2015年高考四川理科数学试题及答案解析

1、2012015 5年高考四川理科数学试题 及答案解析22015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(理科)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题 5 5 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1 1)【20152015 年四川，理 1 1】设集合A x|(x 1)(x合B x|1 x 3，贝yAUB(3(D)(D)2)0，集B x|1 x 3，贝V(A A )x| 1x|1 x 2【答案】A A【解析】A 选 A A (2) 【20152015 年四川，理 2 2】设i是虚数单位，(A A)i【答案】【解析】(3) 【20152015 年

2、四川，理 3 3】执行如图所示的程序框图, 出S的值是(A A)(D D)2【答案】【解析】)(B B)x| 1 x 1|2 x 3(C(C)ik-1x|1 x 2,B x|1 x 3,AU B x3，故则复数C C.32iiD D易得当k步骤，所以S s吟(B B )3i(D)(D)3ii 2i i，故选 C C (B)(B)2(C)(C)1,2,3,4时时执行的是否，当k 5时就执行是的1，故选 D D (4(4)【20152015 年四川，理 4 4】下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是()34(A A)y cos(2x -)(D D)y sin x cosx【答案】A

3、A【解析】显然对于 A A ,y cos(2 -) sin2x，最小正周期是，符合题意，故选 A A (5) 【20152015 年四川，理 5 5】过双曲线(B(B) )y sin(2x 2)(C(C)y sin 2x cos2x为关于原点对称，且彳1的右焦点且与x轴A，B两点，垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于则|AB|(A A)乎(D D )4 3【答案】D D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y怎，且右焦点(2,0)，则直线x 2与两条渐近线的交点分别为A(2,2j3)，B(2,2冏，I|AB| 4屈，故选 D D (6) 【20152015 年四川，理 6 6】用数字 0 0，

4、1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 组成 没有重复数字的五位数，其中比 4000040000 大的偶数共有()(A A ) 144144 个(C C) 9696 个【答案】B B(B(B) )23(C(C) 6 6( (B B) 120120 个(D(D) 7272 个【解析】这里大于 4000040000 的数可以分两类：1当 5 5 在万位时，个位可以排 0 0、 的一个，十位百位和千位没有限制.有2当 4 4 在万位时，个位可以排 0 0、2 2 两个数中的一2 2、4 4 三个数中C3H 72种；个，十位百位和千位没有限制，.有C2A348种，图象关于原点对称的函数是()56综上所

5、述：总共有 72+48=12072+48=120 种，故选 B B.(7)(7)【20152015 年四川，理 7 7】设四边形ABCD为平行四边形，uiui uuurunr urnrniiu uuiu4若点M,N满足BM 3MC,DN 2NC，贝U AM NM(_ (B B) 1515(D(D) 6 6UlUABuuirAD(A A) 20209 9【答案】C C6,)(C(C)【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B建立直角坐标系，可得到A 0,6,M 3,0,.uuurluuunuuuuur-Ur、上匕厂N 4,2AM 3, 6，NM 1, 2，AM NM 3 1

6、2 9，故选 C C (8 8)【20152015 年四川，理 8 8】设a，b都是不等于 1 1 的正数，则的()(B(B )充分不必要条件“3bJ是l0ga3(A A )充要条件必要不充分条件【答案】B Blogb3(C(C)(D(D )既不充分也不必要条件解析】由已知条件3a3b3可得alog3a log3b 0 一 , 即loga3logsa logsb7lOg.3 logb3”的充分条件.然而取a满足loga3 logb3, 却不满足a b 1. 的不必要条件.综上“a3b3”是 要条件，故选B B.(9 9)【20152015 年四川，理 9 9】如果函数f在区间1,2单调递减，则

7、mn的最大值为(A A )1616(C C) 2525【答案】B Blog3a log3b(D)(D)81logb3.11 33“3a3blogb3aa3a13b时,3”是b贝U loga3 0 logb3,曰 “3疋loga3 logb3”的充分不必8 x 1m 0,n 0(B(B )1818图象关于原点对称的函数是()78【解析】f Xm2 xn8，由于fX单调递减得：二f X0, I m 2 x n 8 0在2,2上恒成立设g x一次函数gx在2,2上为非正数只须在两个端点1金处f 1 0和f 2 0即可即2m 2 n 8OLLLL，22 m 2 n8 0LLLL、,2由得：m12 n.

