激光原理 第3章 激光器的输出特性

1、光电与信息工程学院光电与信息工程学院http:/朱朱 莉莉 莉莉福建师范大学光电与信息工程学院福建师范大学光电与信息工程学院（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院2第第3 3章章 激光器的输出特性激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论光学谐振腔的衍射理论3.2 对称共焦腔内外的光场分布对称共焦腔内外的光场分布3.3 高斯光束的传播特性高斯光束的传播特性3.4 稳定球面腔的光束传播特性稳定球面腔的光束传播特性3.5 激光器的输出功率激光器的输出功率3.6 激光器的线宽极限激光器的线宽极限3.7 激光光束质量的品质

2、因子激光光束质量的品质因子M2（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院3引引 言言 谐振腔作用：谐振腔作用：倍增激光增益介质的受激放大作用长倍增激光增益介质的受激放大作用长度以形成光的高亮度；提高了光源发光的方向性；度以形成光的高亮度；提高了光源发光的方向性；由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在，大大由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在，大大提高了输出激光的单色性，实现了高度的相干性，提高了输出激光的单色性，实现了高度的相干性，改变了输出激光的光束结构及其传输特性。改变了输出激光的光束结构及其传输特性。 本章从谐振

3、腔的衍射理论开始研究激光输出的高斯本章从谐振腔的衍射理论开始研究激光输出的高斯光束传播特性，激光器的输出功率以及激光器输出光束传播特性，激光器的输出功率以及激光器输出的线宽极限。的线宽极限。 （第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院43.1 3.1 光学谐振腔的衍射理论光学谐振腔的衍射理论 惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。由次级子波的包络面所决定。 菲

4、涅耳引入干涉的概念，补充了惠更斯原理，认为菲涅耳引入干涉的概念，补充了惠更斯原理，认为子波源所发的波应该是相干的，空间光场是各子波干子波源所发的波应该是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。涉叠加的结果。1 惠更斯惠更斯-基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 基尔霍夫近一步用格林函数方法求解波动方程，得基尔霍夫近一步用格林函数方法求解波动方程，得到菲涅耳到菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。基尔霍夫衍射公式。（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院5图图3-1 惠更斯惠更斯-菲涅菲涅耳原理耳原理设波阵面设波阵面 上任一源点上任一源

5、点 的光场复的光场复振幅为振幅为 ，则空间任一观察点，则空间任一观察点P的光场复振幅的光场复振幅 由下列积分式计由下列积分式计算：算： P) ( Pu)(Pu)cos1 ()( 4)(dsePuikPuik式中式中 为源点为源点 与观察点与观察点P P之间的距离；之间的距离； 为源点为源点 处处的波面法线的波面法线 与与 的夹角；的夹角； 为光波矢的大小，为光波矢的大小， 为光波长；为光波长； 为源点为源点 处的面元。处的面元。 PPnPP/2kPds（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院62 光学谐振腔的自再现模积

6、分方程光学谐振腔的自再现模积分方程p 自再现模概念自再现模概念 起因：起因：由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应用的同时，还会引起光波的衍射效应 ，引起反射回来，引起反射回来的光束的强度减弱的光束的强度减弱. 特点特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。响。 特点特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够场分布在腔内往返传播一次后能够“再现再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光

7、的强度出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。分布。（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院7自再现模：自再现模：这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光生同样大小的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。谐振腔的自再现模。 p自再现模积分方程自再现模积分方程图图3-2 镜面上场分布的计算示镜面上场分布的计算示意图意

8、图图图(3-2)所示为一个圆形镜的平所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面行平面腔，镜面 和和 上分别上分别建立了坐标建立了坐标 和和 。利用。利用上式由镜面上式由镜面 上的光场分布可上的光场分布可以计算出镜面以计算出镜面M上的场分布函数，上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。即任意一个观察点的光场强度。MMyx yx M（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院8图图3-2 3-2 镜面上场分布的镜面上场分布的计算示意图计算示意图 假设假设 为经过为经过q q次渡越后次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，在某一镜面上所

