初高中数学衔接教材代数部分

1、667734510.doc初高中数学衔接教材求关于x的不等式ax2 bx +c >0的解.编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为 1的二次三项式的分解，对系数不为1的 涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用 到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函 数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了

2、解水平。而高中则是贯穿整个数学教材 的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求 最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不 作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的 相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本 知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题 内容在教材中出现，

3、是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行 线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除， 大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化， 甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我 们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足， 加以补充和完善。欢迎广大读者提出宝贵意见，我

4、们将不胜感激！更新整理鲁老师QQ:6701175062010.6.24目录第一章 数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心

5、3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆哥定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）第3页共36页667734510.doc1.1数与式的运算1. 1 .1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对 值仍是零.即a, a 0,| a |= « 0, a = 0,-a, a <0. J绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离

6、.例1解不等式：x-1+x-3 >4.解法一：由 x1=0,得 x=1;由 x3 = 0,得 x=3;若x < 1 ,不等式可变为-(x-1)-(x-3)a4 ,即2x+4 >4,解得 x<0,又 x<1,x< 0;若1Wx<2,不等式可变为(x-1)-(x-3) >4 ,即 1 >4,不存在满足条件的x;若x±3,不等式可变为(x-1)+(x-3)>4,即 2x4>4,解得 x>4.又x>5 x> 4.综上所述，原不等式的解为x<0,或 x>4.解法二：如图1.1 1, x-1表示x轴上

7、坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x 1|; |x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x |x-3|PCABD1 | .x0134x、tv|xi|图 1 . 1 - 13|.所以，不等式|x-1 +|x-3 >4的几何意义即为|FA|+|PB|>4.由AB| = 2,可知点P在点C（坐标为0）的左侧、或点P在点D（坐标 为4）的右侧.x<0,或 x>4.练 习1 .填空：(1)若 x =5 ,贝U x=；若 x| = -4 ,贝U x=(2)如果 a + b = 5,且 a = 1,则 b=；若 1 一 c

8、= 2,则 c=2 .选择题:下列叙述正确的是(A)若 a = b,则 a=b(C)若 a <b ,则 a <|b3 .化简：X-5|- |2x-13| (x>5).( )(B)若 ab,则 ab(D)若 a = b ,则 a = ±b1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a +b)(a -b) =a2 -b2 ;(2)完全平方公式(a士 b)2 =旨±2ab+2b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(a + b) (a

9、- a b 2 b) = 3a+ ;3 b(a - b) (a + a b 2 b) = 3a-;3b(a+b+d = a+ b+ C2(ab+bch；)ac(a + bf =言 + 3 4 b+ 3 a2b 十；3b(a - bj = 03 -3 a b+3 a2b-. b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算：(x + 1)(x-1)(x2 -x+1)(x2 +x+1).解法一：原式二 (x2 -1) (x2 +1)2 _x22 42=(x -1)(x x 1)-x61=x I .解法二：原式=(x+1)(x2 -x+1)(x-1)(x2+x+1) 33=(x 1)

10、(x -1)6,=x -1 .例2 已知 a+b+c = 4, ab+bc + ac = 4,求 a2+b2+c2 的值.解：a2 +b2 +c2 =(a +b + c)2 -2(ab + bc + ac) =8 .练 习1 .填空：1 2 1,2 J , 1 、(1) -a -b =(-b+a)()；9423(2) (4 m +)2=16m2+4m+()；(3 ) (a+2b-c)2 =a2+4b2+c2+().2 .选择题：21(1)右x十mx+k是一个完全平万式，则 k等于2(D)1 2一 m1621212(A) m( B) m( C) m43(2)不论a, b为何实数，a2+b2-2a

11、-4b+8的值(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数1.13二次根式一般地，形如.a（a_0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方 的式子称为 无理式.例如 3a+Ja2 +b +2b , Ja2+b2等是无理式，而 J2x2+12x + 1, x2十应xy + y2 , ja2等是有理式.1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做 分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需 要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个代数式互为 有理化因式，例如夜与衣，班与8 ,4+灰与曲

12、层, 2逐3乏与2套+3拒,. '月殳, a x x" , a>fx + bJ y a x _ by , ax + baTx-b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程； 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运 用公式 用&= 而已之0,b之0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通 过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括 号与合并同类二次根式.a2

