。 最小阶状态观测器或最小阶观测器； 观测器分为：全维状态观测器；降维状态观测器；5.4.1 问题的提法问题的提法 xAxBuyCx()exAxBuKyCx考虑如下线性定常系统x假设状态向量可由如下动态方程x eK状态来近似，则该式表示状态观测器，其中称为观测器增益矩阵。yux 注意到状态观测器的输入为和，输出为右端最后

19、一项包括可测。yxCKe与估计输出之差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。量输出x 修正项监控状态变量，减小动态模型和实际系统之间的差别的影响。5.4.2 全维状态观测器的误差方程全维状态观测器的误差方程 ()()()eexxAxAxK CxCxAK Cxxexx ()eeAK C e观测器的误差方程xx定义与之差为误差向量，即则有eAK CeAK C误差向量的动态特性由矩阵的特征值决定。如果矩阵(0)e( )e t是稳定矩阵，则对任意初始误差向量，误差向量都将趋近于零。eAK C如果所选矩阵的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且( )e t都将以足够快的速度趋近于零 (原点)，足够快，则任意

20、误差向量( )x t( )x t称为的渐近估计或重构。 此时将AABKeKeAK C如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择，使得具有任意的期望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵eKeAK C，以便产生期望的矩阵。 5.4.3 对偶问题对偶问题考虑如下的线性定常系统xAxBuyCxeK全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵，使得误差eAK C（由矩阵动态方程响应足够快且渐近稳定的特征值决定）。TTTzA zCnB z的极点配置问题。 这个问题变成前面讨论的极点配置问题。 即，求解如下对偶系统12()()()()TTnsIAC Ksss()()TTTsIAC KsIAK CKz

21、 假设控制输入为如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定TTAC K状态反馈增益矩阵K，使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一12n组期望的特征值。,如果是状态观测器系统矩阵的期望i特征值，则可通过取相同的作为对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，TTAC KTAK C和注意到的特征值相同，即有()TsIAK C()esIAK CeKTK比较特征多项式，可找出和和TeKK,TTTTeAABBCCKK即的关系为5.4.4 可观测条件可观测条件 TTzA zC v1()TTTTnTCA CAC 条件为原给定系统的对偶系统是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为这正是原系统的状态完全能观测性

22、条件。这意味着。系统状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。eAK CeK使具有期望特征值的观测器增益矩阵的确定，其充要Bass-Gura算法；直接代入法；爱克曼公式 。设计算法设计算法 xAxBuyCx11*0 00 1( )nKB ABABA TTTzA zCnB z5.4.5 爱克曼公式爱克曼公式(Ackermanns Formula)极点配置的爱克曼公式，其结果为 考虑如下的单输出线性定常系统对于以上对偶系统11*0 00 1()()TTTTnTTKCA CACA 其爱克曼公式为11*12211000000()( )( )000111TTTennnnCCCACAKKAAA RCACA

23、CACA *12( )()()()nssss12n这里， , , ,是期望的特征值。*( ) s是状态观测器的期望特征多项式，即其中，观测器增益矩阵的爱克曼公式xAxBuyCx020.60,101AB 121.82.4,1.82.4jj 例例 考虑如下的线性定常系统式中设计一个全维状态观测器。设观测器的期望特征值为01C 01210TTTrank CA Crank先检验能观测性矩阵，即eK状态观测器的设计归结为确定一个合适的观测器增益矩阵解解 该系统完全能观测，且可确定期望的观测器增益矩阵eK1*0( )1eCKACA 1201029.674.1601029.6(3.69 )1013.629.

24、61013.6eKAAI 采用爱克曼公式*212( )()()3.69sssss*2( )3.69AAAI式中因此从而()eexAK C xBuK y112209029.613.613.6xxuyxx 或者全维状态观测器5.4.6 系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响( )x t在极点配置的设计过程中，假设真实状态可用于反馈。而实( )x t际上，真实状态可能无法量测，所以必须设计一个观测器，( )x t用于反馈，如下示：并且将观测到的状态Step1：确定反馈增益矩阵K，以产生期望的反馈闭环系统的特征方程；设计过程：设计过程：St