9、形成的场分布， 表示光波经过表示光波经过q q+1+1次渡越后，到达次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则另一镜面所形成的光场分布，则 与与 之间应满足如下的迭之间应满足如下的迭代关系：代关系： ) , (yxuq1ququ),(1yxuq)cos1 () , (4),(1dseyxuikyxuMikqq 考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， 应能够将应能够将 再现出来，两者之间应有关系：再现出来，两者之间应有关系： 1ququqquu1（第（第1章）章）

10、福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院9 综合上两式可得综合上两式可得:)cos1 () , (4),()cos1 () , (4),(dseyxuikyxudseyxuikyxuikMikMqq 简化：简化：对于一般的激光谐振腔来说，腔长对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲与反射镜曲率半径率半径R通常都远大于反射镜的线度通常都远大于反射镜的线度a，而，而a又远大于光波又远大于光波长长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程方程： ) , () , ,(),(dsyxuyxy

11、xKyxuqmnmn 其中其中 ，称为积，称为积分方程的核。分方程的核。) , ,() , ,(2) , ,(yxyxikyxyxikeLieLikyxyxK（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院10 和和 的下标表示该方程存在一系列的不连续的的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。以存在许多不同的自再现模。 mnumnp积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义 本征函数本征函数 的模代表对称开腔任一

12、镜面上的光场的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做就是自再现模，通常叫做“横模横模”，m、n称为横称为横模序数。模序数。mnu（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院11图图3-3 横模光斑示意图横模光斑示意图 用用TEMmnq来表示激光模式，来表示激光模式，TEM代表横电磁波代表横电磁波(transverse electro

13、-magnetic wave)的简写，的简写，m、n分别代表在截面的分别代表在截面的x、y轴方向出现的节线数，为横模轴方向出现的节线数，为横模序数；序数；q代表在代表在z轴上出现的节线数，为纵模序数轴上出现的节线数，为纵模序数方形镜方形镜圆形镜圆形镜（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院12本征值本征值 和单程衍射损耗、单程相移和单程衍射损耗、单程相移mn本征值本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗引起的功率损耗mn2122121mnmnqqqqquuuuu损耗

14、损耗 包括衍射损耗和几何损耗，主要是衍射损耗，包括衍射损耗和几何损耗，主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，定义为称为单程衍射损耗，定义为（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院13本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。移有关。 qqqquuuuargargarg11自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为为 argargarg1qquu自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由自再现模在对称开腔中的单程

15、总相移一般并不等于由腔长腔长L所决定的几何相移，它们的关系为所决定的几何相移，它们的关系为 mnmnkLkLargarg单程附加相移单程附加相移（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院143. 光学谐振腔谐振频率和激光纵模光学谐振腔谐振频率和激光纵模1,2,3, 22qqLqcLcLqcckqkLmnmnq222222p 谐振条件、驻波和激光纵模谐振条件、驻波和激光纵模光波在腔内往返一周的总相移应等于光波在腔内往返一周的总相移应等于2 的整数倍，即的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件只有某些特定频率的光才能

16、满足谐振条件 每个每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。为纵模序数。谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院15p 纵模频率间隔纵模频率间隔LcLcLqcqqqmnmnq2221图图(3-4) 腔中允许的纵模数腔中允许的纵模数腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔举例举例1：10cm腔长的腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模

17、）（一种，单纵模）举例举例2：30cm腔长的腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）（三种，多纵模）Hzvq9105 . 1Hzvq9105 . 0HzvF9105 . 1（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院16LyYLxXeYHXHCuYXnmmnmn2,2;)()(222其中本征值近似解：本征值近似解：2)1(nmkLimne1 共焦腔镜面上的场分布共焦腔镜面上的场分布3.2 对称共焦腔内外的光场分布对称共焦腔内外的光场分布p 方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解方形镜面共

18、焦腔自再现模积分方程的解析解22)(,LLRL及设方镜每边长为设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为，共焦腔的腔长为L，光波波，光波波长为长为，并把，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在来表示镜面上的任意点，则在近轴情况近轴情况下下 ，积分方程有，积分方程有本征函本征函数近似解析解：数近似解析解： （第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院17Hm(X)和和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：均为厄密多项式，其表示式为：1)(0XHXXH2)(124)(22XX

