人教初中数学九第二十七章相似习题含答案

1、1 / 27 人教版初中数学九年级第二十七章 -相似-及习题 -含答案 第二十七章 相似 本章小结 小结 1 本章概述 本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图 形在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩 固和提高在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三 角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题在研究相似三角形的基础上学习位似图 形，知道位似变换是特殊的相似变换 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形 的对应角相等，对应边成比例，面积的

2、比等于相似比的平方了解两个三角形相似的概 念，探索两个三角形相似的条件 【本章难点】 通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实 际问题 【学习本章应注意的问题】 通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边 形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质 解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立 坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标 小结 3 中考透视 图形的相似在中考中主要考查： (1 了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线 段 (2认识相似图形，了解相似多边形

3、的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比 的平方 (3 了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似 解决一些实际问题 (4了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小 相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题 型新颖，如阅读题、开放题、探究题等由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边 形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基 础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系具体考查的知识点有相似三角 形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等 知识网络结构图2

4、 / 27 证明：（1 / EDC = Z BAO,/ C = Z C, CD CE CDECAB , CD =竺 AC CB 解：（2 / AE = 8, OC = 12, AC= 12+4 = 16, CE=12- 4= 8. v. CD _CE 乂 AC CB CD CB = AC CE = 16X 8= 128. 1 连接 0B，在 0BC 中, 0B = - AE= 4, 8v BC v 16. (1求证 (2计算 C, AE = 8, OC= 12, CD CE ； AC CB CD CB 的值，并指出 分析 利用 CDE s CAB，可证明 CB 的取值范围. CD CE AC

5、一 CB 0C=12, 【解题策略】 将证 CD 二星转化为证明 AC CB 专题 2 乘积式或比例式的证明 2 【专题解读】 证明形如 b d 2 CDE sCAB. 3 a 飞 b f的式子，常将其转化为若干个比例 专题总结及应用 一、知识性专题 专题 1 比例线段 【专题解读】 解决有关比例线段的问题时， 常常利用三角形相似来求解. 例1 如图 27-96 所示，A, B, D , 长线相交于点 E 四点在O O 上，AE, / EDC =Z BAO . 3 / 27 式之积来解决.如要证 与=，可设法证 b d 找线段 x便是证题的关键。 例 2 如图 27-97 所示，在等腰三角形

6、BD2 AD3 . 作 DF 丄 CE , FG 丄 AD，求证 FG AG a x ,-二一，然后将两式相乘即可，这里寻 b d ABC 中，过 A 作 AD 丄 BC,过 C 作 CE 丄 AB, 又 4 / 27 DCE，从而易证 AD = DE = CE,于是只需证 BC 二些 即可 AB AC 证明：T7 A: 7 B: 7 C = 1 : 2: 4, 设7 A= x,则7 B = 2x,7 C= 4x 作 CE 平分7 BCA ,交 AB 于 E, 在 AC 边上取一点 D，使 CD = CB,连接 DE , DCE BCE , 7 CDE = 7 B = 2x,7 DEC = 7

7、 BEC=3x, 又7 CDE =7 A+ 7 DEA ,二7 DEA = x,. AD = DE, 又 DE = EC,. AD = CE 在厶 ABC 和厶 ACE 中，7 CAB =7 CAE , 7 ACE = 7 B = 2x,2 分析欲证FG =BD3，可将其分成三个比例式 昱=更,BD y , BD二 x，再将三 AG AD AD x AD AG AD y 式相乘即可不难得知 x就是 CD，而线段 y 在原图中没有，由相似关系可延长 FG 交 AB / DF 丄 EC, BE 丄 EC , DF / BE, / AB = AC , AD 丄 BC, BD = DC , EF =

8、CF 致 / FG / BC,.7 1 = 7 2, Rt FDC 也 Rt EKF , D L 图27 -97 KF = DC,7 3=7 4, 四边形 KFCD 是平行四边形，/ 2=7 5, / EKD =7 3+7 5 =7 4+ 7 2= 90 , DK 丄 AB, DF / AB,.7 BAD = 7 FDG , Rt ADB s Rt DGF , BD =匹 AD GD BD KG / GK / BD , AKGABD，旦=4 AD AG 在厶 ABD 中，7 ADB = 90, DK 丄 AB,.A ADB AKD 又厶 AKD KGDAADB KGD , BD =CD AD