8、二mnn12n 1n:_n18.mn当且 仅当m 3,n 6时取到最大值18.经验证，m 3,n 6满足条 件和，故选 B B.(10)(10)【20152015 年四川，理 1010】设直线i与抛物线y24x相交于A,B两点，与圆x 52y2r2r 0相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有 4 4 条，则r的取值范围 是( )2cos2小r2rsinsincosm 2 x n 8，则(A)(A)1,32,3【答案】D D【解析】设A(B B)1,4(D(D ) )2,4(C(C)B x2,y2，M 5 r cos , r sin，贝卩2y14x12y24x2两式相减，得：y1y

9、2y1，当直线i的斜率不存在时，显然符合条件的直线i有两条.当直线i的斜率存在时，y24 x,X2可得:cossin?由于M在抛物线的内部, 2r sin 4 5 r cos20 4r cos 20 4212第II卷(共100分)二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题 5 5 分(1111)【20152015 年四川，理 1111】在2x i5的展开式中，含x2的项 的系数是_ 【答案】-40-40【解析】由题意可知X2的系数为：C5222( 1)340.(13(13)【20152015 年四川，理 1313】某食品的保鲜时间y(单位:C)满足函数关系yek,b为常数)若该食品在0C的保鲜

10、时间是 192192 小时，在23C的保鲜时间是 4848 小时，则该食品在33C的保鲜时间是 _小时.【答案】2424正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E,F分别为AB,BC中点，设异面直线EM与AF所成 的角为，则cos的最大值为r sin 2 3,r sinr4r24 2 3 r216 r 4，因此，2 r 4，故选 D D .(12(12)【20152015 年四川，【答案】乎【解析】sin15 sin 75 sin15理 1212】sin15 sin75的值是_cos15、.2s in 15452sin60 2T T -小时)与储藏温度X(单位:(e 2.718L为

11、自然对数的底数，【解Q ek 0+b192L L，k 22 be48 L L L，当x 33时，e33k bx L L L，33ke(14(14)【20152015 年四川，理1414】如图，四边形ABCD和ADPQ均为22k1e4ek12，24.AQ为z轴建立空间BFC【答案】25【解析】以AB为x轴，AD为y轴， 直角坐标系，并设正方形边长为12(15(15)【20152015 年四川，理 1515】已知函数fx 2x,gx x2ax( (其中a R).对于不相等的实数沟,，设m !2十，n弋厂产, 现有如下命题：(1)(1) 对于任意不相等的实数X1，沁，都有m 0；(2)(2) 对于任

12、意a的及任意不相等的实数为，X2，都有n 0；(3)(3) 对于任意的a，存在不相等的实数为，X2，使得m n；对于任意的a，存在不相等的实数为，X2，使得m n. 其中的真命题有 _ (写出所有真命题的序号)错.简得到,而cosmaxuuu,EM1,m,21cosUULTAF1 11 1 rUUUL 1EMULUAF|EM/m 5,令f(m)(2 m)10m2Q5m 255m2252 mT5m5(mQ m 0,2,0,2 )f (m)0f(m)maxf(0) |,从【答案】(1)(1) (4)(4)【解析】 (1)(1)设X1,贝ymf(x1) f(x2)= =2X1X2, 函数y 2X是增

13、函数， 2X1200,所以正确； 设X X2，则X1X20,不妨我们设X11,X22,aa 2色X2X1X2XX1x2X1X222g X1g X2x1ax1迪ax2X2矛盾,X1X2X1则n 6 0,x1x2a所以(3)(3)Tm n，由(1)(2)(1)(2)可得:f X1f X2nX!x22，贝V A 0,0,0 , Ff (m)13，也即f X1，即对于任意的义域范围内存在有两个不相等的实数根f x1h xf X2g X1g X2x 2f x g x 2 x axg X1f X2g X2，令a函数hx在定x?X2.则100051214h x 2xl n22x a,h (x) 2xl n2

14、2x a,显然当a时，h x 0恒 成立，即hx单调递增，最多与 X X 轴有一个交点， 不满足题意，所以错误.(4)(4)同理可得即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有 两个不相等的实数根x,x2，从而hx不是恒为单 调函数.hx 2xIn2 2x a?hx 2xln 222 0恒成立，hx单调递增，又x时，h 0,x时，h0所以hx为先减后增的函数，满足要求，所以正确.解答题：本大题共 6 6 题，共 7575 分.【20152015 年四川，理 1616】(本小题满分 1212 分)设数列an项和S2ana1， . 且a，a21，a3成等差数列.(I)求数列an的通项公式；(n)记数

15、列中的前n项和Tn，求得使|Tn1|柘成立的n的 最小值.解：(丘=2(nan- 1f X g捲g X2f X2x 2x g x 2 x ax,(1616)的前n an2：I)当n 2时有，anS Si12an3 2),数列an是以a为首项, 又由题意得(n N*)an2a22aia3H)由题意得1右an2anTna (2 an 1ad, 则an2an 1(n 2),2 2 为公比的等比数列.2 2a12 a14a1,.Ia1又Q丄丄丄21024 29512最小值为n 10.11(卫T21，则Tn1 -(-2)Tn1成立时，=切，10005121516(17(17)【20152015 年四川，

16、理 1717】(本小题满分 1212 分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐 3 3 名男 生，2 2 名女生，B中学推荐了 3 3 名男生，4 4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平 相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 3 人，女生中随 机抽取 3 3 人组成代表队.(I)求A中学至少有 1 1 名学生入选代表队的概率；(n)某场比赛前， 从代表队的 6 6 名队员中随机抽取 4 4 人参赛，设 X X 表示参赛的男生人数，求 X X 得分 布列和数学期望.I)设事件A表示“A中学至少有 1 1 名学生入选代表队”,Ce5因此X的分布列为:X12313

