初中数学二次函数技巧及练习题含答案

1、初中数学二次函数技巧及练习题含答案一、选择题1 .已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论: a+b+cv0; a - b+c> 1; abc>0;9 a - 3b+c< 0; c- a>1.其中所有正确结【解析】【分析】C.D.根据抛物线的开口方向可得出a的符号，再由抛物线与 y轴的交点可得出c的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1、 x 1、x3时的情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知，a<0, c=1,对称轴：x= 1 ,2a/. b=2a, 由图可知：当 x=1时，y<0,a+b+cv 0,正确； 由图可知：当x=-

2、1时，y>1, a-b+c>1,正确；abc=2a2>0,正确； 由图可知：当 x=-3时，y<0,9a-3b+c<0,正确； c-a=1-a >1,正确；正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.2.二次函数y= x2+bx的对称轴为直线 x= 2 ,若关于x的一元二次方程 x2+bx- t= 0 （t为实数）在-1vxv4的范围内有解，则t的取值范围是（）A. 0<t<5B. - 44V5C. - 44V0D.4【答案】B【解析】【分析】先求出b,确定二次函数解析式，关于 x的一元二次方

3、程x2+bx-t = 0的解可以看成二次函 数y=x2-4x与直线y=t的交点，-1 vxv4时-4或v 5,进而求解；【详解】解：对称轴为直线 x= 2,b= - 4, y=x2- 4x,关于x的一元二次方程 x2+bx-t=0的解可以看成二次函数 y=x2- 4x与直线y=t的交点, 1<x<4,，二次函数y的取值为-4或<5,- 44 V 5;故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键.3.如图是函数y x2 2x 3（0 x 4）的图象，直线l /x轴且过点（0,m）,

4、将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是（）A. m 1【答案】CB. m 0C. 0 mD. m 1或 m 0找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知【详解】 解：如图1所示，当t等于0时,y (x 1)4，顶点坐标为(1, 4)当x 0时,. A(0, 3)当x 4时,C(4,5)当m 0时,D(4, 5)，此时最大值为0,最小值为 5 ;如图2所示，当m 1时，此时最小值为 4 ,最大值为1.综上所述：0 m 1 , 故选：C.【点睛】5的m的值2.4. 一次函数

5、y ax bx c(a0）的图象如图所示，下列结论 b24ac ，此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为 为解题关键.abc0,2a b c 0,a b c 0.其中正确的是(1A.【答案】A【解析】B.C.D. 抛物线与x轴由两个交点，则 b2 4ac0 ,即b2 4ac,所以 正确；由二次函数图象可知,0 ,所以abc 0,故错误;对称轴：直线xb2a1, b 2a,所以 2a b c 4a c,2a b c 4a c0,故错误;对称轴为直线x1,抛物线与x轴一个交点3 xi2,则抛物线与x轴另一个交1时，y a b c 0,故正确.【详解】解：:抛物线与x轴

6、由两个交点,21 b 4ac 0 ,即 b2 4ac,所以正确；由二次函数图象可知,a 0 , b 0, c 0,abc 0,故错误；1,b对称轴：直线x 2ab 2a,2a b c 4a c,2 a 0, 4a 0,c 0, a 0 ,2a b c 4a c 0,故错误； 对称轴为直线x1 ,抛物线与x轴一个交点3X1.，抛物线与X轴另一个交点0 x2 1 ,当 x 1时，y a b c 0,故正确.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.5.如图是抛物线y=ax2+bx+c （a*Q的部分图象，其顶点坐标为（1, m）,且与x铀的 一个

7、交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论：abc>0;a-b+c>0;b2 =4a （c- m）;一元二次方程ax2+bx+c= m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）【解析】【分析】C. 3D. 4根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a, b, c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在 x轴上另一个交点；根据抛物线与直线 y=m的交点可判定方程的解.【详解】.函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴a>0,c<0抛物线的对称轴为直线x=- b- =12a.b<0，abc>0;正确；.抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和

8、（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1,.，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间.，当 x=-1 时，y<0,即a-b+c<0,所以不正确;.抛物线的顶点坐标为（1, m）,2二m,4ac b4ab2=4ac-4am=4a （c-m）,所以 正确；抛物线与直线y=m有一个公共点，抛物线与直线y=m+1有2个公共点，正确.二 一元二次方程 ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以 故选:C.【点睛】 考核知识点：抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的 关系是关键.6 .将抛物线y=x2- 4x+1向左平移至顶点

