专题14概率统计解答题突破(第一季)-2020年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)

1、专题14-1概率统计解答题突破第一季1 .某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们 2018年10月课外阅读时间(单位：小时)的数据，并将数据进行整理，分为 5组：10, 12), 12, 14), 14, 16), 16, 18), 18, 20,得到如图所示的频率分布直方图.(I ):试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；(n )已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在 18, 20,现从课外阅读时间在18, 20的样本对 应的学生中随机抽取 2人，求至少抽到1名女生的概率；(m )假设同组中的每个数

2、据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数.【答案】(I ) 150 (II) 7 (出)14.68【解析】(I ) 0.10 2+0.05X2=0.30 ,即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30.因为 500X0.30=150 ,所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.(n)阅读时间在18, 20的样本的频率为 0.05 2=0.10.因为50X0.10=5,即课外阅读时间在18, 20的样本对应的学生人数为5.这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为 A, B,男生为C, D, E, ，从中抽取

3、2 人的所有可能结果是：(A, B),(A,C),(A,D), (A, E), (B, C) , (B, D) , (B,E),(C,D), (C, E), (D, E).其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在18, 20的样本对应的学生中随机-抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p= (1（出）根据题意，0.08 2X11+0.12X2X13+0.15X2X15+0.10X2X17+0.05X2X19=14.68 （小时）.由此估计该校学生 2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时.2. 2018年双十一 ”期间，某商场举办了一次有奖促销活动，顾客消费每满1000元

4、可参加一次抽奖(例如：顾客甲消费930元，不得参与抽奖；顾客乙消费3400元，可以抽奖三次)。如图1,在圆盘上绘制了标有 A,B, C, D的八个扇形区域，每次抽奖时由顾客按动按钮使指针旋转一次，旋转结束时指针会随机停在圆盘上的某一个位置，顾客获奖的奖次由指针所指区域决定(指针与区域边界线粗细忽略不计 )。商家规定：指针停在标A, B, C, D的扇形区域分别对应的奖金为200元、150元、100元和50元。已知标有 A, B, C,D的扇形区域的圆心角成等差数列，且标D的扇形区域的圆心角是标 A的扇形区域的圆心角的 4倍.图1用工理书人数3660(I)某顾客只抽奖一次，设该顾客抽奖所获得的奖

5、金数为X元，求X的分布列和数学期望;(II)如图2,该商场统计了活动期间一天的顾客消费情况.现按照消费金额分层抽样选出15位顾客代表，其中获得奖金总数不足 100元的顾客代表有 7位.现从这7位顾客代表中随机选取两位，求这两位顾客的奖金总数和仍不足 100元的概率.5【答案】(1)详见解析(2)口【解析】(1)设标有A,B,C,D的扇形区域的圆心角分别为 /%，71 7T 3JT 27T由题意知：1113 2所以顾客抽奖一次，获得奖金X可能取值为50,100,150,200,所对应的概率分别为IQ号而力所以X的分布列为X501001502001132PWTo5|期望(2)由已知得:1消费金额位

6、于12000,3000 H 3000/1000内的顾客，获奖金额一定高于100元，2消费金额位于10000；内的顾客获奖金额为 。元，3消费金额位于内的顾客获奖金额可能为 50,100,150,200元分层抽样得仇10。例内抽到的顾客代表人数为 .=15 = 3人，则获得奖金总数不足 100元的剩余4位顾客代表必然获得奖金数为50元.设获奖金额为0元的三位顾客代表为 马片二,获奖金额为50元的四位顾客代表为一、内心必事件R = 从这7位顾客代表中随机选取两位的奖金总数仍不足100元”。二|从这7位顾客代表中随机选取两位的奖金总数等于100元”从这7位顾客代表中随机选取两位的基本事件空间为：口

7、=,共有21个基本事件；p=收%)收片)6 陷必yJ)共有6个基本事件。62SP)=五二7所以产田)=1 _丹E)= 75|从这7位顾客代表中随机选取两位，他们的奖金总数仍不足100元的概率为23.为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比 Z作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：(I )求这600件螺帽质量指标值的样本平均数比，样本方差F (在同一组数据中，用该区间的中点值作代表)；(n)由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值/服从正态分布Wo#),其中近似为样本平均数可，/近似为样本方差|4(i