9、KG AB AC 如图 BD3 FG 3 = AD AG 27 98 所示，在 ABC 中，已知7 C=1 : 2 : 4，求证 分析 -一占 BC 原式等价于 BC AB BC AD AB AC BB BC = 1，也就是 D，使 CD = BC,原式就变成 要构造相似三角形，为此作7 ACB AC - BC AC 在 CA ，要证明这个比例式, 的平分线 CE，交 AB 于点 E, 连接 DE，显然有厶 BCE 于 K，则 y 就是 GK，只要证明 BD 就可以了. AD GK 证明：延长 FG 交 AB 于 K，连接 DK , 12 5 / 27 ABC- ACE，： BC 二 Cl，

10、AB AC 由 DE / BC,得 ADE ACB，贝 V D!=竺，再证出 BE = DE，可求 DE . BC AB 解：(1 / DE / BC，/ EDB =Z DBC. / BD 平分/ ABC， 1 1 / DBC =丄/ ABC = - X 80 = 40，./ EDB = 40 2 2 (2 / BD 平分/ ABC，/ ABD = / DBC， / DE / BC， / EDB = / DBC， / EDB = / EBD， BE= DE . / DE / BC，.A ADEACB， DE AE AB -BE AB-DE BC AB AB AB 【解题策略】 将比例式中的 A

11、E 转化为 AB DE，逐步由未知转化为已知，建立关于 DE 的关系式来求解.BC AD AC -CD AC -BC AC， 即- AB AC AC BC AC BC BC AB 一 AC 一 AC AB 旦=1 AC 1 1 1 即丄 丄 . AB AC BC 二、规律方法专题 专题 3 :相似三角形的性质 【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相 等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别 似三角形的基本图形. 例 4 如图 27 99 所不, 在厶 ABC 中，看 DE / BC, AD BD cm，则 BC 的长为 A. C

12、. 8 cm 11 cm 分析 由 DE / BC, B. 12 cm D . 10 cm 可得 ADE ABC，D1 BC AB AD 因为 AD BD 1 .因为 DE =4 cm，所以 BC=12 cm 故选 3 AD 1 DE ,所以 AB 3 BC 例 5 如图 27 100 所示， 在 ABC 中, 80，BD 是/ ABC 的平分线，DE / BC. (1求/ EDB 的度数； 求的长. AB = BC = 12 cm, B. 分析 (1由 DE / BC,得/ EDB = Z DBC = -/ ABC，可求/ 2 EDB. (2 DE 12 12 DE=6 cm (或构造 相

13、图 27 - 99 1 匕，DE = 4 A D S 27 - 100 6 / 27 例 6 如图 27 101 所示，点 D , E 在 BC 上，且 FD / AB, FE / AC ,求证 ABCs FDE . 分析 由已知可证/ FDE =Z B，/ FED = Z C,从而可证厶 ABCs FDE . 证明： FD / AB, FE / AC, / FDE = Z B，/ FED = Z C, ABCFDE . 例 7 BC AC, D 是 AC 的中点，过点 D 作 直线 I，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线 I有条. 分析 如图 27 103 所示，过点 D 作 AB 的

14、平行线，或过点 D 作 DF / BC,或作Z CDH = Z B,或作Z ADG = Z B，故填 4. 专题 5 建模思想 【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解 决问题. 例 9 如图 27 104 所示，小明想用皮尺测量池塘 A, B 间的距离，但 现有皮尺无法直接测量池塘 A, B 间的距离，学习有关的数学知识后， 他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达 A, B 两点的点 O,连接 OA, OB,分别在 OA, OB 上取中点 C, D，连接 CD，并测得 CD = a，由此他知道 A, B 间的距离是（ B . 2a C. a D.

15、3a 1 分析/ D , C 分别为 OB , OA 的中点， CD 是厶 ABO的中位线， CD = - AB, AB = 2 2CD = 2a .故选 D.H 27 - 101 图 27 - 103 图 27 - 104 7 / 27 【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决. 例 10 如图 27- 105 所示，九年级(1班课外活动小组利用标杆测 量学校旗杆的高度，已知标杆高度 CD = 3 m，标杆与旗杆的水平距 离 BD = 15 m,人的眼睛与地面的高度 EF = 1. 6 m，人与标杆 CD 的水平距离 DF = 2 m，求旗杆 AB 的高度. 分析利用相似三