9、落在 y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y =S （图中阴影部分）是（-3和x轴围成的图形的面积【答案】BC. 7D. 8抛物线y=x2-4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3),向左平移至顶点落在 y轴上，此时顶点B(0,- 3),点A是抛物线与x轴的一个交点，连接 OC, AB, 如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2X 3=6故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键.7 .定义a, b, c为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为2m, 1-m, -1-m的函数的一些结论，其中不正确的是()A.当m=-3

10、时，函数图象的顶点坐标是( 一，)33B.当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 -2C.当mO时，函数图象经过同一个点D.当m<0时，函数在x>1时，y随x的增大而减小4【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入2m , 1-m, -1-m,求得a, b, c,求得解析式，利用顶点坐标公 式解答即可；B、令函数值为0,求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出 x的值，进一步验证即可解答.详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为2m , 1-m, - 1 - m；A、当 m= 3

11、时，y= 6x2+4x+2=- 6 (x- - ) 2 + 8 ,顶点坐标是(-,-)；此结论正3333确;B、当 m> 0 时，令 y=0,有 2mx2+ (1 - m) x+ ( - 1 - m) =0,解得：xi=1, X2=212m|x2-xi|= 3 + > 3,所以当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 3,此结2 2m 22论正确；C、当 x=1 时，y=2mx2+ (1-m) x+ (- 1-m) =2m+ (1-m) + ( - 1-m) =0 即对任意m,函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当 m=0时，函数图象都经过同一个点(1, 0),当mO时

12、，函数图象经过同一个点(1,0),故当mO时，函数图象经过 x轴上一 个定点此结论正确.D、当m<0时，y=2mx2+ (1-m) x+ (- 1-m)是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=m，在对称轴的右边 y随x的增大而减小.因为当 m<0时， 4mm 11111, , 一. 一，1 旦11,即对称轴在x=右边，因此函数在 x=右边先递增到对称轴位置，4m44m444再递减，此结论错误；根据上面的分析， 都是正确的，是错误的.故选D.点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐 标特征.8.抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n

13、的图象如图所示，下列判断中：abc<0；1a+b+c>0;5 a-c=0;当xv.,或x>6时，y1>y2,其中正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a 0, b 0, c 0,则abc 0,则正确；根据图形可得：当 x=1时函数值为零，则 a+b+c=0,则错误；根据函数对称轴可得：-2-=3,贝U b=-6a,根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0, -5a+c=0,贝U 5a-2ac=0,则正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得正确.点睛：本题主要考查的就是函

14、数图像与系数之间的关系，属于中等题目，如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与 x轴交于正半轴，则 c大于零，如果函数与 x轴交于负半轴，则 c小于零；对于出现 a+b+c、a- b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个 函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论9.若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点 M叫做 整点”.例如:P （1 , 0）、Q （2, - 2）都是 整

15、点”.抛物线 y=mx2-4mx+4m-2 （m>0）与 x 轴交于 点A、B两点，若该抛物线在 A、B之间的部分与线段 AB所围成的区域（包括边界）恰有 七个整点，则 m的取值范围是（）A <m< 1B < m< 1C. 1< m<2D. 1vmv222【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】y= mx2 - 4mx+4m - 2= m （x 2） 22 且 m>0,该抛物线开口向上，顶点坐标为（2, - 2）,对称轴是直线 x= 2.由此可知点（2, 0）、点（2, - 1）、顶点（2, - 2）符合题意.当该抛物

16、线经过点（1, - 1）和（3, - 1）时（如答案图1）,这两个点符合题意.将（1, - 1）代入 y= mx2- 4mx+4m - 2 得到-1 = m - 4m +4m - 2,解得 m= 1.此时抛物线解析式为 y= x2 - 4x+2.由 y=0 得 x2-4x+2=0.解得 x1 2 1 0.6, x2 2 巧 3.4. 2，x轴上的点（1,0）、（ 2, 0）、（3, 0）符合题意.则当 m = 1 时，恰好有（1,0）、（2,0）、（3,0）、（1, 1）、（3, 1）、 （2, -1）、（2, - 2）这7个整点符合题意. .m<l.【注：m的值越大，抛物线的开口越小，

17、m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1 （m = 1时）答案图2 （ m=工时）2当该抛物线经过点（0, 0）和点（4, 0）时（如答案图2）,这两个点符合题意.此时x轴上的点（1, 0）、（2, 0）、（3, 0）也符合题意.将（0, 0）代入 y= mx10.小明从如图所本的二次函数y ax bx c的图象中，观祭得出了下面五条信息:c>0,abcv 0,a-b+c>0,b2 >4ac,2 a=- 2b,其中正确结论是- 4mx+4m - 2 得到 0= 0- 4m+0- 2.解得 m =.2一，,1c此时抛物线解析式为 y= -x2-2x.，.一13当 x=1时，得y-