25、ep2：是确定观测器的增益矩阵Ke，以产生期望的观测器特征方程。 xAxBuyCxuKx x且假定该系统状态完全能控且完全能观测。对基于重构状态 的线性状态反馈控制对闭环反馈系统特征方程的影响。考虑如下线性定常系统( )x t( )x t现在不采用真实状态而采用观测或重构的状态来研究()()xAxBKxABK xBK xx( )( )( )e tx tx t ()xABK xBKe()eeAK C e，即)(tx)(tx)(te和重构状态之差定义为误差将真实状态观测器的误差方程为将误差向量代入上式，得利用该控制，状态方程为0eABKBKxxAK Cee 00esIABKBKsIAK C0esI

26、ABKsIAK C合并两式可得描述了带观测器的状态反馈控制系统的动态特性。该系统的特征方程为或观测-状态反馈控制系统的闭环极点由极点配置设计的极点极点配置设计的极点和由观测器观测器设计的极点设计的极点两部分组成。即：极点配置和观测器设计是相互独立，可分别进行设计，并合并为观测-状态反馈控制系统。称为系统设计的分称为系统设计的分离性原理离性原理，这就给闭环系统的设计带来了极大的方便。 观测器极点的选取通常使得观测器响应比系统的响应快得多。一个经验法则是选择观测器的响应至少比系统的响应快2-5倍。 第六章第六章 最优控制最优控制 本章介绍线性二次型最优控制问题。将使用Lyapunov稳定性方法作为

27、线性二次型最优控制系统设计的基础。 6.1 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 BuAxx0),(dtuxLJ在设计控制系统时，经常是选择向量 u(t)，使得给定的性能指标达到极小。可证明，当二次型性能指标的积分限由零变化到无穷大时，如考虑如下的线性定常系统rnnnrnRBRARuRx,式中)()(tKxtu式中的L（x,u）是x和u的二次型函数或Hermite函数，将得到线性控制律，即nrnrrnnrxxxkkkkkkkkkuuu2121222211121121nrRK这里，线性状态反馈矩阵。从而采用二次型最优控制方法的一个优点是除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。0)

28、(dtRuuQxxJHH考虑系统性能指标为式中，Q为正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R为正定Hermite或实对称矩阵，u是无约束的向量。最优控制系统使性能指标达到极小，该系统是稳定的。 解决此类问题有许多不同的方法，这里介绍一种基于李亚普夫诺夫第二法的解法。是相同的。 0)(dtRuuQxxJTT 以下讨论二次型最优控制问题，将采用复二次型性能指标（Hermite性能指标），而非实二次型性能指标，因为复二次型性能指标包含作为特例的实二次型性能指标。对于含有实向量和实矩阵的系统，这与下述性能指标 如果能用Lyapunov第二法作为最优控制器设计的基础，就能保证系统正常工作，也就是说

29、，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。6.1.1 基于基于Lyapunov第二法的控制系统最优化第二法的控制系统最优化与此不同的是先用公式表示出稳定性条件，再在这些约束条件下设计系统： 从经典理论来说，首先设计出控制系统，再判断系统的稳定性； 因此，设计出的系统具有固有稳定特性的结构。 参数最优化问题 对于一大类控制系统，在Lyapunov函数和用来综合最优控制系统的二次型性能指标之间可找到一个直接的关系式。6.1.2 参数最优问题的参数最优问题的Lyapunov第二法的解法第二法的解法 xAx下面讨论Lyapunov函数和二次型性能指标之间的直接关系，并利用这种关系求解参数最优问题。考虑如

30、下的线性系统0QxdtxJH达到极小，式中Q为正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵。因而该问题变为确定几个可调参数值，使得性能指标达到极小。0 x式中，A的所有特征值均具有负实部，即原点矩阵A为稳定矩阵）。假设矩阵A包括一个（或几个）可调参数。要求下列性能指标是渐近稳定的（称)(PxxdtdQxxHHxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxQxxHHHHHHHH)(在求解该问题时，利用Lyapunov函数是很有效的。假设式中，P是一个正定的Hermite或实对称矩阵，因此可得QPAPAH)0()0()()(00PxxPxxPxxQxdtxJHHHH)0()0(PxxJH0)(x计算。由于

31、A的所有特征值均有负实部，可得。所以根据Lyapunov第二法可知，如果A是稳定矩阵，则对给定的Q，必存在一个P，使得因此，可由该方程确定P的各元素。 性能指标J可按)0()0(PxxH)0(x因而性能指标J可依据初始条件x(0)和P求得，而P与A和Q是相关的。若欲调整系统的参数，使性能指标J达到极小，则可对讨论中的参数，用取极小值来实现。由于Q也是给定的，所以P是A的各元素的函数。因此求J为极小，将使得可调参数达到最优值。 是给定初始条件，x10( )不等于零的分量，例如0，而其余的初始分量均等于零，)0(x)0(x参数最最优值通常与初始条件有关。然而，如果只含一个x10( )的数值无关。

