2015年高考试题：正弦定理和余弦定理

1、实用标准文案 文档 温馨提示: 此题库为 WordWord 版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，关闭 WordWord 文档返回原板块。 考点 16 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1. （2015 广东高考文科T5）设厶 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 点,cosA=,且 bc,贝 U b=（ ） A. B.2 C.2 D.3 【解题指南】 直接利用 a2=b2+c2-2bccosA 即可求得 b 的值. 【解析】选 B 由余弦定理得：ab2 c2 -2bccosZ ,所以22 =b2 2.3 -2 b 2、3 于,

2、即 b2 -6b *8=0，解得：b = 2 或 b = 4，因为 b c，所以 b = 2 . 二、填空题 2. （2015 广东高考理科T11）设厶 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a =sinB= ,C=,贝 U b = _ 【解题指南】 可先求出角 B 的大小，再利用正弦定理求解. 【解析】 因为sinB且 B 0,二，所以B 或B二土，又C ，所以B二， 2 6 6 6 6 A -二- B-C 二，又a = ； 3，由正弦定理得一- -即一二一b解得b = 1. 3 sin A sin B . 2 兀 sin sin 3 6 答案：1 sin 2 A 3.

3、(2015 北京高考理科 T12)在厶 ABC 中,a=4,b=5,c=6,贝 U = _ sin C 【解题指南】利用二倍角公式展开 sin2A,再利用正、余弦定理角化边 实用标准文案 文档 【解sin2A _ 2sin AcosA 2a b2 c2 2 a 2bc sinC sinC a(b2 c2 _ a2) bc2 实用标准文案 文档 2 2 2 4 （5 6 -4 ）, = 2 1 . 5 6 答案：1 4 .（2015 天津高考理科T13）在厶 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 ABC的面 I 积为 3彳毗,b-c=2,cosA=-,则 a的值为 _ .

4、【解析】 因为 025 64 -2 5 8 1 =49,所以 BC=7. 2 答案：7 6.（2015 福建高考文科 T14）若厶 ABC 中,AC= ,A=45 ,C=75 ,贝 U BC= _ 【解题指南】利用正弦定理解答此题. 【解析】因为 A=45 ,C=75 ,所以 B=60 ,由正弦定理可知 AC = BC sin B sin A sin 45 sin 60 BC 实用标准文案 文档 答案： 7. （2015 北京高考文科 T11）在厶 ABC 中,a=3,b= 6 , / A=,则/ B= 3 【解题指南】 利用正弦定理求解，注意角 B 的范围.实用标准文案 文档 【解析】 由正

5、弦定理得 sin 2 6 sin B 所以sin B 2.因为 B (0,二),所以 B=- 2 3 4 答案：- 4 8 (2015 安徽高考文科T12)在“AC中，AB仝6 , A = 75 , B =45 ,则AC工 【解题指南】根据正弦定理解三角形 【解析】由正弦定理可知: 答案：2 AB AC 76 sin18O0 _(750 - 450) _sin 45 sin 600 AC 0 sin 45 AC =2 三、解答题 I 9.（2015 浙江高考文科T16）在厶 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 tan（ -+A）=2. 4 （1）求 一的值. I 若 B

6、= ,a=3,求厶 ABC的面积. 4 【解题指南】（1）利用两角和与差的正切公式 ，得到 tan A的值，利用同角三角函数基本关系式 ,两边一夹角的面积公式计算得到三角形 _ 2 5 * 得到结论 的面积 【解析】 所以 ;(2) (1) 利用正弦定理得到边 b 的值，根据三角形 打 I 由 tan( +A)=2 得 tan A=, 4 1 sin 2A 2sin A cos A 2 2 sin2A cos A 2sin A cos A cos A 2ta n A 2ta nA 1 1 i0 由 tanAr 可得，sinA= 10,cosA二 3.10 10 a=3,4，由正弦定理知， 2襄

7、 又 sin C 二 sin( A B)二 sin AcosB cos A sin B = , 5 所以 SABC =-absinC 二丄 3 3= 9 汽 2 2 5 10.（2015 浙江高考理科 T16）在厶 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 实用标准文案 文档 2 2 2 A= ,b -a = c . 4 ! 求 tan C的值. 若厶ABC的面积为 3,求 b的值. 【解题指南】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间的关系 算公式即可求解 由正弦定理得c=b AD = BD，求AD的长。 【解题指南】根据余弦定理解三角形 【解析】 设 AD=

8、x,由余弦定理得： 角恒等变形即可求解 ；（2）根据条件首先求得 sin B的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计 ,再将式子作三 【解析】（D由b2 -二中c2及正弦定理得 2 2 1 2 2 1 1 2 sin Bsin A 计C，即sin B 千sin C, 2 所以-cos 2B = sin C n 3n 又因为A ，所以B 4 4 所以cos 2B 二 sin Q 二 2 sinC coC 2B = 2 -2C 即 2sin C cosC 二 sin2C，所以 tan C =2 2药 (2)由 tanC=2, C 0,二 得sinC ,cosC =- 5 5 JI 又因为 sin B