19、H2) 1()(XmmXmmedXdeXHp 方形镜面上自再现模场的特征方形镜面上自再现模场的特征（1）振幅分布）振幅分布)()()()(222YFXFuIYFXFCunmmnmnnmmnmn2222)()(,)()(YnnXmmeYHYFeXHXF令令 , 则有则有（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院18图图(3(3-5-5) )画出了画出了m m = 0= 0，1 1，2 2和和n n = 0= 0，1 1的的 的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布

20、 YYFXXFnm)()(及图图(3-5) 的变化曲线及相应的光强分布的变化曲线及相应的光强分布YYFXXFnm)()(及 激光模式的符号：激光模式的符号：TEMmnq，TEM00是基是基横模。横模。 m、n的数值正好分的数值正好分别等于光强在别等于光强在x，y方方向上的节线向上的节线(光强为零光强为零的线的线)数目，而且数目，而且m、n的数值越大，光场也的数值越大，光场也越向外扩展。越向外扩展。 （第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院19Lyxsss22LyxeCu220000基横模基横模TEM00场分布为场分布为

21、镜面上基模的镜面上基模的“光斑有效截面半径光斑有效截面半径”（2 2）相位分布）相位分布: : 由于由于 为实函数共焦腔反射镜面本为实函数共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。身构成光场的一个等相位面。),(yxmn（3 3）单程衍射损耗：）单程衍射损耗： ，但是在讨论激光器单，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗横模的选取时必须考虑单程衍射损耗 012mnmn（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院20(1)2(1)2arg1(1)2222mnmnmnmnqi kLm nmnqmnmnmnkLcqm

22、nqccLeLL 22qnmqLc图图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱方形镜共焦腔的振荡频谱（4）单程相移与谐振频率：）单程相移与谐振频率：共焦腔的共焦腔的频率间隔频率间隔共焦腔谐振频率的共焦腔谐振频率的简并性简并性：只要保证：只要保证2q+m+n+1）不变不变,对应的谐振频率是可以相同的对应的谐振频率是可以相同的.频率相等的模式频率相等的模式增益相同，导致多模振荡，使输出光束质量变坏。增益相同，导致多模振荡，使输出光束质量变坏。谐振频率谐振频率：（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院21纵模序数纵模序数q是决定谐

23、振频率的主要成分是决定谐振频率的主要成分q表示光波在腔内往返一个来回所经历的振动次数。表示光波在腔内往返一个来回所经历的振动次数。由于激光器谐振腔长是激光波长的由于激光器谐振腔长是激光波长的104105倍，即倍，即q的数量级为的数量级为104105。实际的激光振荡中实际的激光振荡中m、n的数值都在的数值都在10以内，即以内，即qm+n，考虑到这一点后则有：，考虑到这一点后则有：对于圆形镜共焦腔：对于圆形镜共焦腔：qLcmnq21(21)22mnqcqmnL（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院222 共焦腔中的行波场

24、与腔内外的光场分布共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 腔内的光场腔内的光场: 可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波。该驻波场就是腔内光场分布。迭加成驻波。该驻波场就是腔内光场分布。 腔外的光场腔外的光场: 则就是腔内沿一个方向传播的行波透过则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。求空间场分布

25、的关键是：求空间场分布的关键是：求出镜面场分布生成的行波求出镜面场分布生成的行波在任意空间点的表达式。在任意空间点的表达式。 （第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院23如图如图3-7所示，将镜面场分布所示，将镜面场分布式式(3-18)代入基尔霍夫衍射代入基尔霍夫衍射公式公式式式(3-1)可得：可得：图图3-7 计算腔内外光场分布的计算腔内外光场分布的示意图示意图zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222222( , , )(1)21(1)()2mnLxyx y

