偏微分方程数值解(试题)

1、偏微分方程数值解（试题）偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程:tu(x,t)x0u(x,0)2u2- , x xU0,(x)0, , 0 t Tu(x,t)x u(1)(2)(3)导出时间离散是一阶向前Euler格式，空间离散是二阶精度的差分格式;讨论（1）中导出的格式的稳定性; 若时间离散为二阶精度的蛙跳格式,t tn空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么?2、考虑Poission方程2u(x,y) 1,(x,y)u 0, in AB and AD nu(x, y) 0, in BC and CD图1梯形其中2,使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑

2、梯形的一半，如图图2从物理空间到计算区域的几何变换1 / 7偏微分方程数值解(试题)为了求解本问题，采用如下方法：将的一半投影到正方形区域?，然后在上使用差分方法来离散该方程。在计算区域？上用N N个网格点，空间步长为1/( N 1)。(1)引入一个映射T将原区域(带有坐标x,y)变换到单位正方形 ？(带有坐标,)。同时导出在新区域上的方程和边界条件。(2)在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。3、对线性对流方程 a 0 a constant 0,其一阶迎风有限体积法离散格式为 t xuj1=uja！(日幻)x(1)写出a 0时的一阶迎风有限体积法的离散格式；(2

3、)写出a为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。(3)使用-u u-u 0说明一阶迎风有限体积法不是嫡保持的格式。 t x4、对一维Poission方程Uxx xex, x (0,1)u(0) u(1) 0将01分成(n 1)等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问：(1)该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？(2)该差分格式稳定吗？为什么？(3)该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？(4)取(n 1) 6,写出该差分格式的矩阵表示。5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题uxx 25 2(sin(5 x)+9sin(15 x), x (0,1)u(0)

4、 u(1) 0给出限制算子和延拓算子矩阵(以细网格h： n 7,粗网格2h： n 3为例)。6、对一阶波动方程0t x 1 u(x,0) -sin( x), x (0,1)u(0,t) u(1,t)(1)写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler进行时间离散的差分格式；(2)使用线方法，分析上述格式的稳定性。7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和 4个水平的子片构成；散热片从底部root的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示，_ (1, 2,|, 5),其中i ki,i1,|,4,和5 Bi ; _可取给定设计集 DR5

5、中的任意值。ki是第i个子片热传导系数(k01是中柱的热传导系数)；Bi是Biot数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数(大的 Bi意味好的热传 导)。比如，假定我们选择散热片具有如下参数 k10.4,k20.6,k30.8,k41.2, Bi 0.1,此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)。中心柱的宽度是1,高度是4；子片的厚度t 0.25,长度L 2.5。我们将输出温度 Troot看作是_ ( 1, 2,|, 5)的函数，其中输出温度 Troot是散热片底部定常态温度的均值，输出温度Troot越低，散热效果越好。在散热片内定常态温度分布U(),由椭圆型方程控制-A VV = 0

6、 in f?, z = 04其中ui是u在i的限制，i是热传导系数为ki,i 0,|,4的散热片的区域： 0是中心柱, i,i 1,|,4对应4个子片。整个散热片区域记为，的边界记为。为确保在传导系数间断界面int 0 i,i 1,|,4上温度和热通量的连续性，我们有ti o = 匕%1 f .-(VJ1M j 1 = 1，4；这里7是 i的外法线。在散热片的底部引入Neumann边界条件(n。 1 onrtiot,(2)来刻画热源；一个 Robin边界条件tT) = Bi 1/un1 = 0：.,4,(3)来刻画对流热损失，其中 ；xt是i暴露在流体流动中的边界部分，在底部的平均温度Troo

7、t(_)l0(u( ),其中l(v) v。在这个问题中，我们取rootl(v) l(v)。(1)证明u( ) X H1()满足弱形式其中a(w.u: u)= 寸产 / Vw - Vy tM + Bi / wv dS.u dS.nr i(2)证明u( ) X是J (w)在X中取得极小值的变量J(u；)=L，/ Vu? * Vu;4 + w2 dS - utdS(5)=o 氐I root(3)考虑线性有限元空间0= WwHlg| v|TArl(rh)s 见人找Uh(_) Xh,使得口(5比卜环曰工丸；此时/通匕也)=(。迎).运用通常的节点基，我们得矩阵方程4期=&n丁百从丛)=(Lh)以7其中以

8、七d门林匕山E眠，Fj pn R口d J W说；n是有限元空间的维数。请推导出单元矩阵AhkK33,单元荷载向量FkK3，单元输出向量LhK3；并且描述从单元量获得总矩阵 Ah, Fh, Lh的程序。8、考虑Poisson方程2u(x,y) 1,(x,y)u(x, y) 0其中Q是单位正方形，定义空间和泛函11X H0( ) v H ( )v 0a(u,v) u vdAl(v) vdA若u C2(),且u是上述Poisson方程的解，(1)证明u为J(w)在空间X上的极小值点，其中、1 , J(w) - a(w,w) l(w)(2)证明u满足弱形式a(u,v) l(v), v X1.(3)作图

9、不均匀二角形剖分，步长 h -,写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向3量。(a)节点编号顺序为1 2、 2 11 12 2、(b)节点编号顺序为(-,-), (-,-), (-,-), (-,-) 3 33 33 33 3 22(4)假定基函数和节点有同样白编号，写出节点为(一，一)的节点基函数。3 39、考虑一维的poisson方程 2 xuxx (3x x )e , x (0,1)u(0) u(1) 0将(0,1)区间分成n 1等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题:(1) 写出该问题的矩阵形式的离散格式：Au? f ;i(2) 记A ij ,证明 i 1 i,j n非负性 ij

10、0, for 1 i, j nN 1 一. ,有界性0 ij -, for 1 i nj 1 j 810、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划0 t x其中 (x,t)是汽车密度(每公里汽车的辆数)，u u(x,t)是速度。假定速度u是密度 的函数：UUmax 1max其中Umax是最大速度，0用如下的Roe格式max。f ( ) u umax 1 2maxFnF 1i2其中FnF 1 i -2f( i)f( i 1)i)8 / 7a 1umax(1 -)i2max求解下列绿灯亮了问题：此时初始条件为些参数如下:(0)L,x 00, x 0max 1，L0.8,Umax1,4000.8 xumaxuxx u 1, x u(0) u(1) 0其中 (0,1),定义空间和泛函11X H0( ) v H ( )v 0a(u,v) u vdA uvdAl(v) vdA若u C2()，且u是上述1D常微分方程两点边值问题的解，(1)证明u为J(w)在空间X上的极小值点，其中、1 ,J(w) - a(w,w) l(w)(2)证明U满足弱形式a(u,v) l(v), v X(3)将 (0,1)均匀剖分成n 1等份(比如n 9), xi i