《学案与测评》2011年高考数学总复习 第二单元第四节 函数的奇偶性与周期性精品课件 苏教版

1、第四节第四节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性基础梳理基础梳理1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于意 ,都有 ,则称函数y=f(x)为奇函数;如果对于任意xA,都有 ,则称函数y=f(x)为偶函数.xAf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2. 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 .关于原点对称关于y轴对称3. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足 ,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最

2、小正周期.f(x+T)=f(x)典例分析典例分析题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【例【例1 1】判断下列函数的奇偶性.0).x(xx-0),x(xx(4)f(x) ;-2|2-x|)x-lg(1(3)f(x); 1-xx-1(2)f(x) ;x-1x11)-(x(1)f(x)222222分析 先求函数的定义域,然后判断f(x)与f(-x)之间的关系. 解 (1)由 ,得定义域为 -1,1),关于原点不对称, f(x)为非奇非偶函数. f(x)既是奇函数又是偶函数.0 x-1x1 0f(x)1,x1x1-x0,x-1(2)222f(x),x)x-lg(1-(-x) (-x)-1 l

3、g-f(-x).x)x-lg(1-2-2)-(x-)x-lg(1f(x)(0,1),(-1,0)0-2|2-x|0,x-1 (3)2222222222的定义域为由f(x)为偶函数.(4)当x0,则f(-x)= =f(x)；当x0时,-x0,则f(-x)= -f(x).22()()xxxx 22()()xxxx 综上所述,对任意的x(-,0)(0,+),都有f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).举一反三举一反三1.设函数

4、f(x)在(-,+)内有定义，下列函数： 必为奇函数的是 。（填写序号)( ) ;yf x 2() ;yx f x()yfx ( )()yf xfx解析 设y=g(x)，根据奇偶函数的定义判断, g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).2gxx()fx 2()( );xf xg x 答案 题型二题型二 奇偶性的应用奇偶性的应用【例【例4 4】 定义在R上的函数 (a0)为奇函数，求 的值.4log (4)a24( )log ()4af xxx分析 利用奇函数的定义域求出a.解 方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, 化简得 ， a=4, 2244aalog-

5、x(-x)logxx044224log()04axx 238log4)(alog4414a方法二：f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义，f(0)=0, =0,即 ,解得a=4,4log4a 238log4)(alog44学后反思 方法一是利用“若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对任意x恒成立”，“对任意x恒成立”是解题关键.方法二要注意“f(x)在x=0处有意义”这个条件,这种方法很常用，需要熟练掌握.举一反三举一反三2. 已知函数 是奇函数,又f(1)=2,f(2)3求a,b,c的值.Z)cb,(a,cbx1axf(x)2解析 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx

6、+c),c=0.由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)3,得 ,解得-1a2.又aZ,a=0或a=1.31a14a若a=0,则b= Z,应舍去;若a=1,则b=1Z.a=1,b=1,c=0.21题型三题型三 函数的周期性函数的周期性【例【例3 3】（14分)(2010日照调研)设f(x)是(-,+)上的奇函数,对任意实数x,都有f(x+2)=-f(x),当-1x1时,f(x)= .(1)求证:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;(2)当x 1,5 时,求函数f(x)的解析式.3x分析 通过f(x+2)=-f(x),与-f(x)=f(-x)的转化,来求函数的对称轴与周期，技巧在于通过换

7、元进行转化.求函数f(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化,转化到知道函数解析式的区间上.解 (1)证明：因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x), 所以f(x+2)=f(-x)，2 所以f (x-1)+2 =f -(x-1) ,即f(1+x)=f(1-x) .4 所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴.6(2)因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数8又当-1x1时,f(x)= ;3x当x 1,3 时,x-2 -1,1 ,所以f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)= ;.103x2当x(3,5 时,x-4(-1,1 ,所以f(x)=f(x

8、- 4+4)=f(x-4)= . 12所以当x 1,5 时,f(x)的解析式为3x433-(x-2) ,13 f(x).14(x-4) ,35xx学后反思 函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识间的联系举一反三举一反三3. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是,且当 时，f(x)=sin x,求 的值. 20,x38f解析： 由题意可得233sin)3()32(-)32(-)232()38(fffff易错警示易错警示【例例】判断函数f(x) = x=0 的奇偶性。223,0 xxx2,223,0

9、xxx错解 当x0 时，f(x)= = f(x)是奇函数。2()2()3xx 2(23)( )xxf x 2()2()3xx 2(23)( )xxf x 错误分析 尽管对定义域的每一个x0,f(-x)=-f(x)成立，但当 x=0时，f(0)=20,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 正解 f(x)既不是奇函数也不是偶函数考点演练考点演练10.（2009山东改编）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 求f(2009)的值(1)(2),0f xf xx2log (1),0 x x解析 当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x+1),两式相加得：f(x+

10、1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(2009)=f(6344+5)=f(5)=f(-1)= =12log 211.已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当x0时，f(x)= (a为常数）。求函数f(x)的解析式3xeamin( )f xxye解析： 因为 是增函数，所以当x0时，也是增函数，又因为f(x)是偶函数，所以 =f(0)=3+a又f(x)的最小值是3,故3+a=3，即a=0当x0，所以f(x)=f(-x)=综上，f(x)= 3xe3,0 xex 3,0 xex12.已知函数f(x)= (1)求f(x)的定义域；（2）求证：f(x)是奇函数；（3）判断函数y=f(x)与y=2的图像是否有公共点，并说明理由。 1lg1xx解析： （1）由 ，得-1x1 函数的定义域