16、角形得比例式，构建线段关系求线段长. 解：因为 CD 丄 FB, AB 丄 FB,所以 CD / AB, EG EH， 所以 CGE s AHE，所以 CG AH 即 CD -EF AH 所以3 一1.6 FD FD BD 2 ，解得 AH = 11. 9, AH 2 15 所以 AB = AH+HB = AH + EF = 11.9+1.6= 13.5(m . 故旗杆 AB的高度为 13. 5 m. 专题 6 转化思想 【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题. 例 11 如图 27- 106 所示，已知 E 为 ABCD 的边 CD 延长线上的 一点，连接 BE 交 A

17、C 于 0 ,交 AD 于 F .求证 BO2= OF OE . 分析 要证BO2=OF 0E,只需证0 0B，而OB, OE, OF在一 OB OE 条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而 A0 0C 由已知可证 ACFsA COB 和厶AOBSA COE，即有 CF CB OB OE 图 27 - 105 H B AC AO，从而得证. CC 证明：在 ABCD 中，AB / CE , AD / BC, AOF sA COB , AOBsA COE, .AO OF AO OC OB，OC OF OB 1 _ 1 OB OE OB2= OF OE. 例 12 在厶 AB

18、C 和厶 DEF 中，AB = 2DE , AC = 2DF , 16,面积是 12,那么 DEF 的周长、面积依次为 ( A. 8, 3 B . 8, 6 C . 4, 3 D . 4, 6 分析 ABC DEF 例 分析 例 分析 CB CE， D，如果 ABC 的周长是 由 AB = 2DE , AC = 2DF，/ A = Z D，得 ABC DEF，且相似比为 2，则 =4，所以SDEF = 12 = 3,A DEF 的周长为16 = &故选 A . 1 4 2 13 已知 ABC 与厶 DEF 相似且面积比为 4: 25,则厶 ABC 与厶 DEF 的相似比为. 利用相似三

19、角形的性质求解故填 2: 5. 14 已知 ABC A B C,且 SA ABC： S A B C = 1 : 2,则 AB: A B =. 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且 SA ABC : SA A B C = 1 : 2，得 AB : A B= 1 : 2 .故填 1： .2 . 2018 中考真题精选 8 / 27 1 ，得到的图形是 2 2. 2018，台湾省，22,5 分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生 上、下学期各社团的人数比例.若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学 期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？ ） 舞蹈社 溜冰社 魔術社

20、 上學期 3 4 5 下學期 4 3 2 A、舞蹈社不变，溜冰社减少 B、舞蹈社不变，溜冰社不变 C、舞蹈社增加，溜冰社减少 D、舞蹈社增加，溜冰社不变 考点：比例的性质。 专题：计算题。 解答：解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下: L 舞蹈社 溜冰社 魔術社 上學期 3 9 12=36 4 12 12=36 5 15 12=36 下學期 4 16 9=36 3 12 9=36 2 8 9=36 舞蹈社增加，溜冰社不变. 故选 D . 点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积. 3. 2018，台湾省，33,5 分）如图，梯形 ABCD 中，AD / BC, E、

21、F 两点分别在 AB、DC 上.若 AE=4 , EB=6 , DF=2 , FC=3,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 相似，则 AD 与 BC 的长 度比为何？ ） A D 题 3 图 相似图形 根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析， 1 考点： 分析： 排除错误答案. 1 . ; 2 D 的长缩小、而宽没变.故选 A . 即图形的形状相同，但大小不一定相同 解：图中的箭头要缩小到原来的 1 ,箭头的长、宽都要缩小到原来的 2 选项 B 箭头大小不变；选项 C 箭头扩大；选项 点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形， 的变换是相似变换. 解答: 1. 2018 广东, 3,

22、3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 分析：若甲：乙：丙=a： b: c,则甲占全部的 .，乙占全部的 ti+h+ 丙占全部的 9 / 27 A、1 : 2 B、2 : 3 C、 2: 5 D、 4: 9 考点：相似多边形的性质。 分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解. 解答：解：梯形 AEFD s梯形 EBCF，且 DF: FC=2: 3 AD : EF=EF: BC=2 : 3? AD : EF: BC=4: 6: 9 AD : BC=4 : 9. 故选 D . 点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键. 4. A. 48cm B . 54cm C . 56c

