十章SECTION尺度空间与致空间

1、§4尺度空间与一致空间尺度空间尺度、距离与尺度空间假定D是一个集，j是一个把D D变进R1的变换，如果对于 所有的x D，y D,乙D，满足条件：（i）j（x，y） R，等号只当 x=y 时成立，这里 j（x，y）=j（ <x，y>）；（ii）j（x，y）=j（ y，x）；（iii）j（x，y）+j（y，z） _j（x，z）.那末称j为D的一个尺度，j（x，y）是在j这个尺度下x和y的距离，D是以j为尺度的尺度 空间（距离空间）如果条件（i）中不附加“等号只当x=y时成立”，其余（ii），（iii）相同，那末称j为D 的一个拟尺度.尺度空间的拓扑假定j是集D的一个尺度，对

2、一点a D和一个实数r，把x| j（x，a） <r（当rO时它表示空集）称为以a为球心r为半径的开球.所有开球全体所繁殖的拓扑称 为D的尺度拓扑.实际上，所有开球的全体是这个拓扑的一个基.以后如果没有另外声明，凡 是尺度空间都假定是以这个尺度拓扑为拓扑的拓扑空间.假定a是尺度空间里的一点，那末所有以 a为球心，把有理数作为半径的开球的全体是 a的一个邻域基.所以尺度空间一定是第一可数空间.此外也不难看到，尺度空间一定是T2空间.尺度化与尺度化定理假定一个拓扑空间X的承载点集有一个尺度，由这尺度得到的 拓扑跟X原有的拓扑相等，那末称X可以尺度化.假定是拓扑空间X里的一族点集的全体.如果X里

3、每一点都有一个邻域至多只跟有限个 属于的点集有公共点，那末称 是局部有限的；特别如果任何两个属于的点集的包都没有公共点，那末称是绝缘的.定理 一个拓扑空间X可以尺度化的充分必要条件是：X为T3空间并且X的拓扑有一个 基是可数个局部有限族的和集（这里“局部有限”可以改作“绝缘”，T3也可以改作T4）.n维欧氏空间与直角坐标法假定X是一个以j为尺度的尺度空间，又假定存在一个把 X变上n维实数空间Rn的一对一变换f，使对X里任何两点x和y，p Tj（x,y）' X -）S h =1成立,这里f（x）KX1,，xn Rn,f（y）R：y1, ,yn Rn，那末称X为n维欧几里得空间，简 称n维

4、欧氏空间，记作En，f是En的一个直角坐标法，:X1,，xn 称为点x的直角坐标， f0,0 ）=0f称为这直角坐标法下的原点.E n的直角坐标法存在但是不唯一 假定f和都是E n的直角坐标法，f （Of ）=<b1，,bn>, 而E n里任何一点x在f 和 f '下的坐标分别记作VX1，,Xn>和VX1', ,Xn' >，那末由于In 2 p 2j（x,OJ巳"冷已' 区'-6） h=1得到nXh'八 ahkXk bk,h =1,2, ,nkJ这里（ahk）是一个n n正交矩阵.反过来，只要（ahk）是任何一个

5、nn正交矩阵，B,，bn是任何n个实数，那末上面这组 方程就代表了一个新的直角坐标法所以直角坐标法是无限多的，而不同的直角坐标法间的变 换就是通常所谓“转轴”、“移轴”的组合.此外，En的一个直角坐标法f实际上是把En变上Rn的一个拓扑变换，因此En里的一个 开球在f下的象是Rn里的一族n维区间的和集，反过来，Rn里一个n维区间的象源是En里的 开球的和集.因此在Rn里可以定一个尺度，使它成为 En.这同时也就证明了 n维欧氏空间的存在.空间的完备化假定X是一个以j为尺度的尺度空间.如果xn|nCD 是X里的一个点列， 对任何正数:，总存在一个正整数 N,使j (Xn, Xm) ；对比N大的一

6、切正整数n和m都成立，那末称xn|n d 是X里的柯西列.一个尺度空间里的任何一个收敛点列一定是柯西列，但是一个柯西列未必收敛 .例如，把 所有的有理数全体S看作一维实数空间R1的子空间的话，那末S里的柯西列就可能不收敛(因 为它的极限可能是无理数).如果一个尺度空间X里的任何柯西列都收敛，那末称 X完备.假定X和X'都是尺度空间，X'完备，又假定存在一个把X等尺度同胚地变进X'的变换f， 并且X的象f (X)在X'里处处稠密，那末称X'为X的完备化.定理任何一个尺度空间都有完备化，并且任何两个完备化等尺度同胚.只要把尺度空间里一个柯西列看作一个元素，适

7、当规定两个柯西列的距离(距离等于零 时，认为两个元素是相同的)不难证明所有这些元素全体就是一个完备化把两个实数的差的绝对值看作这两个实数的距离，那末一维实数空间R1就是所有的有理 数全体的完备化.可以用这个办法来建立无理数的概念.柯西列当然可以推广成柯西网.不过由于尺度空间满足第一可数公理，用柯西网概念只能 得到同样的完备化.有界变换族的一致收敛拓扑假定A是一个集，丫是一个尺度空间，把A变进丫的所 有有界变换(把A变进一个开球的变换称为有界变换)的全体记作F.在F里规定距离如下：设f F，F，贝尼们的距离J (f，g) = supj (f (x)，g (x)X空这里j表示丫里的尺度.由J所产生