13、 = aa, a -0,a, a ： 0.第17页共36页将下列式子化为最简二次根式：(1) 122b;(2) VO2b(a>0);(3) 74x6y(x<0).解:(1) Ji2b =2每；(2)Ja2b = a|Jb = aVb(a 之0)；(3)，4x6y =2 x3|八=-2x3 4(x < 0). 计算：73(3 J3). 、3解法一：:3-：-(3、3 933- <3=、, 3 (3 . 3)一(3 - . 3)(3 . 3)3 3 3=9-3: 3(、. 3 1)_62解法二：J3。( 3«39 3=3- 3=、3 3(、.3-1)1 3 -1_

14、.3 1(、,3一1)(二3 1)2试比较下列各组数的大小：(1) 疝一布和如一闻； (2)/ 和2盘-层.6 4解:12- ,11( .12-、11)( .12 .11)1.12 .11.1 1- . 10 ,( 111 0)(1 1彳1 :01又配 + 布 > 7iTQ10,阮-廊 痂-M 2) ) v 2 2- .6-3) 2 6 (2.2、.6)(22+ .6)例4解：1又4>2啦，加+ 4> 班+2业2 -产< 2。2 66.6 4化简：(,3 、2)2004(、3 - .220052.2+ ,62,2+.6 1( 3 .2)2004 63-、2)2004(、

15、3 - J2)晨3.2)晨3- 2) 2004 (、.3-2)12004 ( 3/3 22.例 5 化简：(1) 9-475 ;(2) Jx2 +-2-2(0 <x<1).解：(1)原式=,5+4而+4=,(5)2 2 2 . 5 22= (2 - . 5)2=2-75|=45 -2 .2(2)原式二 J(x-1)< 0 <x <1 ,1 xx所以，原式=例 6 已知 x = ?3 ! ,v = * '/2 , 求 3x2-5xy+3y2 的值 . 32、3-；2解:x + y = f f +叶+ % =(j3 回2 +(我 + j2)2 =10 , ,3

16、23-23 -.2 .32 dxx=12im2 2_2、2 一 一23x -5xy+3y =3(x+y) -11xy = 310 -11 = 289.填空:(1)1 - .31 ,3(2)若，(5 - x)(x -3)2 = (x -3)由-x ,则x的取值范围是一(3)(4)4x/24 -6商 +3/96-27150= 5 n t , x 1 - . x -1. x 1 +vx -1右 x =，则 r +-2 x 1x -1, x 1 - x -12.选择题：等式J =/x=成立的条件是x-2,x-2(A) x=23.a2 -1 . 1(B) x >02，求a +b的值.(C) x&g

17、t;2(D) 0<x<24.比较大小：2 也V5- V4(填法"，或之”).1.1.4 ,分式1.分式的意义A AA . .一形如-的式子，若B中含有字母，且 B #0 ,则称二为分式.当MWO时，分式-具有下列性质:A A- MB B- M上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式2m这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式.n p5x 4x(x 2) x x 2A+ B ,求常数A,B的值.解:.A B I A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4x( x 2)x(x 2)x(x 2)(D(2)(3).，A + B=5,2A =4,解得(1)(2)证明:试

18、证:计算:证明:解：由n(n 1)（其中n是正整数）；12 2 3对任意大于1的正整数n,111有1 (n 1) -nn n 1 n(n 1)n(n 1)n(n 1) 2n(n 1)(1)可知122 3=(1-2 ):110910（其中n是正整数）成立.n(n 1)1111=(一).(一).2334(-又nZ且n是正整数,定为正数,+<2 3 3 4 n(n 1)求e的化C 一22.例 3 设3=,且 e>1,2c 5ac+ 2a = 0,解：在2c2 5ac+ 2a2=0两边同除以a2,得 _ 22e 一5e+ 2 = 0,.(2e-1)(e- 2)=0,习填空题:1e=2 &l

19、t;二 e= 2.1,舍去;对任意的正整数n,n(n 2)1-);n 22.选择题：若红1x y(A) 1(C) 45(D)-53.正数x, y满足x24.1 计算1 2x-y x y1的值.99 100习题1. 1A组1 .解不等式：(1) x -1| >3；(2) x + 3+|x 2<7 ；(3) x -1| 十|x+ 1 >6 .332 .已知 x+y=1,求 x +y + 3xy 的值.3 .填空：(1) (2+而18(2-折9 =；(2)若J(1-a)2 +J(1、a)2 =2 ,则a的取值范围是 ；(3)+1.2.2；3.3 .4 4 ；55 .61 .填空：一