23、m D . 64cm 考点：相似多边形的性质。 分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的 平方计算即可. 解答：解：两个相似多边形的面积比是 9: 16，面积比是周长比的平方，则大多边形 与小多边形的相似比是 4: 3.相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为 X 4 X,则有一=，解得： x=48.大多边形的周长为 48cm.故选 A . 点评：本题考查相似多边形的性质.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比, 而面积之比等于相似比的平方. 2018 福建莆田，25, 14 分）已知菱形 ABCD 的边长为 1,Z ADC=60 o，等边 AE

24、F 两 边分别交 DC、CB 于点 E、F。 1） 4 分）特殊发现：如图 1,若点 E、F 分别是 DC、CB 的中点，求证菱形 ABCD 对角 母 AC、BD的交点 O 即为等边厶 AEF 的外心； 2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动，记等边厶 AEF 的外心为点 P。 4 分）猜想验证：如图 2,猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； 5 分）拓展运用：如图 3,猜想 AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于 1 1 点 M，交边 DC 的延长线于点 N，试判断 是否为定值，若是，请求出该定 DM DN 值；若不是，请说明理由。 考点：相

25、似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的 性质；三角形的外接圆与外心. 分析： 1） 首先分别连接 0E、 OF， 由四边形 ABCD 是菱形， 即可得 AC 丄 BD, BD 平分/ ADC AO=DC=BC，10 / 27 又由 E、F 分别为 DC、CB 中点，即可证得 0E=OF=OA，则可得点 O 即为 AEF 的外心； 2）首先分别连接 PE、FA,过点 P 分别作 PI丄 CD 于 I, PJ 丄 AD 于 J,即可求得/ IPJ 的度数，又由点 P 是等边 AEF 的外心，易证得厶 PIE PJA，可得 PI=PJ，即点 P 在/ ADC 的平分线

26、上，即点 P落在直线 DB 上. 当 AE 丄 DC 时. AEF 面积最小，此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点.连接 BD、AC 交 于点 P,由1）可得点 P 即为 AEF 的外心.由 GBPMDP，即可 为定值 2 . 解答：1）证明：如图 1，分别连接 OE、OF , 四边形 ABCD 是菱形, AC 丄 BD , BD 平分/ ADC . AO=DC=BC , / COD= / COB= / AOD=9O . / ADO= / ADC= X 60 =30 , 又 E、F 分别为 DC、CB 中点， OE= CD , OF= BC, AO= AD , OE=OF =OA, 点 O

27、 即为 AEF 的外心. 2）猜想：外心 P 一定落在直线 DB 上. 证明：如图 2，分别连接 PE、FA,过点 P 分别作 PI丄 CD 于 I, PJ 丄 AD 于 J, / PIE= / PJD=90 , / ADC=60 , -Z IPJ=360 -Z PIE-/ PJD-Z JDI=120 , 点 P 是等边 AEF 的外心， Z EPA=120 , PE=PA, Z IPJ= / EFA, Z IPE= Z JPA, PIE PJA, PI=PJ, 点 P 在Z ADC 的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上. 为定值 2. 当 AE 丄 DC 时. AEF 面积最小， 此时点

28、 E、F 分别为 DC、CB 中点. 连接 BD、AC 交于点 P,由1) 可得点 P 即为 AEF 的外心. 11 / 27 如图 3.设 MN 交 BC 于点 G, 设 DM=x, DN=yxz 0. 徉 O)，贝 U CN=y -1 , / BC / DA , GBPMDP . / BG = DM =x. -CG=1-x / BC / DA , GBPNDM , , , x+y=2xy, - + =2 , 即=2 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性 质等知识此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的 应 2018 甘肃

29、兰州，27, 12 分）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCDAB），将纸片折 叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，分别连 结 AF 和 CE。 1）求证：四边形 AFCE 是菱形； 2）若 AE=10cm , ABF 的面积为 24cm2，求 ABF的周长； 3）在线段 AC 上是否存在一点 P,使得 2AE2=AC AP?若存在，请说明点 P 的位置，并 予以证明；若不存在，请说明理由 . A E 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性 质；翻折变换 折叠冋题）. 分析：1）通过证明厶 AOEC

30、OF，可得四边形 AFCE 是平行四边形；由折叠的性12 / 27 2 2 2 质，可得 AE=EC，即可证明；2）由勾股定理得 AB +FB =100, ABF 的面积为 24cm 可 得，ABXBF=48;变换成完全平方式，即可解答； 3）过点 E 作 AD 的垂线，交 AC 于点 P,通过证明厶 AOEs AEP，即可证明； 解答：1）证明：由题意可知 OA=OC, EF 丄 AO , / AD / BC , / AEO= / CFO , / EAO= / FCO , / AOE COF , / AE=CF , 又 AE / CF, 四边形 AECF 是平行四边形， AC 丄 EF，四边