8、)利用该正态分布，求|P(1R5.O3 7 229911)；(ii )现从该企业购买了 100件这种螺帽，记表示这100件螺帽中质量指标值位于区间(185.03.229.94)也 件数，利用(i )的结果，求取用.附：n 1 4,97.若则 P3-小父口 + 仃)= 0.GH2q, P-2aZn + 2a) = 0.9544 .【答案】(1) 200 224；(2) ( i ) 0.8185 ( ii) R1 田5.【解析】(I )抽取的螺帽质量指标值的样本平均数,和样本方差J分别为：|x = | 170X0,05 + 180 X 0.12| + 190 X 048 + 200 X 0.30

9、+ 210 X 0.191 + 220x0,10 + 230 X 0.06 = 200|s2 = |( - 3O)2 X U,O5 + ( - 2O)2 X 0.12| + (-1O)2 X 0JU + 0 X 0.30I lu? x 0. i x x。小 7川 I .(n ) ( i )由(I )知，z /V(200,224；,从而|P(200l%977 200+ 1497)| |= 2PQ85.03 V 7 W 200)=。石826|P(IH5,03200) = 03413,叩。0-29卯 72(W + 299州 |=2P(2D0 7229H4)=。区叫200 工7 22D5力=01772

10、,。日5,03 7 22994)尸 PQ85.03 7.879,200 x (84 X 48 - 36 x 32)2 3600116 X 84 X 120 x RO = 03上P (K2 7.879 = 0.005,由此判断有99.5%的把握认为市场购物用手机支付与年龄有关(n)根据分层抽样方法，从这 200名顾客中抽取10人,6,120抽到使用手机支付”的人数为10 X 200不使用手机支付”的人数为4,设随机抽取的3人中 使用手机支付”的人数为随机变量 X,则X的可能取值分别为0, 1, 2, 3;计算 P (-X=0)1 Yq I(X=1)J 4 3io(X=2)(X=3)1- X的分布

11、列为:33X的数学期望为EX = 0X/ +2 31h5.某企业为了增加某种产品的生产能力，提出甲、乙两个方案。甲方案是废除原有生产线并引进一条新生需一次性投资1000万元，年生产能力为300吨；乙方案是改造原有生产线，需一次性投资700万元,年生产能力为 200吨；根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产线还是改造原有生产线，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为1.5万元/吨。(I)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数 T (同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)；(n)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中

12、点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立。(i)根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万的概率;(6年的净利润=6年(ii)以企业6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该企业应选择哪个方案。须率组即J_M钳中片吨) ISO 220 2fi0 3()0销售利润-投资费用）0.007501100心 0.00500 O.OOS75 0(102 50【答案】（I ）206（ n ） （ i ） 0.7 （ ii ）乙方案【解析】（I ）年销售量的平均数卜=0.1X 120+02 X 16。+ 03X 200 + 0卫5 X 240 + 0.15 X2H0-206 (吨)（n）（ i）

13、该产品的销售利润为|15万元/吨，由直方图可知只有当年平均销量不低于18。吨时，年销售利润才不低于万，年销售利润不低于27个万的概率P = 0.3 + 0.25+ 0/15 = 0.7（ii ）设甲方案的年销售量为 K吨，由（I ）可知甲方案的年销售量的期望 ,二2。6,所以甲方案6年的净利润的期望值为：206 X 15 X 6-W00 = 851 （万元）设乙方案的年销售量为 F吨，则乙方案的年销售量的分布列为：0,110.2|0.7口016( 来源:Zxxk.Com200|入乙方案的年销售量期望 町二0X 120 + 0.2 X16D + 07 乂 200 = 184黑乙方案6年的净利润的

14、期望值为：W X 1.5 X6-7。0 =。56（万元）由上可知乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，故企业应选择乙方案。6 .下图是某市|20。1年至2017年环境基础设施投资额V（单位：亿元）的条形图.(1)若从2011年到2015年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140亿元的概率；(2)为了预测该市2019年的环境基础设施投资额，建立了，与时间变量1的两个线性回归模型.根据2001年至2。17年的数据(时间变量的值依次为1.2,，17)建立模型：=-30.4 + 1351；根据20口年至加17|年的 数据(时间变量的值依次为|L Z,7)建立模型：y =