9、 -sin A C =sin( C) 4 二 sin cosC cossin C 4 4 10 i 1 因为Aq ,严inA=3 所以 be = 6-, 2，所以 b =3 . 11. ( 2015 安徽高考理科 T16) 兀 A = , AB 在-ABC 中， 4 -6, AC =3、2 ，点 D在BC边上， BC2 =AB2 AC2 -2 AB.AC.cos A= 62 (3、&)2 -2 6 3“ cos 4 =90, 实用标准文案 文档 所以 BC=3P10，在 L ABD 中，设 ZADB =日，贝IJ NADC =180。_日 设 AD=x,则 BD=x,DC=3、10-x,由余弦

10、定理得： 2 2 2 AB = AD BD -2AD.BD.cosv , 2 2 即 36 = 2x -2x COST （i） AC2 二 AD2 DC2 -2AD.DC.cos（18d - 5 即 18 =x2 （3.10 x）2 2x.（3 . 10 x）.cosv （ 2） 由（1） （ 2）解得 x =也0 ,即 AD f10。 12. （2015 四川高考文科T19）.已知A, B,C为L ABC的内角，tan代tanB是关于x的方程 x2 、3px - p 1 =0 （p R）的两实根. （1） 求C的大小； （2） 若 AB =3,AC 、6，求 p 的值. 【解题指南】（1）将

11、三角函数与韦达定理结合，利用正切函数和角公式。 （2）利用正弦定理和正切函数和 角公式。 本题将三角函数与韦达定理结合，考查正切函数和差角公式、解三角形基础知识的运用 .题目较简单，难 度与题型与全国卷相似，体现对考生基础知识的运用能力，运算求解能力，较易拿分 【解析】 （1） tan代tan B是关于x的方程x2 3px - p 1 = 0的两个根可得： tan A tan B - - . 3p， tan A tan B = 1 - p， tan A tanB 所以 tan（A + B7_tanAtanB 二二，贝U A B =120，由三角形内角和为 180o可知， p C =60. （2

12、）在L ABC中，由正弦定理可得， AB AC 2 一 求得 sin B ，则 tan B =1 .又 tan C - 3，由三 sin C sin B 2 角形内角和为 180o及诱导公式可知 tan A = -tan（B C），解得 tan A = 2 . 3，将 tan A, tanB 代入 tan A tan B = - , 2p，解得 p = - 3-1. 实用标准文案 文档 13.（2015 四川高考理科T19）如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 勺四个内角实用标准文案 文档 A 1cosA (1)证明：tan 2 sin A A B C D 若/ A+Z C=180 ,

13、AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan + tan +tan + tan的值 2 2 2 2 【解题指南】(1)利用二倍角公式，分子分母同时展开 利用(1)的结果，再结合余弦定理求解 故原式成立. (2)由(1)知, 又Z A+Z C=180 ,所以Z B+Z D=180 , 所以 sinA=sinC,cosC=-cosA,sinD=sinB,cosD=-cosB, 1 -cosA 1 cos A 1 - cosB 1 cos B sinA sin A si nB si nB 丄丄 sin A sin B BD=A+A5-2AB ADcosZ DAB=36+25-2X 6 X 5co

14、s Z DAB=61-60cosZ DAB, 在三角形 BCD中 ,BD2=BC+CD-2BC DCcosZ BCD=9+16-2X 3X 4cosZ BCD 所以,61-60cos Z DAB=25+24cosZ DAB cos DAB = 3 ,sin DAB 7 2 -.10 7 ，即 sin A 二 2.10 7 【解析】 右边= 2 A 2sin _2_ A A 2sin cos 2 2 .A 叫 A - -tan =左边 A cos 2 丄 A 1 -cos A tan 2 sin A 丄 B 1 -cosB C ,tan , tan 2 sinB 2 1-cosC 丄 D ,ta

15、n sinC 2 1 - cosD si 所以，原式= cosA sinA 1 -cosB si nB 1 -cosC si nC 1 -cos D sin D 在三角形 DAB 中， 实用标准文案 文档 2 2 所以，原式= sin A sin B 14. （2015 新课标全国卷I文科 T18）（12 分）已知 a,b,c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对 边,sin B=2s in Asi n C. （1）若 a=b,求 cos B. 若 B=90 ,且 a=,求厶 ABC 的面积. 2 2 【解题指南】（1）根据正弦定理将 sin B=2sin Asin C 变为 b =2ac,

16、再利用余弦定理求出 cos B.（2）利用勾股定理及 b2=2ac 求出 c,然后确定厶 ABC 的面积. 【解析】（1）因为 sin 2B=2sin Asin C, 由正弦定理得 b2=2ac,因为 a=b, 所以 a=2c. 2 2.2 2 “ 由余弦定理得 c a+cb c c 1 cosB . 2ac 2ac 2a 4 (2)因为 B =90：，所以 a2 c2 = b2，又 b2 二 2ac，所以 a2 c 2ac，即 a = c = . 2，所 1 以 S.ABc J 、2 一2=1 15. (2015 新课标全国卷U理科 T17)(12 分) ABC 中,D 是 BC 上的点,A