31、形 AECF 是菱形； 2)v 四边形 AECF 是菱形， AF =AE=10cm , 设 AB=a, BF = b,：A ABF 的面积为 24cm2, .22 、2 a +b =100, ab=48, a+b) =196, a+b=14 或 a+b= - 14不合题意，舍去)， ABF 的周长为 14+10=24cm ； 3)存在， 过点 E 作 AD 的垂线， 交 AC 于点 P,点 P 就是符合条件的点; 证明： / AEP= / AOE=90 / EAO= / EAP, AE AO 2 AOEs AEP , = , AE =AO?AP, 1 2 1 2 四边形 AECF 是菱形， A

32、O= AC,. AE = AC?AP,. 2AE =AC?AP. 点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了 知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力. 2018 湖南益阳,21,12 分）如图是小红设计的钻石形商标， ABC 是边长为 2 的等边三角 形，四边形 ACDE 是等腰梯形，AC / ED，/ EAC=60 AE=1 . 1）证明： ABE CBD ； 2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比 不添加辅助 线，不找全等的相似三角形）； 3）小红发现 AM = MN=NC，请证明此结论； 4）求线段 BD

33、 的长. AP AE 13 / 27 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾 股定理；等腰梯形的性质. 专题：证明题. 分析：1 ）由厶 ABC 是等边三角形，得 AB=BC,/ BAC = / BCA=60 ,由四边形 ACDE 是 等腰梯形，得 AE=CD，/ ACD = Z CAE=60 利用 “AS”判定 ABECBD ； 2）存在.可利用 AB / CD 或 AE / BC 得出相似三角形； AN AB I i 3 ）由2 ）的结论得 = =2 ,即 CN= AC ,同理，得 AM= AC ,可证 CN CD 3 3 AM = MN =

34、NC ； 4）作 DF 丄 BC 交 BC 的延长线于 F,在 Rt CDF 中，由/ CDF=30 CD=AE=1，可求 CF , DF，在 Rt BDF 中，由勾股定理求 BD . 解答：1）证明： ABC 是等边三角形， AB=BC，/ BAC= / BCA=60 . 1 分） 四边形 ACDE 是等腰梯形，/ EAC=60 , AE=CD，/ ACD = Z CAE=60 , / BAC+Z CAE=120 =Z BCA + Z ACD , 即/ BAE=Z BCD . 2 分） 在厶 ABE 和厶 BCD 中，AB=BC ,Z BAE= Z BCD , AE=CD , ABE 也厶

35、CBD . 3 分） 2） 存在.答案不唯一.如 ABNCDN . 证明：TZ BAN=60 = Z DCN , Z ANB= Z DNC , ANBCND . 5 分） 其相似比为： AB = 2 =2 ； 6 分） CD 1 , 中 AN AB 3）由 2 ）得 = =2, CN CD 1 1 -CN=AN=AC, 8 分） 2 3 1 同理 AM - AC, 14 / 27 3 AM=MN=NC . 9 分）15 / 27 / DCF =60 . 10 分） 在 Rt CDF 中，/ CDF=30 , “I 1 -CF = CD=, 2 2 DF= _CD2 CF2 = J2 （：）2

36、=: 1 5 在 Rt BDF 中，T BF=BC+CF=2+ =- 2 2 - BD= . BF2DF2 = , （；）2 （ j）2=、.7 . 12 分） 点评：本题考查了相似三角形全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性 质，勾股定理的运用关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直 角三角形，利用勾股定理解题. 2018?江西，25, 10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进 行了探讨： 定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做 三角形的内接正方形. 结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果： 甲同

37、学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在个、个、个大小不同的内接正方 形. 乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大. 丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. 任务：1）填充甲同学结论中的数据； 2 ）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请 给出证明； 3）请你结合2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明.11 分） DF, 2 16 / 27 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。 分析：1）分别画一下即可得出答案； 2）先判断，再举一个例子；例如：在 Rt ABC 中，/ B=