17、1P555期望为：E(X) 1 1 2 3 3 5 2555(18(18)【20152015 年四川，理 1818】(本小题满分 1212 分)一个正 方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示，在正方体中，设BC的中点为M,GH的中点为解：(可以采用反面求解:P(A) 1n)由题意，知X 1,2,3,1991100 100P(X1)窖C613C3C31P(X 3)17N.(I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说 明理由)；18BDH；（川）求二面角A EG M的余 弦值.解：（I）如下图所示:H所以cos pQM晋,所以cos A EG M cos MLK务2,即二面角的余弦

18、值为22.3（H）证明：直线MN/平面DC1ABFF（H）如答图所示，连接O分别为线段BD,AC相交于点O,BC、BD的中点，MO/CD连接M/GH且MO -CD21GH NH2二四边形QMNH为平行四边形，二OH /MN，又TOH平MN/平面面BDH,（川）连接连接MQ， 由三垂线定理可得EG MQ, 角A EGM的平面角，设正方体棱长为MCP 45,MP 2a，所以tanBDHEG, 过点M作MP AC于点P,过点P作PQ EG于占4八、PQM为4a,则PQBC 4a, MC2a,PQMPQMP V2a 424aA,B,C,D(H )若A+ A * B * C * Dtan tan tan

19、 tan2 2 2 2 *C 180EHCD .AH/INEABFC*POM19（1919）【20152015 年四川，理 1919】（本小题满分 1212 分）如图，为平面四边形ABCD的四个内角.（I）证明：,AB 6,BC 3,CD 4,AD 5, 求7777,7tan220解：（I）证明:A _ .2AAsi n2si n AA 221 cosAtan2 AA A si nAcos 2sin cos 2 2 2(n)vACAtan 2o180,cosC cos 180 Acos A,sinC sin 180C 1 cosA 1 cosC 1 cosA 1 cosA 2 tan2 sin

20、 A sinCsi nAsi nA sin AAsi nA,A C 180,理及A C 180180o同理可得tanB tanD Z22 sin B连接BD，设BD x，在 可得：cosAABCD1tan tan tan tan 2 -2222sinABD和CBD中分别利用余1A sin B弦定sin A即 &5x22 6 5零同理可得，cosC,2 2 234 x2 3 4?丄19，cosB解得x2弓,从而得COSA吨tan a 6価sin B19BCD 1tan tan 2(-222sin A光)sin B2(2 1071、4 106 10319(20(20) 【20152015 年四川，

21、理 2020】（本小题满分 1313 分）如图， 椭圆E: 1的离心率是身，过点P（0,1）的动直线a b27圆相交于A,B两点当直线l平行于x轴时，直线 圆E截得的线段长为2逅（I）球椭圆E的方程；（H）在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点 的定点Q，使得jQA驚恒成立？若存在，求Q的坐标；若不存在，请说明理由.II）由题知椭圆过点匝1.因此可得：1被椭P不同出点解：(e c丄a 2241，解得:a2,bc2.U1a2b2c22122椭圆 E E 的方程为：孑专1.（n）假设存在满足题意的定点Q.当直线i平行于x轴时, 则園胃1，A,B两点关于y轴对称， Q点在y轴上.不妨设Q 0,a,当

22、直线1垂直于XA 0, .2 ,B 0,2,IQAQB轴时，a 2 ZA a 2 PB,解得a 2或a 1（舍去，否则1 21 2是P点）,P点的坐标为0,2.下面我们证明对于一般的直线l：y kx 1,Q0,2Q点就也满足题意.|QA|QB平分线.所以设A,B冷2，贝V y1kx11,y2联立：y2k；21,消去y可得，x 2y 477由韦达定理可得，% 2 kx11k1x1x1kQAkQB2k丄+丄2kX1x?从而，假设成立， 得竺ZA恒成立QB PB恒成立（2121）【20152015 年四川，理_PAPBkQAkQB 由角平分线定理可知，B x?,y2y kx 122 x 2y 4kx

23、21，1 2k2KQA4k1 2k2，1,y22 kx2,kQB7X2x222k 2k 0 x1x2XiXi为X2即存在与点X1X2y轴为AQB的角4kx 20,1 2k2，7，两式相加得，X2X2,即卩kQAkQB,P不同的定点Q，使2121】（本题满分 1414 分）已知函数 ，其中（I）设gx是f x的导函数，讨论4）证明：存在a 0,1，使得f立，且f x 0在区间1,内有唯一解.解：（I ）2 2f x 2 x alnxx 2ax 2a aa 0g xx 0在区间1，内恒成的单调性;x 2 x al nxx22 ax 2 a2a,求导可得，23242ln x 22a2x 2a，x?即g x 2ln x 2空2x 2a a 0,x 0 x22 2a 2 x x a22-2- a 0, x 0，X XX对于多项式X2X a，(1 1 )当1 4a 0，即a 1时，x2x此时，gx 0恒成立，所以(2 2)当0 a 1时， 一元二次方程 根， 设为 2 .那么求根可得：1令gx 0，即x以g x在0,X1，2令gx 0，即X在X1,X2，时单调递减