17、D 平分/ BAC, ABDS ADC 面积的 2 倍. (1) 求 sint + - (2) 若 AD=1,DC=,求 BD 和 AC 的长. 1 【解题指南】(1)由正弦定理确定一(2)由余弦定理求 BD 和 AC 的长. T 【解析】(1)S ABD= AB ADsin / BAD, r i SAADC= AC ADsin / CAD, 同理sin B 6J0 19 4.10 3 实用标准文案 文档 1 因为 SA ABD=2SA ADC, / BADK CAD 所以 AB=2AC. M I 由正弦定理可得 =. fint A3 2 (2)因为 SA ABD： SA ADC=BD： DC

18、,所以 BD=. 在 ABD 和 ADC 中 ,由余弦定理知, AB=AD+BD-2AD BDcosZ ADB, AGAD+DCAD DCcosZ ADC, 故 AB2+2AC=3AD2+BD+2DC=6. 由(1)知 AB=2AC，所以 AC=1. 16. (2015 新课标全国卷U文科 T17) ABC 中 D 是 BC 边上的点,AD 平分/ BAC,BD=2DC. (1) 求一. 若/ BAC=60 ,求 B. L 山 L 【解题指南】(1)由正弦定理求解 一.(2)结合一,求出 sin C,从而确定/ B 的值. ! - ! 【解析】(1)由正弦定理得一 =BD，一 =_DC ,因为

19、 AD 平分/ BAC,BD=2DC 所以 心;. sin._BAC ：；三 sin CAD 必 E 5C J 二 二一 sir： 33 2 (2) 因为/ C=180 -( / BAC+Z B), / BAC=60 , 所以 sin C=sin( Z BAC+Z B) 电 i =cos B+ sin B. 1 ! 占 由(1)知 2sin B=sin C, 所以 tan B= , Z B=30 . 3 17. (2015 江苏高考 T15)在厶 ABC 中，已知 AB=2,AC=3,A=60 . 实用标准文案 文档 (1) 求 BC 的长. (2) 求 sin2C 的值. 【解题指南】(1)

20、利用余弦定理可求得 BC 的长.(2)先利用正弦定理求出 sinC 的值,再利 用余弦定理求出 cosC 的值，最后由二倍角的正弦公式即可求得 sin2C 的值. 【解析】(1)在厶 ABC 中，由余弦定理可知，BC2= AC2+ AB2-2AC AB - cosA,即 BCf=32+22-2实用标准文案 文档 ,得,3bb2 c2 -1 _2bc-1，所以 be玄一1 2,3，所 2-J3 以 SABC =bcsinA 1 (2 3) 1 =- 3 2 2 2 4 即ABC面积的最大值为 4 19. (2015 山东高考文科T17)(本小题满分 12 分) 在厶 ABC 中,角 A,B,C

21、所对的边分别为 a,b,c.已知cosB 3 ,sin(A B) 6 .求 sin A 和 3 9X 3 X 2 X cos60 ,解得 BC=. 由正弦定理可知，孚 BC,即二 7o,解得 sinC= ;由余弦定理可 si nC si nA si nC si n 60 7 BC2 AC2 -AB2 ( 7)2 32 _22 2 7 得,cosC= = - = . 2BC AC 277x3 7 所以 sin2C=2sinCcosC= 2 M 2=l . 7 7 7 - -TT 18.(2015 山东高考理科T16)(本小题满分 12 分)设f(x)=sin xcosx-cos(x ) 4 求

22、f(x)的单调区间. A 在锐角 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若f( ) =0,a=1,求厶 ABC 面积的最大 2 【解题指南】 先将函数 f(x)化简成一个角的一个三角函数 ，再结合面积公式和基本不等 式求解. 1 【解析】(1) f (x) =sinxcosx-cos2(x ) sin2x- 4 2 1 1 1 1 sin 2x sin 2x = sin 2x . 2 2 2 2 1 cos2(x ) 4 2 令 2k； _2x 2k二，k Z，得 k二 2 2 3 ： 令 2 2x 2k： k Z，得 2 2 _x k：k Z; 4 3 二 4 x k：，k

23、Z . 4 4 所以 f(x)的单调递增区间为 k二， k二(k 4 4 Z)单减区间为亍k K Z). 因为 f () = si nA-丄二 2 2 0,且 ABC为锐角三角形，所以 A厶 6 由 a=1，cosA 二乜2 c_a 2 2bc 实用标准文案 文档 c 的值. 【解题指南】先判断 A+B,再将其看作一个整体，利用两角和与差的三角公式 定理求解. 【解析】 在厶 ABC 中,cosB 3，则sin B 6 . 3 3 因为 sin (A B)二 所以A B为钝角，cos(A B)二-工， 9 3 9 所以 sin A = sin(A B 一 B )= sin(A B ) COB - cosA B )siB 因为 sin C = sin(A - B 2 2 ,sinA ， ac = 2 3 ， 3 22 得 ac 二 sin A c2 二 3 c2 = 2 . 3，所以 c = 1 . si nC J6 20. (2015 陕西高考理科T17)(本小题满分 12 分)AAB C