8、的F的尺度拓扑称为F的一致收敛拓扑.注意，F的一致收敛拓扑只用丫的尺度定义，没有牵涉到A的拓扑.定理 有界变换族F的一致收敛拓扑跟其他拓扑比较起来其特点是： 在这拓扑下，F里任 何一个点网fpp Q收敛的充分必要条件是：对所有的x A, fp(x)p Q在A里一致收敛(也 就是对任何正数；，存在一个Q,是对所有的x A和Q里所有的pq,j (fp(x)，fq(X)名成立).F可以看作AY的子集.因此AY的点点收敛拓扑在F里有诱导拓扑，不妨称为F的点点收 敛拓扑，因为同样是用“点点收敛”当收敛的.比较起来，一致收敛拓扑比点点收敛拓扑细.因为在一致收敛拓扑下，对每一点 fF，所有的集g|对所有的X

9、", j (g (x)，f (x) 号 (；是一个任意正数)构成一个邻域基.而在点点收敛拓扑下，对每个f F，所有的集g|存在 有限个x A使j (g(x)，f(x) v； 构成一个邻域基.后一个邻域基里的每一个集显然都掩盖前 一个邻域基里的一个集，但是倒过来说不行.二、一致空间复合关系与逆关系假设X是一个集，u和：是X里的两个关系(即是u X X,v X X), 规定u % =x,y|xX,yX，并且存在 zX，使x,z. u 并且 乙y : 3 / 4u 一当然也是X里的一个关系，称为u和：的复合关系.再规定-1u =vx,y|vy,x 芒 u,那末u -1也是X里的一个关系，称

10、为u的逆关系.容易证明(ur)-1= V -1Q u-1一致空间假定X是一个集，U是X里的一个不空的关系族(即 U= ©并且U XX2), 并且满足条件：(i) 若uU，则对任何 x X,x,x u;(ii) 若u U，则存在门e U，使：.：.二u;(iii) 若 u U, U 则 uG ; -U;(iv) 若 u U，u 二二X X,贝UU;(v) 若 u U，则 u U .那末称U为X的一个一致性，X,U称为一致空间(有时称X是在U这个一致性下的一 致空间)把满足条件(i) (iv)的U称为X的一个拟一致性，对应的X,U称为拟一致空间.如果U和U'是集X的两个一致性，U

11、 U'，那末称U比U'粗，U'比U细.假定集X里有一个不空的关系族V,满足定义所说条件(门和(ii )，那末X的所有掩盖 V的一致性的通集Uo也是一个一致性，是能掩盖V的最粗的一致性，称为V所繁殖的一致性，*V称为Uo的一个亚基.假定V是一致性Uo的亚基，并且对任何u Uo存在： V使:-u,那 末称V为Uo的一个基.对任何一个集X,由 x,x| x X所繁殖的一致性是最细的一致性.尺度空间可以看作一致空间的特例：假定 X是一个尺度空间，把X里的关系族 x,y| x 和y的距离小于丫 | 丫是一个正数所繁殖的一致性称为由X的尺度产生的一致性.通常除特 别声明外，一个尺度

12、空间X总是看作在这个一致性下的一致空间.实际上，上面“丫是一个正 数”的条件可以改作“ 丫是一个正有理数”(由于一致性的条件(iv),所以由尺度产生的一 致性一定有可数的基.一致拓扑与一致空间的尺度化 假定X,U是一个一致空间.对x X, u U，把 y|x, y u记作ux,称为x的一个邻域.由所有这种邻域所繁殖的拓扑称为 X的一致拓扑. 以后如果不另外声明，一个一致空间 X总是看作在一致拓扑下的拓扑空间.如果在一个一致空间里可以规定一个尺度，由这尺度产生的一致性跟原来的一致性相同，那末称这一致空间是可以尺度化.一个一致空间可以尺度化的充分必要条件是：它的一致性有可数的基，并且它是T2空间.

13、 一个一致空间可以拟尺度化的充分必要条件是：它的一致性有可数的基.一致连续与一致同构变换假定X,U和Y,V是两个一致空间，f是一个把X变进丫的 变换，如果对任何V，总存在u U，使对所有的x,y u,f (x) ,f (y) 成立，那末称f为一致连续.一致连续必定连续，但是在一致拓扑下连续不一定一致连续一个变上的可逆一致连续变换称为一致同构变换.一致同构变换一定是同胚变换，但是反过来说不一定对.一致收敛假定Y,V是一个一致空间，X是一个集，又假定fpp Q是XY里的一个点x网，厂 Y ,如果对任何： V,存在一个q Q使对所有的pq和所有的x X,fp (x), f (x)沁 V成立，那末称vfp|p Q致收敛于f.假定Y,V是一致空间，X是一个集，那末还可以对XY规定一个一致收敛的一致性如下：有些文