26、 zkLmn12arctanarctan12LzLzLz2（引入无纲参量（引入无纲参量 ）（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院243.3 高斯光束的传播特性高斯光束的传播特性基横模的强度分布呈高斯型分布，通常称为高斯光基横模的强度分布呈高斯型分布，通常称为高斯光束。束。高斯光束与普通光束有很大区别，它的传播方向性高斯光束与普通光束有很大区别，它的传播方向性很好，同时也会不断地发散。很好，同时也会不断地发散。高斯光束除中心沿直线传播，其他位置不沿直线传高斯光束除中心沿直线传播，其他位置不沿直线传播。播。高斯光束传播过

27、程中，波面曲率半径不断在变化，高斯光束传播过程中，波面曲率半径不断在变化，但永远不会变成零；但永远不会变成零；（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院25基横模基横模TEM00的场振幅的场振幅U00和强度和强度I00分布分别为：分布分别为：22220012expsyxU22222000014expsyxUI 当场振幅为轴上当场振幅为轴上( )的值的的值的e-1倍，即强度为倍，即强度为轴上的值的轴上的值的e-2倍时，所对应的横向距离倍时，所对应的横向距离 即即z 处截面内处截面内基模的有效截面半径为；基模的有效截面半径为

28、； 022 yxz)2(1 2)(41212)(222222LzLzLyxLzzsssss1 高斯光束的振幅和强度分布高斯光束的振幅和强度分布镜面处：镜面处：（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院26 在共焦腔中心在共焦腔中心(z0)的截面内的光斑有极小值，称的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径为高斯光束的束腰半径 Ls21210 用束腰半径表示的形式用束腰半径表示的形式22220222200002( )1 () 2( )1 ()1()1122sLzzzzLzL（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范

29、大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院27图图(3-8) 基模光斑半径随基模光斑半径随z按双曲线规律的变化按双曲线规律的变化 基模光斑半径基模光斑半径 随随 z 按双曲线规律变化：按双曲线规律变化：( )z（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院282 高斯光束的相位分布高斯光束的相位分布 随坐标而变化，与腔的轴线相交于随坐标而变化，与腔的轴线相交于 点的点的等相位面的等相位面的方程为方程为 ),(zyx0z 00222222022122212212)2)(1()2(12)21 (2),

30、(), 0 , 0(),(zLzLkzLyxLzLzLzLknmLyxLzLzLzLkzyxzzyx0 nm0 yx)()(0zz（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院29令令 ，则有：，则有：)2(1 2000zLzR02220020220022012RyxRRRyxRRyxzz整理可得：整理可得： 2002220RzzyxR则在腔轴附近则在腔轴附近 有有 2202221zxyLzzLzL 0222222000221212zxyxyLLzLzLz 0 zz（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（

31、第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院30在近轴的情况下，对称共焦腔光束的等相位面近似为在近轴的情况下，对称共焦腔光束的等相位面近似为一系列其球心在腔轴上的球面，其半径为：一系列其球心在腔轴上的球面，其半径为：20001 () 2LRzz当当z00时，时，z-z00；而当；而当z00时时, z-z00 u等相位面满足：等相位面满足：2002220RzzyxR当当z00时，时，R0=，即共焦腔中心的波阵面为垂直，即共焦腔中心的波阵面为垂直于腔轴的平面。于腔轴的平面。0000zzzz和当当 时时共焦腔的波阵面的半径相同，共焦腔的波阵面的半径相同，即共焦腔光束的波阵面在中心两侧是对

32、称分布的。即共焦腔光束的波阵面在中心两侧是对称分布的。)2(1 2200220zLzyxzz或：（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院31波阵面半径波阵面半径R0总是大于总是大于 ，即波阵面的曲率中心不，即波阵面的曲率中心不会与腔心重合。又由会与腔心重合。又由看出，看出， 越大，越大， 越小。越小。00zR 即波阵面离中心越远，其即波阵面离中心越远，其曲率中心离腔中心越近，曲率中心离腔中心越近，如图如图(3.3.5)(3.3.5)所示。所示。0z0z当当 ，即共焦腔的两个反射镜面正，即共焦腔的两个反射镜面正好与光束在

