§3高斯公式与斯托克斯公式PPT课件

1、3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式教学内容：教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分；曲面积分；2.斯托克斯公式；斯托克斯公式；3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。的条件。教学重点：教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型利用高斯公式计算封闭曲面的第二型曲面积分曲面积分教学难点：教学难点：斯托克斯公式斯托克斯公式1 1. .公公式式：设设空空间间区区域域 由由分分片片光光滑滑的的双双侧侧封封闭闭曲曲面面围围成成, ,函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有

2、一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( 一、高一、高 斯斯 公公 式式这里这里 是是 的整个边界曲面的的整个边界曲面的外侧外侧 高斯公式高斯公式xyzo1 2 3 xyD2.几点说明：几点说明：GaussGauss公式的实质公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系上的曲面积分之间的关系.GaussGauss公式中第二型曲公式中第二型曲面积分一定为封闭面，面积分一定为封闭面，若不是封闭面，要添加若不是封闭面，要添加特殊的曲面或平面才能特殊的曲面或平面才能用用G

3、aussGauss公式。公式。与格林公式的异同与格林公式的异同zdxdyydzdxxdydzdxdydzdvzRyQxP3)(利用利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式公式可以得出用曲面积分求体积的公式zRyQxP,zdxdyydzdxxdydzV31体积例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()( 其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. .xozy113dxdydzzy)(由高斯公式：原式203010)sin(rdzzrdrd49例例2：P289习题习题1(

4、1)、（、（2）练习：练习：P289习题习题1（2）、）、P295习题习题1（1）、（）、（2）二、斯托克斯二、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式1.双测曲面双测曲面的侧与边界曲线的侧与边界曲线方向的规定方向的规定n 右手法则右手法则 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 2.2.斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式定定理理 设设 为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向闭闭曲曲线线, , 是是以以 为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面, , 的的正正向向与与 的的侧侧符符合合右右手手规规则则, , 函函数数),(zyxP, ,)

5、,(zyxQ, , ),(zyxR在在包包含含曲曲面面 在在内内的的一一个个空空间间区区域域内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式其中其中的侧与的侧与的方向按右手法则确定的方向按右手法则确定 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz便于记忆形式便于记忆形式3.几点说明：几点说明：StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的表达了有向曲面上的曲面积分曲面积分与其边界曲线与其边界曲线上的上的曲线积分曲线积分之间的关系之间的关系.

6、 .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形当当是是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时 例例 3 3 计算曲线积分计算曲线积分dzxydyzxdxzy)()()2(, , 其中其中 是平面是平面1 zyx被三坐标面所截成的被三坐标面所截成的三角形的整个边界三角形的整个边界, ,它的正向与这个三角形上侧它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则的法向量之间符合右手规则. . 0 xyDxyzn111三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件 设设 为空间区域为空间区域, , 如果如果 内任一闭曲线均内任一闭曲线均可以不经过可以不经过 以外的点而连续地收缩为属于以外的点而连续地收缩为属于 的一点，的一点，则称则称 为空间为空间单连通单连通区域区域, , 否则称为否则称为复连通复连通区域区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域1.空间单连通区域空间单连通区域GG以下四个条件等价：偏导数，则上连续，且有一阶连续在函数为空间单连通区域，若设定理RQPR,5 .222.2.空间曲线积分与路径无关的等价命题空间曲线积分与路径无关的等价命题LRdzQdyPdxLi0上有曲线内任一按段光滑的封闭）对于（与路径无关。，曲线积分内任一按段光滑的曲线对于LRdzQdy