15、+ 173t.(i)分别利用这两个模型，求该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值；(ii)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 1【答案】(1) p-Tii (2) (i)利用模型，预测值为226.1亿元，利用模型，预测值为256.5亿元(ii)见解析【解析】(1)从条形图中可知，2011年到2015年这五年的投资额分别为122亿、129亿、148亿、171亿、184亿,设2011年到2015年这五年的年份分别用 。力面dK1表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有： )6初9 砌G瓦共 10 种，其中满足两年的投资额的平均数不少于140亿元的所有基本事件有：0(咽,(乩右6

16、,以仁。(&。/共7种，所以从2011年到2015年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140亿元的概率为(2) (i)利用模型，该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为曲.4 +13.5 X I。= 226.1(亿元).利用模型，该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为伙= 99 + 175x9 = Z56：5(亿元).(ii)利用模型得到的预测值更可靠理由如下：画出 2001年至2017年环境基础设施投资额 儿单位：亿元）的散点图2001 2OJ2 2M3 CEU XT? 13061005; oil1 21013工口141CIE XL 年价：|y=-30.1

17、+ 13.51 上下.这说（i ）从散点图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2011年相对2010年的环境基础设施投资额有明显增加，2011年至2017年的数据对应，的点位于一条直线的附近，这说明从2011年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型y = + 175可以较好地描述 2011年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额22

18、0亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.7.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近&个月广告投入量菜（单位：万元）和收益X（单位：万元）的数据如下表：月份12同56广告投入量q同1012|收益产2120.3131.H3L183783|44.67|他们分别用两种模型y = bx + ay=Q*分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到 如图所示的残差图及一些统计量的值：国76UI = I617|30116424|4残注1残怨图月份一模吧丁飞吟疗小根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选

19、择哪个模型？并说明理由;残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除 剔除异常数据后求出（I ）中所选模型的回归方程;ii若广告投入量上=1。时，该模型收益的预报值是多少?附：对于一组数据网力）别为: xtyi - nxyi =【答案】（1）应该选择模型，理由见解析（2) ( i ) |y = 3x + &04( ii)|62.04（M）,其回归直线夕=&工+ 日的斜率和截距的最小二乘估计分【解析】（I）应该选择模型，因为模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高（-n）（ i）剔除异常数据，即月份为 ？的数据后，得1二不7 X6 - 6) =7

20、.2；1=5(30 X 6 - 31.8) =29,64 工谓二 146424 - 6 X 31.8 = 1273/4 (4) J 364 - 6? = 32&1 1E H y - tixyt i = l1273.44-5 X 7.2 X 29.64206.4* =- 1=-=匚 ，328-5x7.2x12 3rH V1 22乙阳一g i-iay-6x = rM - 3 X 7,2 = 8.04,所以)关于R的线性回归方程为：$r = 3* + 8.04.(ii )把M二18代入回归方程得：歹= 3X18 + 8Q4 = 62.04 ,故预报值约为6204万元.8.某公司培训员工某项技能，培训

21、有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训 4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀.A周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016(1)在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；(2)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率(i)设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为和、为,求】、5所以可以认为此次冰雪培训活动有效10.某企业共有员工 10000人，下图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入

22、（单位：万元）频率分 布直方图.四%|的把握认为具有大（1 ）根据频率分布直方图计算样本的平均数，并以此估算该企业全体员工中年收入不低于样本平均数的人数（同一组中的数据以这数据所在区间中点的值作代表）；（2）若抽样调查中收入在9JO）万元员工有2人，求在收入在产11）万元的员工中任取3人，恰有2位员工收入在万元的概率；（3）若抽样调查的样本容量是400人，在这400人中：年收入在 田，1）万元的员工中具有大学及大学以上学历的有40%,年收入在万元的员工中不具有大学及大学以上学历的有上学历和不具有大学及大学以上学历的员工人数填入下面的列联表，并判断能否有30% ,将具有大学及大学以学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异?具有大学及大学以上学历不具有大学及大学以上学历合计心,10;方兀员工R13,14）万元员工合计/2%)0.0500.0250.0100.0050.001%3.8415.0246.6357.87910.828附:2n(ad - be)2K -(a + 幅 + 痂 + QS