32、那么参数最优值与例例1 研究下图系统。确定阻尼0的值，使得系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下，性能指标0220,)(dteeJ达到极小。式中的e为误差信号，并且e =r -c。假设系统开始时是静止的。121)()(2sssRsCrccc 2rreee 22 由图可得或依据误差信号e的形式，可得 xAx1222212120000210()()0TxJee dtxxdtxxdtx Qxdtx则状态方程为2110A式中001,21Qeexxx这里性能指标J可写为)0()0(PxxJTQPAPAT式中的P由下式确定由于A是稳定矩阵，所以J的值取为001211021102212121122121

33、211pppppppp0)0(r 0)0(r 由于r(t)是单位阶跃函数，所以，。因此，对于t00)0(, 1)0(, 02eeeee exex21,定义如下状态变量1212p02221211ppp221242pp即4121214122121211ppppP性能指标J为22112211(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )44TJxPxxxxx41J04112J1)0(1x0)0(2x将初始条件：，代入上式，可得0/J对 使J为极小，可令，即21可得12/12 2/因此， 的最优值是。若，则的最优值为。BuAxx)(tu达到极小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R

34、是正定Hermite或实对称矩阵。注意，右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量是不受约束的。)()(tKxtu若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则对任意初始状态x(0)而言均是最优的。最优控制系统的结构方块图如上图所示。 6.1.3 二次型最优控制问题二次型最优控制问题已知系统方程为)()(tKxtu确定最优控制向量的矩阵K，使得性能指标0)(dtRuuQxxJHH()xAxBKxABK x求解最优控制问题可得00()()HHHHHJx Qxx K RKx dtxQK RK xdt)()(PxxdtdxRKK

35、QxHHH依照解参数最优化问题时的讨论，取BKABKA假设是稳定矩阵，的所有特征值均具有负实部。将控制代入指标，可得式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。则)()()(xBKAPPBKAxxPxPxxxRKKQxHHHHHH)()()(RKKQBKAPPBKAHH满足上式的正定矩阵P。比较上式两端，并注意到方程对任意x均应成立，这就要求BKA根据Lyapunov第二法可知，如果是稳定矩阵，则必存在一个因此，由上式确定P的各元素，并检验其是否为正定的（可能不止一个矩阵P满足该方程。若系统是稳定的，则总存在一正定矩阵P满足该方程。即，若解该方程并能找到一个正定矩阵P，则该系统是稳定的。必须丢

36、弃非正定的P ）。性能指标可计算为)0()0()()()(00PxxPxxPxxxdtRKKQxJHHHHH因假设A-BK所有特征值均具有负实部，故0)(x。因此于是，性能指标J可根据初始条件x(0)和P求得。)0()0(PxxJHTTRH式中T是非奇异矩阵。 为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的R是正定Hermite或实对称矩阵，可将其写为0)()(TKTKQBKAPPBKAHHHHH0)()(111QPBPBRPBTTKPBTTKPAPAHHHHHHHxPBTTKPBTTKxHHHHHH)()(11于是有上式也可写为求J对K的极小值，即求下式对K的极小值PBRPBTTK

37、HHH111)(PBTTKHH1)(由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当时，才存在极小值。因此)()()(1tPxBRtKxtuH01QPBPBRPAPAHH给出最优矩阵K。所以，当二次型最优控制问题的最优控制律是线性的，并由给出。式中矩阵P必须满足下列退化矩阵黎卡提方程设计方法设计方法1步骤如下：步骤如下： 2、将矩阵P代入1、求解退化矩阵黎卡提式01QPBPBRPAPAHHBKA求出矩阵P。若存在正定矩阵P，那么系统是稳定的，即矩阵是稳定矩阵。PBRPBTTKHHH111)(BKA能给出正确的结果。求得的矩阵K就是最优矩阵。如果矩阵是稳定的，则此方法总设计方法设计方法2步骤如下：步骤如下： 1、由作为K的函数的下式中确定矩阵P。)()()(RKKQBKAPPBKAHH 2、将矩阵P代入下式,于是性能指标成为K的一个函数。)0()0(PxxJHijk为极小。3、确定K的各元素，使得性能指标为极小。ijkJ /ijk等于零，并解出的最优值来实现J对K各元素这可通过令0)(dtRuuyQyJHH0)(dtRuuQCxCxJH