38、90 3）先判断，再举一个例子：设 ABC 的三条边分别为 a, b, 边上的对应高分别为 ha, hb, hc,内接正方形的边长分别为 Xa, 解答：解：1） 1, 2, 3. 3 分） 2）乙同学的结果不正确. b. 7 分） 3）丙同学的结论正确. 设厶 ABC 的三条边分别为 a, b,c,不妨设 a b c,三条边上的对应高分别为 正方形的边长分别为 X, ,xb, x；. 依题意可得：Xa =ha _Xa a ha ah, bhb * Xa -Xb a +ha b +hb 2S ha，Zh，内接 2S a h, 二aha 同理 a 4 2S 2S( 1 b hb a ha bhb

39、b A b1hb) b 他-a -ha a h- b hb 2S 匚.2S 2S = b -a - a h- b b a 2S 2S j b -a1 - (a ha)(b hb) . ab b -a 41 -理 (a ha)(b hb) . b , Y ha 又T b :：a,ha : b , ba*1 - ： 2S 17 / 27 图 点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质， 举出例子是解此题的关键. 2018 年江西省，25, 10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设 / BAC=e 0v 0 90小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别

40、落在两射线上.活 动一：如图甲所示，从点 A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， A1A2为第 1 根小棒.数学思考：1 ）小棒能无限摆下去吗？答： 能填 能 或 不能” 2）设 AA 1=A1A2=A2A3=1 .0 =22.5 度；若记小棒 A2n-iA2n的长度为 ann为正整数， 如 A 1A2=a1, A3A4=a2,），求出此时 a?, a3的值，并直接写出 环用含 n的式子表 示）.活动二：如图乙所示，从点 A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2为第 1 根小棒，且 A 1A2=AA 1 .数学思考：3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则0= 2 0

41、 0= 3 0 0= 4 0用含0的式子表示）；4）若只能摆放 4 根小棒，求0的范图 围考点： 定理； 专题： 分析： 相似三角形的判定与性质； 等腰直角三角形. 规律型. 1）本题需先根据已知条件/ 18 / 27 解答：解：1 )根据已知条件/ BAC=e OV9 90小棒两端能分别落在两射线上, 小棒冃能继续摆下去.2 )：AIA2=A2A3, A1A2丄A2A3,/ A 2A1A 3=45 / AA2A1+ / 0 =45 Z AA2AI= / 0 / 0 =22.5 AAI=AIA2=A2A3=1 , A1A2丄 A2A3A A2A3= :J , AA3=1+ 二又 A2A3丄 A

42、3A4 A1A2 / A3A4同理；A3A4/ A5A6Z A= Z AA2A1= Z AA4A3= Z AA6A5： AA 3A3A4, AA 5=A 5A6A a2=A 3A 4=AA 3=1+ VTI a3一 AA3+A 3A 5=a2+A 3A5 A3A5= - a3=A5A6=AA 5=a2+】2 a2= G 2 1)2 an= (.2 1)nl3 ) A1A2=AA 1Z A1AA 2= Z AA2A1= 0 Z A2A1A 3= 0=0 + 0 - 01=2 0 同理可得：0=3 0 3=4 5800 ： 4)由题意得： 6: 90 15 19 / 27 3. 如图 27- 10

43、8 所示，在 ABC 中, 12cm2,则厶 ADE 的面积为 （D, E 分别为 AB, AC 的中点，若 ABC 的面积为 B . 7 图 27 - 108 ftj 27 - 109 20 / 27 2 2 2 2 A . 2 cm B . 3 cm C. 4 cm D . 6 cm 4. 厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如 图 27109 所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为 ( A. 1： 4 B . 4: 1 C. 1 : 3 D . 3： 4 5. 如图 27- 110 所示，D 是厶 ABC 的边 AB 上一

44、点，过 D 作 DE / BC 交 AC 于 E,若 AD : DB = 2： 3，贝 U 0ADE： S 四边形 BCED 等于 ( A . 2: 3 B . 4： 9 C . 4; 5 D . 4: 21 6. 如图 27- 111 所示，DE 是厶 ABC 的中位线，F 是 DE 的中点，BF 的延长线交 AC 于点 H，贝 U AH : HE 等于( A . 1 : 1 B. 2: 1 C . 1:、2 D . 3: 2 7. ABC 的三边长分别为 2 , 6 , 2,A A B C的两边长分别为 1和.3，如果 么厶 A B C 的第三边长应为 ( ABCA B C ，那A雄 B.