20、、 1.1(1)a=一 , b=一,23皿3a2 - ab贝U 22若 x2 +xy-2y2 =0,则x2 3xy y23a 5ab -2b2.已知：x =1, y =,求与l- ft-的值23 x - ,y x y1.选择题：(1)若.-a -b -2、.ab = . -b -Ja ,则(A) a <b(B) a >b(C) a <b <0( )(D) b <a <0(2)计算aa(A) Ja(B) Ta(C)-占(D) "i/a.、2112 .解方程 2(x2 +) -3(x 十一)-1=0. xx、111131 3 2 4 3 59 1114

21、 .试证：对任意的正整数n,有十n(n 1)(n 2)1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式：，一 2(1) x -3x+ 2;(3) x2 (a+b)xy +aby2 ;，一、2一(2) x2+4x 12;(4) xy -1 + x - y .解：(1)如图1.1 1,将二次项x2分解成图中的两个与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 以，有2一x2 - 3x+ 2=(x 1)(x-2).3x,x的积，再将常数项2分解成1就是x23x+2中的一次项，所1- 1图1 .-2图1

22、 .-212图1.-2一 ay一by说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1 1中的两个X来表示(如图1. 1 2所示).(2)由图1. 13,得x2 + 4x 12=(x 2)(x+ 6).(3)由图1. 14,得 22x _(a + b)xy + aby = (x-ay)(x-by)(4) xy_1+x_y=xy+ (x y) 1= (x 1) (y+1)(如图 1. 1 5所示).课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：(1) x2 + 5x -6 =。2(2) x _ 5x +6 =o(3) x2 +5x +6 =。(4) x2 -5x -6 =。(5) x2

23、-(a +1 x +a =。(6) x211x+18=。 6x2 7x 2 ;。(8) 4m2 -12m+9 二。(9) 5 +7x -6x2 =。(10) 12x2 +xy-6y2 =2、x2 _4x = x 3 x 23、若 x +ax+b = (x+2(x4 恻 a =, b =。二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)22221、在多项式(1) x +7x+6 (2) x +4x+3 (3) x +6x + 8 (4) x +7x+102(5) x +15x+44中，有相同因式的是()A、只有(1) (2)B、只有(3) (4)C、只有(3) (5)D、(1)和(2); (3)

24、和(4) ; (3)和(5)一.2_ 212、分解因式a +8ab -33b得()A、(a+11%a-3) B、(a+11b/a-3b) C、(a-11bXa-3b)D、(a-11bXa + 3b)3、(a+bf+8(a+b )20分解因式得()A、(a+b+10/a+b-2 )B、(a+ b+5/a+b-4)C、(a+b+2 Xa+b-10)D、(a+ b+4 Xa+ b-5)4、若多项式x2-3x+a可分解为(x5'fx b ),则a、b的值是()A、a=10, b=2b、a=10, b =-2C、a = -10, b =-2d、a = -10, b = 25、若x2 +mx-10

25、 = (x+a Xx+b淇中a、b为整数，则 m的值为()A、3或 9 B、±3 C、±9 D、±3或 土9三、把下列各式分解因式1、6(2pq 2 11(q-2P )+32、a35a2b+6ab24、b4 -2b2 -823、2y - 4y - 62.提取公因式法例2分解因式：，一 232(1) a (b-5)+a(5-b)(2) x +9+3x +3x解： (1). a2(b5)+a(5b)=a(b5)(a-1)(2) x3 9 3x2 3x = (x3 3x2) (3x 9) =x2(x 3) 3(x 3)2= (x+3)(x2+3).或x3+9+3x2 +

26、3x= (x3 +3x2 +3x+1)+8= (x+1)3+8= (x+1)3+23=(x 1) 2(x 1)2 -(x 1) 2 22=(x 3)(x2 3)课堂练习：一、填空题：221、多项式 6x y2xy +4xyz中各项的公因式是 。2、m(x _ y )+ n(y -x )= (x - y 卜。2223、m(x - y J +n(yx) =(xy) *。4、m(x y -z)+ n(y +zx)=(x y z)。5、m(x _y-z)-x+y+z = (x-y-z )。6、-13ab2x6 -39a3b2x5 分解因式得 。, ， 一 2 一7 .计算 9999=二、判断题：(正确

27、的打上，错误的打上“x”)221、 2a b -4ab =2ab(ab )，,()2、 am+bm + m = m(a+b),()3、 -3x3 +6x2 -15x = -3x(x2 +2x-5),(), n n 4 n 44、 x x x (x 1 )，,()3:公式法例 3 分解因式：(1) -a4+16(2) (3x + 2y 2 -(x- y 2解：(1) -a4 16 = 42-(a2)2 =(4 a2)(4-a2) =(4 a2)(2 a)(2-a)(2) (3x +2yf(xyj= (3x +2y + x y)(3x + 2y x + y) = (4x + y)(2x + 3y)