33、此两处的波阵面重合；也就是说镜面上的好与光束在此两处的波阵面重合；也就是说镜面上的各点具有相同的位相。各点具有相同的位相。LRLz002时，02200004)2(zLzLzzR（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院32波阵面的分布则示意于图波阵面的分布则示意于图(3.3.7)中。中。总结：总结：共焦腔中的光束，好象是从腔轴上的一系列的共焦腔中的光束，好象是从腔轴上的一系列的“发光点发光点”上发出的球面波，其波阵面对腔的中心具有上发出的球面波，其波阵面对腔的中心具有对称的分布对称的分布.波阵面离中心越远，其曲率中心离腔

34、中心越波阵面离中心越远，其曲率中心离腔中心越近近（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院333 高斯光束的远场发散角高斯光束的远场发散角022002222)(1)()(2lim2Lzzzzz2远场发散角远场发散角 (全角全角) 定义为双曲线的两根渐近定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角线之间的夹角（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院34 共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量缀，共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量缀，它的方向性相当

35、好它的方向性相当好.由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差4 高斯光束的高亮度高斯光束的高亮度亮度亮度B: 单位面积的发光面在其法线方向上单位立体单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出去的辐射功率。角范围内输出去的辐射功率。SIB222)(RR（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院35立体角越小，亮度越大；立体角越小，亮度越大；一般的激光器是向着数量级约为一般的激光

36、器是向着数量级约为10-6sr的立体角范围的立体角范围内输出激光光束的。而普通光源发光内输出激光光束的。而普通光源发光(如电灯光如电灯光)是朝向是朝向空间各个可能的方向的，它的发光立体角为空间各个可能的方向的，它的发光立体角为4sr。相。相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。例如一台较高水平的红宝石激光器，它的亮度约为例如一台较高水平的红宝石激光器，它的亮度约为1015W(cm2.sr),比普通疝灯还要高几十亿倍。比普通疝灯还要高几十亿倍。 （第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福

37、建师范大学光电学院36p小结：高斯光束的主要特征参量小结：高斯光束的主要特征参量 20L2200)(1)(zz02s022)(1 200zzR束腰半径：束腰半径：等相位面的曲率半径：等相位面的曲率半径：光束的有效截面半径：光束的有效截面半径：镜面光束半径：镜面光束半径：远场发散角：远场发散角：（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院37习题P70: 1，2，4（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院381 1 稳定球面腔的等价共焦腔稳定球面腔的

38、等价共焦腔对称共焦腔中，对称共焦腔中，在场的任意一个等相位面处放置具在场的任意一个等相位面处放置具有相应曲率的反射镜，不改变光场分布，因此有相应曲率的反射镜，不改变光场分布，因此任何任何一个对称共焦腔存在无一个对称共焦腔存在无 穷多个穷多个“等价等价”球面腔。反球面腔。反之，之，任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一地任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一地与一个共焦腔等价。与一个共焦腔等价。3.4 稳定球面腔的光束传播特性稳定球面腔的光束传播特性u 一般的稳定腔可以直接求解积分方程得到腔内外光一般的稳定腔可以直接求解积分方程得到腔内外光场分布函数，也可采用等价对称共焦腔方法，将对称场分布函数

39、，也可采用等价对称共焦腔方法，将对称共焦腔的结果推广到一般稳定球面腔。共焦腔的结果推广到一般稳定球面腔。（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院39图图(3-10) 球面腔的等价共焦腔球面腔的等价共焦腔LzzzfzRzfzR2122222111)(1 )(1 LRRLRLz22121LRRLRLz22112LRRLRRLRLRLf22121210假设双凹腔两镜面假设双凹腔两镜面M M1 1与与M M2 2的曲率半径分别为的曲率半径分别为R R1 1和和R R2 2，腔长为腔长为L L，而所要求的等价共焦腔的共焦参数为，

40、而所要求的等价共焦腔的共焦参数为f f。如。如图图(3-10)(3-10)所示。则有：所示。则有：（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院40如果如果R R1 1、R R2 2、L L满足满足 ，不难证明，不难证明z z1 10 0、z z2 20 0、f f0 0，这说明给定稳定球面腔可唯一，这说明给定稳定球面腔可唯一确定一个等价共焦腔。确定一个等价共焦腔。 1)1)(1 (021RLRL2 2 稳定球面腔的光束传播特性稳定球面腔的光束传播特性 等效共焦腔的束腰半径等效共焦腔的束腰半径4122121212002121