45、返 C區 D .邑 A . 1:2 B . 2 : 2 C . 1: 4 D . 2: 3 9.如图 27- 113 所示，在 ABCD 中，CE 是/ DCB 的平分线，F 是 AB 的中点，AB = 6, BC= 4,贝 U AE : EF : FB 等于( A . 1: 2: 3 B . 2: 1: 3 C . 3: 2: 1 D . 3: 1 : 2 10 .点 P 是厶 ABC 中 AB 边上的一点，过点 P 作直线(不与直线 AB 重合 截厶 ABC,使截得 的三角形与原三角形相似，则满足这样条件的直线最多有 ( A . 2 条 B . 3 条 C . 4 条 D . 5 条 二、

46、填空题 11 .如图 27- 114 所示，在 ABC 中，DE / BC 交 AB 于 D，交 AC 于 E, 若 AD = 3.2, DB = 2.4, AE= 2.8，贝U AC =. 12 . 一根 2M 长的竹竿直立在操场上，影长为 1.6M，在同一时刻，测得旗 杆的影长为 17 . 6M，则旗杆高 M. 13 .若厶 ABCs A B C, AC = 5, A C = 8,贝 U 0ABC： J B C 14 .已知两个相似多边形的一组对应边长分别为 3 cm 和 4 cm，如果它们的面积和为 50 cm2,则较大多边形的面积为 cm2 . 15 .若一个多边形在图上的面积为 4

47、cm2,比例尺为 1： 1000,则该多边形的实际面积为 m2 . 2 2 3 A A &如图 27- 112 所示，在 ABC 中，DE / BC,且SADE = S四边形BDEC，贝卩 DE : BC 等于 ( 图 2? - 114 21 / 27 16 .已知 ABCDEF，相似比为 3, ABC 的周长为 54 cm，若 DEF 的三边长之比为 2: 3: 4，则 DEF 的最短边长为 cm .22 / 27 25. 如图 27- 122 所示，已知/ ABC =Z CDB = 90, AC= a, BC= b. (1当 BD 与 a, b 之间满足怎样的关系时， ABCs C

48、DB; (2过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 丘，若厶 ABCCDB，试判断四边形 AEDC 是什么四边形. 26. 如图 27- 123 所示，在 ABC 中，AB = 5, BC = 3, AC = 4, PQ / AB,点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上. (1当厶 PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP 的长； 17. 18. 19. 解答题 如图 27- 115 所示，在 ABC 中，AB= 8, AC = 6, 上找一点 E,使得 ADE 与原三角形相似，这样的点 如图 27- 116 所示，已知在矩形 ABCD =1: 2, DE 丄

49、AM 于点 E, 如图 27- 117 所示，在矩形 垂足为 E，求 DE 的长. 中，AB = 5, 点 D 在 AC 上，且 AD = 2，在 AB E 有几个？求出 AE 的长. AD = 20,点 M 分 BC 为 BM : MC 20. 21. 求 DE 的长. ABCD 中， AB = 4, BC= 6, M 是 BC 的中点, DE 丄 AM 如图27- 118所示, 于E,求 CD 的长. 如图 27- 119 所示, CD 的长. BC = 6, BD 丄 AC 于 D, AE 丄 BC 已知 CD 是BD = 5,求 图 27-120 如图 27 120 所示，在 ABC

50、中，DE / BC,且 GADE： S 四边形 BCED = 1： 3,求 AD : 22. DB . 23.在 Rt ABC 中，CD 为斜边上的高，试确定 AC 是哪两条线段的比例中项，用比例式 或等积式写出你的结论，并加以证明. 24.如图 27- 121 所示，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，EF 丄 CE 交 AD 于 F. (1 求证 AEF BCE; (2求证 AE CD AF BE ffi 27 - llfl S 27 - 117 23 / 27 (2当厶 PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长； (3在 AB 上是否存在点 M，使 PQM

51、 为等腰直角三角形？若存在，求出 PQ 的长；若不24 / 27 参考答案 1. C提示：由题意知两个三角形相似，三角形乙中 20 cm 的边可以和三角形甲中的三边任 何一边是对应边，所以符合条件的三角形共有 3 种. ADE =.故选 D. Sa边形 BCED 21 存在，请说明理由. BC = .故选 2 3 . B提示: AD E ABC A =Z A，/ AED = Z B,. ADE ACB , C. DE AE BC AB 6 8 BC 10 D , E 分别为 AB , AC 的中点，. DE / BC,. AED ACB , . SAADE = 3.故选 B. 12 4 4.