28、课堂练习、a22ab+b2, a2 -b2, a3b3 的公因式是二、判断题：(正确的打上,错误的打上“x”)1、4 2-x2 -0.01 =92 '2 p-x -(0.1 f =<3 )2x +<3x-0.1 ,- 22,2- 22、9a 8b =(3aj(4b) = (3a+4b；(3a4b),()3、25a2 -16b = (5a +4b %5a-4b),()4、 x2y2 =-(x2y2 )=(x + y xy ),()5、 a2 (b+c 2 =(a+b +c/a b+c,()五、把下列各式分解1、9(mn 2 +(m+n j2、3x2133 、 4 -(x2 -

29、4x +2 24、 x42x2 + 14 .分组分解法例4(1) x2xy+3y-3x(2) 2x2 + xy - y2 - 4x + 5y - 6 .(2) 2x2 +xy y2 -4x +5y -6=2x2 +(y -4)x- y2 +5y -6= 2x2 +(y -4)x-(y-2)(y-3) = (2x -y +2)(x+y-3).或 2222、2x xy - y -4x 5y -6= (2x xy - y ) - (4x - 5y) - 6=(2x y)(x y) (4x 5y) 6=(2x -y +2)(x + y -3).课堂练习：用分组分解法分解多项式(1) x2 -y2 +a

30、2 -b2 +2ax + 2by(2) a2 -4ab 4b2 -6a 12b 95.关于x的二次三项式ax2+bx+c(aR)的因式分解.若关于x的方程ax2 +bx +c = 0(a丰0)的两个实数根是x1、x2,则二次三项式ax2 + bx+c(a丰0) 就可分解为a(x - x1)(x -x2).例5把下列关于x的二次多项式分解因式：(1) x2+2x-1;(2) x2+4xy-4y2.解：(1)令 x2+2x1=0,贝U解得 x =1 + 拒，x2=1亚，x2 - 2x -1= |x -(_1 " <.12) x -(-1 -、. 2)=(x +1 _V2)(x+1+

31、。2).667734510.doc(2)令 x2+4xy4y2=0,则解得 % =(2+2月 y, x1 = (2 2夜)y ,x2 +4xy-4y2 = x+2(1-2)yx + 2(1 + V2)y.练 习1 .选择题：多项式2x2 -xy-15y2的一个因式为()(A) 2x -5y (B) x -3y(C) x+3y (D) x -5y2 .分解因式：(1) x2+6x+ 8;(2) 8a3b3;(3) x2-2x- 1；(4) 4(x y+1)+y(y 2x).习题1. 21 .分解因式：，34_ .2 一(1) a +1 ；(2) 4x 13x +9 ；2222(3) b +c +

32、2ab+2ac+2bc ；(4) 3x +5xy 2y +x + 9y 4.2.在实数范围内因式分解：(1) x2 -5x+3 ； x2 -2V2x-3；2.2,222(3) 3x +4xy y ；(4) (x 2x) -7(x 2x)+12.2223 . MBC三边a, b , c满足a +b +c =ab+bc + ca ,试判定AABC的形状.的值.4 .分解因式：x2+x(a2a). 1115 .(尝试题) 已知 abc=1, a+b+c=2 , a2+b2+c2=, 求+ab c-1 bc a -1 ca b-12.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实

33、例探索二次方程的根的求法，222如求万程的根(1) x - 2x -3 =0(2)x 2x 1 0 (3) x 2x 3 =0我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a4),用配方法可以将其变形为b 2b2-4ac(x o )2 =/ 22a 4a因为aO,所以，4a2>0.于(1)当b24ac>0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-b - b2 -4ac(2)当b24ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bXi = X2 =；2a(3)当b24acv0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x + 担)2一定大于或等于零，因2

34、a此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx + c= 0 (a用)的根的情况可以由 b2 4ac来判定，我们把 b24ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aR)的根的判别式，通常用符号 “来表示.综上所述，对于一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aR),有(1) 当A>0时，方程有两个不相等的实数根-b: b2 -4acxi 2=;2a(2)当A= 0时，方程有两个相等的实数根bxi= x2=- ；2a(3)当AV 0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中 a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1) x2 3x+3=0;(