41、212222LRRLRRLRLRLfLLLRRLRRLRLRLf并且（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院41原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径 412121222412112211220021122121212121)()()()()(1)(222LRRLRLLRRLLRRLRLLRRLzzLRRLRLzLRRLRLzLRRLRRLRLRLfss（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院42 谐振频率谐振

42、频率 方形镜一般稳定球面腔的两个反射镜面顶点处的方形镜一般稳定球面腔的两个反射镜面顶点处的位相因子分别为：位相因子分别为：11111211, 0 , 0zfzftgnmfzkfz22122211, 0 , 0zfzftgnmfzkfz)2)(1(1)1 (2),(222nmLyxLkzyx（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院43按谐振条件，单程总相移必须满足按谐振条件，单程总相移必须满足 ，则有：则有：qzz12, 0 , 0, 0 , 0 qzfzftgzfzftgnmzzk221111211qzzffLtgnm

43、L212112qggnmL211cos12211cos112ggnmqLccmnq同理圆形镜一般稳定腔的谐振频率同理圆形镜一般稳定腔的谐振频率 112121 cos2mnqccqmng gL（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院44(1)(1)稳定出光时激光器内诸参数的表达式稳定出光时激光器内诸参数的表达式腔内最小的光强腔内最小的光强I I+ +(0)(0)：由部分反射镜反射的，沿腔：由部分反射镜反射的，沿腔轴传播的光强。轴传播的光强。1 1 均匀增宽型介质激光器的输出功率均匀增宽型介质激光器的输出功率3.5 激光器

44、的输出功率激光器的输出功率 均匀增宽型介质激光器通常只有一个纵模，即谐均匀增宽型介质激光器通常只有一个纵模，即谐振频率最靠近中心频率的纵模振频率最靠近中心频率的纵模腔内最大光强腔内最大光强I-(2L)(2exp)0()2(2）内GLIrLI（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院45由能量守恒定律可得：由能量守恒定律可得：图（1）腔内光强输出光强：输出光强：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a内内)镜面损耗：镜面损耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a内内)最大最小

45、光强、输出光强和镜面损耗之间的关系最大最小光强、输出光强和镜面损耗之间的关系)2()()0()2(11LItIIILIhout（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院46对于腔内任何一处对于腔内任何一处z都有两束传播方向相反的行波都有两束传播方向相反的行波I+(z)和和I-(2L-z)引起粒子数反转分布值发生饱和，增益系数引起粒子数反转分布值发生饱和，增益系数也随之发生饱和。如果近似用平均光强也随之发生饱和。如果近似用平均光强2I= I+(z)+ I-(2L-z)，用，用阈GIIGGs210作为腔内的平均增益系数，则腔

46、内的平均行波光强为：作为腔内的平均增益系数，则腔内的平均行波光强为：) 1(2) 1(200总阈aGIGGIIss平行行波光强平行行波光强（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院470, 0, 1222atr(2) 激光器的输出功率激光器的输出功率理想的情况理想的情况 ，将全反射镜，将全反射镜M2上的镜面损耗都上的镜面损耗都折合到折合到M1上，这样对上，这样对M2有：有：0内a对对M1有：有：)(1111tar激光器的总损耗为：激光器的总损耗为：)(1ln21ln211121taLrrLaa内总如果如果 很小，将很小，

47、将 用级数展开用级数展开取一级近似，可得：取一级近似，可得：11ta )(1ln11ta Ltaa211总（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院48激光器输出光强可以表示为：激光器输出光强可以表示为：) 12(211011taLGtIItIsout若激光器的平均截面为若激光器的平均截面为A，则其输出功率为：，则其输出功率为：) 12(211101taLGAItAIPsout则激光器内行波的平均光强则激光器内行波的平均光强I可以化为：可以化为：) 12(2110taLGIIs（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师