52、C提示：由题意得被分割成的 4 个小三角形的面积相等，所以黑色大理石与白色大理石 的面积比为 1 : 3. 5 . D提示： / DE / BC , ADE s ABC , SAADE=AD j = 4 SA ABC = AB 5 _25 6.B提示：T DE 是厶 ABC 的中位线, DE / BC, HFE HBC , EF BC HE HC 25 / 27 HE =-. / AE=EC,. HE =-, AH : HE = 2: 1. EC 3 AE 3 DE 1 2 BC . 2 2 9. B提示：T CE 平分/ DCB,./ DCE = Z BCE .又: DC / AB,./ D

53、CE = Z CEB, / / CEB = Z BCE,. BE = BC= 4,. AE = 2. T AF = 3,. EF = 1,又 BF = 3,. AE: EF : FB = 2: 1: 3. 10. C提示：过点 P 的直线可以分别与 AC, BC 平行，也可以与 AC, BC 不平行. 11. A Cl土曰三 AE AD 2. 8 3. 2 辺 J 疋/J、 “ 一 AC -AB，AC 一 3. 2 2. 4 AC=4. 9 .12 . 22提示: :在同一时刻物高与影长成正比， X 2 X= 22. 13. 25: 64提示: 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 14. 3

54、2提示：设较大多边形的面积为 X cm2，则一=-，二X=32 . 50 _x (3 丿 4 /AEF +Z BEC= 90 ，/ BEC +Z ECB = 90,./ AEF = Z BCE，又/ A=Z B= 90 ,.A AEF BCE . 人 人 AE AF AE AF (2 AEF sA BCE，: ，又 CD=BC ,. BC BE CD BE 25.解: 2 2 (1若厶 ABCsA CDB ,则 虫=匹，. BD , 当 BD 时， ABCsA BC BD a a CDB . 为矩形. (2 TA ABC sA CDB , .Z ACD 90 .又TZ D Z E 90, 四边

55、形 AEDC (1 T SPQC S 四边形 PABQ , SAPQC： SAABC 1 : 2.T PQ / AB , PQCsA 1 到 PQ 的距离为-PQ.设 2 23.解: AC2= AB AD 或 AB AC .证明过程如下./ A+Z ACD 90, / A +Z B AC AD 22 .解：T SAADE : S 四边形 BCED=1 : 3, GADE : SAABC: ABC,： AD : AB = 1: 2,. AD : DB = 1: 1. 1: 4 DE / BC,.A ADEs 28 / 27 、选择题 / PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等， 的周长的一

56、半=6 .又T PQ / AB, CP =CQ CA CB (3存在点 M 使厶 PQM 为等腰直角三角形.如图 PC+CQ= PA+AB+QB = ABC CP 4 ffl 27 - 124 90, PM = PQ 时，/ C = 90 ,A ABC 中 AB 27 124 所示,当/ MPQ = 12 5 边上的高为 设 PM = PQ = x. x PQ / AB , CPQsA CAB， 5 12 一 -x 5 12 5 60 x= 37 PQ =色.当/ 37 =90 ,QP= QM 时，同理可得 PQ=色. 37 如图 27- 125 所示，当/ PMQ = 90, MP = MQ

57、 时，可得点 PQ = x,T PQ/ AB , CPQ sA CAB, 12 1 x 5 2 12 5 ，解得 x= ,即 PQ= 49 49 图 S7 - 125 29 / 27 1 如图所示，在 ABC 中，DE / BC,若 AD = 1 , DB = 2,贝 U 匹的值为（ BC 第 4 翹图题图 第 6 题图 5. 若 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B, C 的一点，过点 P 作直线截厶 ABC，截得的三角 形与原 ABC 相似，满足这样条件的直线共有 （ A . 1 条 B . 2 条 C . 3 条 D . 4 条 6. 如图所示， ABC 中若 DE / BC, EF / AB,则下列比例式正确的是 （2.如图所示， ABC 中 DE / BC,若 AD : DB = 1 : 2,则下列结论中正确的是 DE BC AADE的面积 1 ABC的面积 3 ADE的周长 1 B . ABC的周长 2 人ADE的周长 1 D . MBC的周长 3 3.如图所示，在 ABC 中/ BAC = 90, D 是 BC 中点，AE 丄 AD 交 CB 延长线于 E 点, 则下列结论正确的是（ A . AEDACB B . AEBACD C. BAE ACE D . A