18、1 2 1322.一13当 x=3时，得y9 2 322综上可知：当m =时，点（0, 0）、2（1, 1）、 （ 3, 1）、 （2, -2）21 .，点（1, - 1）符合题意.1.，点（3, - 1）符合题意.（1,0）、 （ 2, 0） 、 （ 3, 0） 、 （ 4, 0）、（2, - 1）都符合题意，共有 9个整点符合题1m m =一不符合题.2.m> 1 .21综合 可得：当一vmwi时，该函数的图象与 x轴所围成的区域（含边界）内有七个2整点，故选：B.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关Iri 1A.B.C.D.【答案】

19、C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与 y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】由抛物线交y轴于负半轴，则c<。，故错误；由抛物线的开口方向向上可推出a>0;对称轴在y轴右侧，对称轴为 x= >0,2a又 a>0,/. b<0；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，c<0,故abc>0,故错误；结合图象得出x=-1时，对应y的值在x轴上方，故y>0,即a-b+c>0 ,故正确；由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2- 4ac>0,故 正确；_b 1由图象

20、可知：对称轴为 x= 2a 2则2a=-2b ,故正确；故正确的有：.故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件.11 .抛物线y=4+bx+c上部分点的横坐标 x、纵坐标y的对应值如下表所示:x2-1012y04664从上表可知，下列说法错误的是A.抛物线与x轴的一个交点坐标为(N, 0) B,抛物线与y轴的交点坐标为(0, 6)C.抛物线的对称轴是直线x=0D,抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当 x=-2 时，y=0,，抛物线过(-2, 0),，抛物线与x轴的一个

21、交点坐标为(-2, 0),故A正确；当 x=0 时，y=6,，抛物线与y轴的交点坐标为(0, 6),故B正确；当 x=0 和 x=1 时，y=6,对称轴为x=1 ,故C错误；2当xv工时，y随x的增大而增大，2，抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C.12 .已知抛物线W:y x2 4x c,其顶点为A,与y轴交于点B,将抛物线W绕原点 旋转180得到抛物线 W',点A, B的对应点分别为 A',B',若四边形 ABA'B'为矩形，则 c的值为()A.3B. 73C. 3D. 5222【答案】D【解析】【分析】先求出A(2, c-4), B(0

22、, c), A'( 2,4 c) B'(0, c),结合矩形的性质，列出关于c的方程，即可求解.【详解】 抛物线 W : y x2 4x c ,其顶点为 A ,与丫轴交于点B , A(2, c-4), B(0, c), 将抛物线 W绕原点旋转180得到抛物线 W',点A,B的对应点分别为 A',B',A1( 2,4 c),B'(0, c), 四边形 ABA'B'为矩形，AA' BB',22252 ( 2) (c 4) (4 c) (2 c),解得：c -.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的

23、性质，掌握二次函数图象上点的坐标特 征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键.13,已知二次函数y (x h)2 (h为常数)，当自变量x的值满足2 x 5时，与其对应的 函数值y的最大值为-1,则h的值为()A. 3 或 6B. 1 或 6C. 1 或 3D. 4 或 6【答案】B【解析】分析：分h<2、2Whw和h>5三种情况考虑：当 hv2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2Whw时，由此时函数的最大值为 0与题意 不符，可得出该情况不存在；当 h>5时，根据二次函数的性质可得出关于 h的一元二次 方程，

24、解之即可得出结论.综上即可得出结论.详解：如图，fw当 h<2 时，有-(2-h) 2=-1,解得：=1, h2=3 (舍去)；当2Whw时，y=- (x-h) 2的最大值为0,不符合题意；当 h>5 时，有-(5-h) 2=-1,解得：h3=4 (舍去)，h4=6.综上所述：h的值为1或6.故选B.点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h<2、2Whw和h>5三种情 况求出h值是解题的关键.14.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+ (a+c) x+c 与一次函数 y=【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点