48、范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院49(3) 输出功率与诸参量之间的关系讨论输出功率与诸参量之间的关系讨论 P与与Is的关系的关系: 两者成正比两者成正比 P与与A的关系的关系: A越大，越大，P越大；所以高阶横模的输越大；所以高阶横模的输出功率比基横的大。出功率比基横的大。)2()2()()0()2(111LItLItaILI P与与t1的关系的关系: 实际中总是希望输出功率大镜面损耗小，实际中总是希望输出功率大镜面损耗小，即希望：即希望：) 12(211101taLGAItAIPsout（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第

49、3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院50要求要求t t1 1大，大，a a1 1小，使小，使t t1 1aa1 1，但，但 t t1 1过大又使增益系数的阈值过大又使增益系数的阈值G G阈阈升高，而如果介质的升高，而如果介质的双程增益系数双程增益系数2LG2LG0 0不够大将会导致腔内光强减小，使不够大将会导致腔内光强减小，使输出功率降低。严重时使腔内不能形成激光。输出功率降低。严重时使腔内不能形成激光。 t t1 1过小，虽然使过小，虽然使G G阈阈降低光强增强，但镜面损耗降低光强增强，但镜面损耗a a1 1I I- -(2L)(2L)也将增大。也将增大。Ltaa211总)2(

50、)2()()0()2(111LItLItaILI（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院51解此方程得：解此方程得： 为了使激光器有最大的输出功率，必须使部分反射镜的为了使激光器有最大的输出功率，必须使部分反射镜的透射率取最佳值：透射率取最佳值：0)(2(21) 12(210211011101taLGAIttaLGIAdtdPss)2()2(101121101aLGaaaLGt此时，激光器得输出功率为：此时，激光器得输出功率为： 210100101)2(21) 122()2(21aLGAIaLGLGaLGaAIPss（

51、第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院52(1)(1)稳定出光时激光器内诸参数的表达式稳定出光时激光器内诸参数的表达式 腔内最大光强腔内最大光强)(2exp), 0(),2(2内aGLIrLI 输出光强输出光强)(2exp), 0(),2()(211内aGLIrtLItIout 镜面损耗：镜面损耗：)(2exp), 0(),2()(211内aGLIraLIaIh2 2 非均匀增宽型介质激光器的输出功率非均匀增宽型介质激光器的输出功率 频率为频率为v的光波只能使速度为的光波只能使速度为 的粒子数密度反的粒子数密度反转分布

52、值饱和，对其他速度的粒子几乎无影响。转分布值饱和，对其他速度的粒子几乎无影响。zv（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院53 最小光强最小光强：)(2exp), 0(),2(), 0(211内aGLIrrLIrI光波在腔内传播情况如图所示：光波在腔内传播情况如图所示：光波的频率光波的频率v不在非均匀增宽不在非均匀增宽介质的中心频率处，介质的中心频率处，频率为频率为v的光波，的光波， 和和 两束光在增益系数的曲线上两束光在增益系数的曲线上 的两侧对称的的两侧对称的“烧烧”了两个孔。了两个孔。),(zI)2 ,(zLI（

53、第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院540( )( )1DsGGGI I阈非均匀增宽型介质对非中心频率光波的增益系数非均匀增宽型介质对非中心频率光波的增益系数 腔内不同地点的光强不同，取腔内不同地点的光强不同，取I作为平均光强，当作为平均光强，当增益不太大时增益不太大时I=I+=I-，则介质对，则介质对 光波的平均增益光波的平均增益系数为：系数为：00光波的频率为线型函数的中心频率光波的频率为线型函数的中心频率 ，它只能使介，它只能使介质中速度为质中速度为 的这部分粒子数密度反转分布值的这部分粒子数密度反转分布值饱和