35、2) x2- ax- 1=0;(3) x2 ax+(a1)= 0;(4) x2 2x+a=0.解：(1)A= 324M X3= 3v 0,，方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式A= a2-4X1>-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根a，a a2 4a - /a2 4(3)由于该方程的根的判别式为= a24X1 X(a1)= a24a+ 4= (a-2)2,所以,当a= 2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根x1= *2= 1 ；当aw2时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根x1 = 1, x2 = a 1.(3)由于该方程的根的判别式为A= 224X1

36、 Xa=4-4a= 4(1 a),所以当A>0,即4(1 -a) >0,即a<1时，方程有两个不相等的实数根 x1 =1 + v1-a ,x2 =1 71 -a ；当A=0,即a=1时，方程有两个相等的实数根x1= *2= 1 ；当Av 0,即a>1时，方程没有实数根.说明：在第3, 4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，在解题过程 中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理).次方程 ax2+b

37、x+c= 0 (a加)有两个实数根第21页共36页667734510.doc-b-b2-4ac-b- b2-4acx1 =, x2 =,2a2a则有-b , b2 -4ac -b -，b2 - 4ac -2bbX1 + X2 =Z+Z= =；2a2a 2a a-bb2 -4ac -b - b 2-4ac b 2- (b 24ac) 4ac cX1X2 =-2 2 2a2a4a 4a a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：bc如果ax + bx+ c= 0 (aR)的两根分力1J是 x1, x2,那么x1 + x2=, x1 x2= .这一关系也被称为aa韦达定理.特别地，对于二次项系

38、数为1的一元二次方程 x2+px+q = 0,若Xi, X2是其两根，由韦达定理可知X1 + X2 = p , Xi X2= q ,即p=(Xi + X2), q = XiX2,所以，方程 X2+pX+q = 0 可化为 X2(Xi + X2)X+ Xi X2= 0,由于 Xi, X2是一元二次方程 X2+pX+ q= 0 的两根，所以，Xi , X2也是一兀二次方程 X2(Xi + X2)x+ Xi X2=0.因此有以两个数X1, X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是2x (Xl+X2)x+Xl X2=0- 2例2已知万程5x +kx-6 = 0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分

39、析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数 和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：2是方程的一个根，5X22+kX2 6 = 0,k=- 7.23所以，方程就为 5X2 7x 6=0,斛得xi= 2, x2 =.5一 、一3所以，方程的另一个根为一3, k的值为一7.563解法二：设方程的另一个根为 Xi,则 2xi=-Xi = -553k 一由(一一)+2=一一，得 k= 7.55 3.所以，方程的另一个根为一一，

40、k的值为一7.5例3已知关于x的方程x2+2(m 2)x+ m2+4= 0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大2i,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大2i得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设Xi, X2是方程的两根，由韦达定理，得xi + X2 = 2(m 2), xX2=m2+4.2 ,2. Xi + X2 Xi X2= 2i ,21. (xi + X2) 3 x1X2 = 2i,即 -2(m-2)2-3(m2 + 4)=2i,化简，得m2-i6m-i7=

41、0,解得 m= i,或 m=i7. 当m= i时，方程为x2+6x+5=0, A>0,满足题意； 当 m=i7 时，方程为 x2+30x+293= 0, A= 302-4Xi X293< 0,不合题意，舍去.第i#页共36页667734510.doc综上，m=17.说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的 m的值即可.(1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式A是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的

42、和为 4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x, y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是 x, y,则 x + y=4,xy = - 12.由，得 y=4-x,代入，得x(4-x)=- 12,即x2-4x-12=0,x1= 一 2, x2 = 6._(_为-2,_|_x2 = 6,. «或一y1 =6,y2=-2.因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2-4x-12=0的两个根.解这个方程，得x1 = 2, x2 = 6.所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我

43、们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例5若x1和x2分别是一元二次方程 2x2+ 5x- 3= 0的两根.(1)求 | x1 一x2|的值；、11(2)求+工的值；x1x2(3) x13+x23.解：:x1和x2分别是一元二次方程 2x2 + 5x 3=0的两根，53. x1+x2=, /x2=_.222222.,5、2., 3、(1) -.1 | x1一x2|=x+x2 2 x1x2= (x1+x2) 4 x1x2=( -) 4父(一一)22.7 | x1 -*2|=.25232511x1x2(x1x2)-2x1x2(2)2 ( 2)43 37(2 ) -T- =