25、，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结 论.【详解】令 ax2+( a+© x+c=ax+c,解得，Xi=0, X2=,a一二次函数 y=ax2+ (a+c) x+c 与一次函数 y=ax+c 的交点为(0, c),(-,。)，a选项A中二次函数y=ax2+ (a+c) x+c中a>0, cv0,而一次函数 故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+ (a+c) x+c中a>0, 两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项 选项C中二次函数y=ax2+(a+c) x+c中a<0,cv 0,而一次函数B不符题意，c>0,而一次函数y=ax+c 中 av 0

26、, c>0,y=ax+c中 a>0, c<0,y=ax+c中 av 0, c>0,交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意,y=ax+c中 a> 0, c<0,选项D中二次函数y=ax2+ (a+c) x+c中a<0, c>0,而一次函数故选项C不符题意，故选：D.【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答.,一 2-2 ,15 .在函数y -，y=x+3, y = x的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点 x的图象共有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】

27、根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解.【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函皿 2数y 符合条件. x故选：B.【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.16 .如图1,在 "BC中，/ B= 90°, /C= 30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以 恒定的速度移动，动点 Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C,设4BPQ的面积为y (cm2) .运动时间为x ( s) , y与x之间关系如图2所示，当点P【答案】C【解析】【分析】

28、D. 4、3点P、Q的速度比为3: J3,根据x= 2, y=6，3,确定P、Q运动的速度，即可求解. 【详解】解：设 AB= a, / C= 30°,则 AC= 2a, BC= J3a,设P、Q同时到达的时间为 T,则点P的速度为3a，点Q的速度为 运,故点P、Q的速度比为3： B TT故设点P、Q的速度分别为：3v、岛,由图2知，当x=2时，y=6j3,此时点P到达点A的位置，即AB= 2XV=6v,BQ=2x6v= 2上v,y= 1 ABXBQ= - 6vX2V3v= 6向，解得：v=1, 22故点P、Q的速度分别为：3, J3 , AB= 6v= 6= a,贝U AC= 12

29、, BC= 6 后, 如图当点P在AC的中点时，PC= 6,此时点P运动的距离为 AB+AP= 12,需要的时间为12+3= 4, 贝 U BQ=4 x=4 也,CQ= BC- BQ=673 - 4& =2也， 过点P作PHLBC于点H,PC= 6,贝U PH= PQinC= 6x1 = 3,同理 CH= 3疾,贝U HQ= CH CQ= 373 - 273 =BPQ= ,PH2 HQ2 =百7=2眄,故选：C.【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.17 .如图，抛物线y=ax2+bx+c (aw。与x轴交于(-1,0),

30、(3, 0)两点，则下列说法： abcv0； a-b+c=0；2 a+b=0；2 a+c>0；若 A (xi, yi), B (x2, y2), C (x3, y3)为抛物线上三点，且 -1vxivx2<1, x3>3,则y2yiy3,其中正确的结论是B.C.D.【答案】D【解析】【分析】abcv0,由图象知c< 0, a、b异号，所以， 错误；a -b+c=0,当x=-1时，y=a-b+c=0,正确；2a+b=0 ,函数对称轴 x=- =1,故正确；2a+c>0,由、知：2a3a+c=0,而-a<0,，2a+cv 0,故错误； 若 A (x1，y1), B

31、(x2,y2), C(x3,y3)为抛物线上三点，且-1<x1<x2<1, x3>3,则y2vy1y3,把A、B C坐标大致在图上标出， 可知正确.【详解】解：abc0,由图象知cv 0, a、b异号，所以，错误；a -b+c=0,当 x=-1 时，y=a-b+c=0,正确；2a+b=0 ,函数对称轴 x=-上-=1,故正确；2a 2a+c>0,由、知：3a+c=0,而-a<0,，2a+cv 0,故错误；若 A (xi, yi) , B (x2, y2), C (x3, y3)为抛物线上三点，且 -1vxivx2<1, x3>3, 则y2yivy

32、3,把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；故选D.【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±l等特殊点y的值.18.已知二次函数y=a (x-h) 2+k的图象如图所示，直线 y= ax+hk的图象经第几象限( )A. 一、二、三B. 一、二、四C. 一、三、四D.二、三、四【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质可得a<0, h<0, k>0,以此判断一次函数的图象所经过的象限即可.【详解】解：由函数图象可知，y=a (xh) 2+k 中的 a<0, h< 0, k>0,，直线 y=ax+hk 中的 a<0, hkv0,直线y= ax+hk经过第二、三、四象限，故选：D.【点睛】本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关 键.19.如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c (awQ的图象经过点(-1, 2),且与x轴交点的横 坐标分别为x1、x2,其中-2vx1<- 1, 0vx2<1.下列结论：4a - 2b