54、。此时腔内的光强为饱和。此时腔内的光强为I+I-，故介质对，故介质对 的增益的增益系数为：系数为：0vz阈GIIIGGsDD)(1)()(000（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院55 若腔内各频率的光强都等于若腔内各频率的光强都等于Is，则，则 以及以及 附近附近的的 光波所获得的增益系数分别为：光波所获得的增益系数分别为：002)()(3)()(0000DDDDGGGG和 1)()( 1)(21)(202000和阈阈GGIIGGIIDsDs 若增益系数的阈值都相等，则若增益系数的阈值都相等，则 和和 附近频率附

55、近频率为为 光波的平均光强分别为下值，且前者比后者要光波的平均光强分别为下值，且前者比后者要弱弱：00),2(),(00zLIzI 若用平均光强若用平均光强2I来代替来代替 ，则光波在腔中的平均增益系数可表示为：则光波在腔中的平均增益系数可表示为：阈GIIGGsDD21)()(000（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院562 激光器的输出功率激光器的输出功率（一）（一） 单频激光器的输出功率单频激光器的输出功率此时腔内的平均光强为：此时腔内的平均光强为： 1)(2()(2110taLGIIGs激光器的输出光强为：激

56、光器的输出光强为： 1)(2()()(211011outtaLGItItIGs若若 光束的截面为光束的截面为A，则激光器的输出功率为：，则激光器的输出功率为： 1)(2()()(21101taLGIAtAIPGsout Ltaara2; 1; 0112总内0若腔内只允许一个谐振频率，且若腔内只允许一个谐振频率，且 ，激光器在，激光器在理想的情况下，仍有：理想的情况下，仍有：（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院57 1)(2(21)(211000taLGIIGs若腔内单纵模的频率为若腔内单纵模的频率为 ，激光器的腔内

57、平均光强，激光器的腔内平均光强为：为：0激光器输出光强为：激光器输出光强为： 1)(2(21)()(211001010outtaLGItItIGs0若若 光束的截面为光束的截面为A，激光器的输出功率为：，激光器的输出功率为： 1)(2(21)()(21100100taLGIAtAIPDsout（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院58 上图为上图为 输出功率曲线，其在中心频率处出现输出功率曲线，其在中心频率处出现一个凹陷，称为一个凹陷，称为“兰姆凹陷兰姆凹陷”)(P虽然介质在中心频率处的小讯号增益系数比其他任何虽然介

58、质在中心频率处的小讯号增益系数比其他任何频率的小讯号增益系数大，但是激光器对频率的小讯号增益系数大，但是激光器对 0光波的输出光波的输出功率要比它对功率要比它对 0附近各频率光波的输出功率还要低。附近各频率光波的输出功率还要低。212100ssIIII兰姆凹陷兰姆凹陷（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院59如何解释兰姆凹陷？如何解释兰姆凹陷？当当 时，时， ，输出功率，输出功率P01vvqtiGvG)(10当当 时，激光振荡将在增益曲线的时，激光振荡将在增益曲线的v2和和 处造成两个凹陷，激光功率处造成两个凹陷，激

59、光功率P2正比于这两个凹陷面积之和。正比于这两个凹陷面积之和。2vvq2022vvv（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院603vvq当当 时，由于烧孔面积增大，所以功率时，由于烧孔面积增大，所以功率P3比比P2大。大。当频率当频率vq接近接近v0时，两个烧孔部分重叠，烧孔面积可能小时，两个烧孔部分重叠，烧孔面积可能小于于 时两个烧孔面积的和，因此时两个烧孔面积的和，因此PP2P10（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院62（二）（二） 多

60、频激光器的输出功率多频激光器的输出功率 如果相邻两个纵模的频率间隔大于烧孔的宽度，并如果相邻两个纵模的频率间隔大于烧孔的宽度，并且各频率的烧孔都是彼此独立的，则每个纵模的诸且各频率的烧孔都是彼此独立的，则每个纵模的诸参数与其它纵模不存在时一样，有平均光强为：参数与其它纵模不存在时一样，有平均光强为： 1)(2(21 1)(2()(211002110taLGItaLGIIDsDs00此时腔内允许多个纵模存在。此时腔内允许多个纵模存在。（第（第1章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院（第（第3章）章）福建师范大学光电学院福建师范大学光电学院63输出功率为：输出功率为： 1)(2(21 1