44、= = = 1=x；x22x； x22(x1x2)2(_ 3)299I 24一 3 ,32,22(3) x1 +x2 = (x1 + x2)( x1 x1x2 + x2 )= (x+ x2) ( x + x2) 一 3xx2=(-5) ¥( - 5)2-3*(-3) = 一平2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题, 为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a4),则第18页共36页667734510.doc-bb2 -4ac-b - b2 -4acx1 =, x2 =,2、

45、b2 - 4ac2a2a2a,-b + Jb2 4ac -b - Jb2 4ac| X1- X2|= 22a2a,b2二4ac |a|a|于是有下面的结论：若 x/口 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c= 0(aR),则 | x1 x2|=Y (其中= b24ac).|a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程 x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.解：设Xi, X2是方程的两根，则xiX2=a 4V 0,且 A=(-1)2-4(a-4)>0.由得 a<4,由得 av¥ .二.

46、a的取值范围是a<4.4练 习1 .选择题：(1)方程x2 2由kx+3k2 =0的根的情况是有两个不相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(A)有一个实数根(B)(C)有两个相等的实数根(D)(2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m = 0-1(B) m>4(D) m> 1 ,且 mw04( )1(A) m< 一4(C) mv 1 ,且 mw042 .填空：11(1)右方程X2 3x 1 = 0的两根分别是 X1和x2,则一十=X1 X2(2)方程 mx2+x2m= 0 (mwQ的根的情况是 .(3)以一3和1为根的一元二次方程

47、是 .3 .已知Ja2 +8a+16+|b-1| = 0,当k取何值时，方程 kx2+ax+b= 0有两个不相等的实数根?4,已知方程x2- 3x- 1 = 0的两根为 和X2,求3)( X23)的值.习题2.1A组1 .选择题：(1)已知关于x的方程x2+kx2 = 0的一个根是1,则它的另一个根是()(A) - 3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四个说法：方程X2+2X7= 0的两根之和为一2,两根之积为一7;方程x22x+7= 0的两根之和为一 2,两根之积为7;7方程3 x 7 = 0的两根之和为0,两根之积为 -一3方程3 x2+2x= 0的两根之和为2,两根之积为0.其中

48、正确说法的个数是()(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个(3)关于x的一元二次方程 ax25x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A) 0(B) 1(C) T(D) 0,或12 .填空：(1)方程kx2+4x1 = 0的两根之和为一 2,则k=.(2)方程2x2 x4= 0的两根为a,氏则a +百=.(3)已知关于x的方程x2ax3a =0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程 2x2+2x 1 = 0 的两根为 x1 和 x2,则 | x1 -x21=3 .试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程 m2x2 (2m+1) x+1 = 0有两个不相等的实数根？有

49、两个 相等的实数根？没有实数根？4 .求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-7x-1 = 0各根的相反数.B组1 .选择题：若关于x的方程x2 + (k2 1) x + k + 1 = 0的两根互为相反数，则 k的值为 ( )(A) 1 ,或1(B) 1(C) T( D) 02 .填空：(1)若m, n是方程x2+2005x 1 = 0的两个实数根，则 m2n+mn2mn的值等于 .(2)如果a, b是方程x2+x1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是一 .3 .已知关于x的方程x2-kx-2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为 x1

50、和x2,如果2(x1 + x2)>xx2,求实数k的取值范围.4 . 一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (aw。的两根x1和x2.求：(1)| x1 一 x2|和 (2) x13+x23.5,关于x的方程x2+4x+m=0的两根为m的值.x1，x2满足| x1 一x2|=2,求实数C 组1 .选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x+7= 0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A) 33(B) 3(C) 6(D) 9(2)若x1，x2是方程2x24x+1=0的两个根，则x1 +x2的值为()x2 x1，、，、，、，、3(A) 6(B) 4(C) 3(D

51、)一2(3)如果关于x的方程x2 2(1 m)x + m2= 0有两实数根a, 3,则a+ 3的取值范围为( )一 一 1(B ) a+ 32(C) a+ 3 > 1( D) 尸 1(4 )已知a , b , c是 AABC的三边长，那么方程cx2 + (a + b)x + & = 0的根的情况是4( )(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根2 .填空：若方程 x2 8x+m= 0 的两根为 x1, x2,且 3x1+2x2=18,则 m =.3 .已知xi, x2是关于x的一元二次方程 4kx24kx+k+1 = 0的两个实数根.第27页共36页667734510.doc2y2x2 y .= xy2=22|X+1)y= 2(x+ 1) y=2x3 ,、(1)是否存在实数k,使(2xi X2)( xi 2 X2)=成立？右存在，求出