全国大学生数学竞赛辅导课件

1、Page 2 一、极限和连续2.lim,2cos2cos2cos2nnnnaa求设3.lim, 1|),1 ()1)(1 (22nnnxaaaaxn求其中设.,)(lim20给定的正整数是其中求极限nneeexenxxxx4.)11 (lim2xxxxe求1.Page 3.)1ln(1 ()1 (lim220 xxexxx求.) !(lim21nnn求.)11(limennnn求5.6.7. 0, 0, 0,)3(lim111cbacbannnnn其中求8.Page 4).1(),lnlnln()lnln(lim0aaxaxaxx求9.10.11.12.)sin(limcos110 xxxx求

2、).2111(limnnnnnn求.sincossinlim222220 xxxxxx求Page 513.15.16.14.1)1tan2(lim613xexxxxx求.cossinlim131dttttxxxx求极限.|sin|02dxxex计算.120等价的无穷大量时与求nnxxPage 62)(1lim )()2(,1)0(1.1710222dxxfxnnxfyyxexydxdynx证明为上述方程的解，若）求解微分方程（Page 7轴上的截距。在处的切线上点是其中求二阶可导，且设函数xxfxPxfyuuxfufxffxfxfyx)(,()(,sin)()(lim, 0)0(, 0)0(,

3、 0)()(.18330 Page 8.lim,)(lim)2(,lim,lim1,.19210pnaaapanaaaaaaannnpnnnnnnnn则，使得如果存在正整数则）若求证：（为有限数，为数列，且设Page 9存在。证明连续可导，在设)(lim,)11ln(1)(11)()1 )(.202xfxxxfxfxfxPage 10 二、一元函数微分学和积分学._, 129ln)(. 222)(dxydffexexyyyyf具有二阶导数且其中确定，由方程设202._)(, 2)(3)()(. 1xfdxxfxxfxf则是连续函数，满足设)., 2 , 1( , 0. 30ndxxeIsnsx

4、n求设Page 11).(123)()(,)1 (43) 1()(2)(. 5221222ttedueytyttdxydttyttxxfytu函数处相切，求在与曲线具有二阶导数，其中确定，且所由参数方程设函数.)()(1| )(|,. 41010cdxxfxfdxxfc都有函数的连续的使得满足求最小实数Page 12.0)()(,)(lim)()()(. 6100处的连续性在并讨论为常数，求且连续，xxgxgAAxxfdxxtfxgxfx).001. 0(50121sin. 72到精确的近似解，求方程xxx.,arctan)1ln(. 8222dxydetyextt求已知Page 13最小。体

5、的体积轴旋转一周而成的旋转图形绕使此，试确定所围成图形的面积为轴及直线又由已知该抛物线与时过原点，当设抛物线Vxcbaxxyxcbxaxy,311, 0,10ln2. 92. 3)(,) 1 , 1(0)0(, 1) 1 (, 0) 1( 1 , 1)(.1000 xfxfffxf使得内至少存在一点求证：在的三阶导数，且上具有连续在闭区间设函数Page 14恰有两实根。在证明：使得存在一点且上具有二阶导数，并且在设函数),(0)(. 0)(, 0)(lim, 0)(lim, 0)(),()(.1000 xfxfxxfxfxfxfxx.tan)cos(sinlim, 2) 1 (, 0) 1 (

6、11)(.11220 xxxxxfffxxxfx求点可导，并已知点附近有定义，且在在设Page 15. 1)()(0)2()(121) 1 (, 1)21(, 0) 1 ()0(1 , 0 1 , 0)(.13ffffffxf）使得，（存在一个；）使得，（存在一个证明：可微，且）内上连续，在（在设函数Page 16. 0)0()3()2()(lim,)0(),0(),0(0)(.1423210321 hfhfkhfkhfkkkkfffxxfh使得数证明：存在唯一一组实均不为零，且导数的某邻域内有二阶连续在设.)11 (.151dxexxIxx求不定积分.)1ln(arctan.162dxxxx

7、求不定积分Page 17. 0)()(,)2 , 2(, 4)0()0(, 1| )(|2 , 2)(.1722 ffffxfxf使得内至少存在一点证明：在又且上二阶可导，在设函数所需费用最少？的直径之比为何值时计方案：即高与上下底试给出最节省的设元的材料费为单位面积元，而侧面位面积上下两底的材料费为单的圆柱体的容器，已知设计一个容积为.18baVPage 18 三、空间解析几何的距离。：直线与：求直线13214200. 121zyxlzyxl).1 , 3, 4(034550232. 221过点，使其中一个平面和互相垂直的平面的两个：求通过直线zyxzyxlPage 19 四、多元微分学和积

8、分学区域。与两坐标轴所围三角形直线是由其中区域计算1,1)1ln()(. 1yxDdxdyyxxyyxD.),1(),(,)(. 3222222ygxgrfyxgyxrtf求有二阶连续导数，设函数切平面方程。的平行于平面曲面02222. 222zyxyxzPage 20.),(2) 1 (.) 1,0(1),1(),(. 4222222222和最小值的最大值向）求其转动惯量关于方（求其转动惯量；旋转绕密度为其中若均匀椭球其中的直线是过原点且方向为设labcczbyaxl.20 , 20| ),(,) 1sgn(. 5yxyxDdxdyxyD其中求Page 21.)(23)(20)(2. 1)2

9、(1.)(2)(. 624242224CLCyxdyxxydxCxyxdyxxydxyxLyxdyxxydxCx曲线，求正向闭是围绕原点的光滑简单）设（；）求函数（；证明：为正向闭曲线）设（的值为常数上，曲线积分任意光滑的简单闭曲线绕原点的具有连续的导数，在围设Page 22.).0()0,)0,(. 7求射线对该质点的引力其中的质点处有一质量为，在点（其线密度为向右的射线，在平面上，有一条从点hmha.2521,0 ,0| ),(. 82sinsinsinsinsinsinLxyxLyLxydxyedyxedxyedyxedxyedyxeDLyxyxD）（；）（的正向边界，试证：为已知平面区

10、域Page 2311222222.)(2.)(, 1)(. 9duucbafIdSczbyaxfIzyxcbaxf求证：曲面积分记第一型是单位球面为常数，连续，且设函数. 0),(, 0,),(.1022zyzxzyxzyxzzbayxueyxuzbyax满足：使和常数确定且已知函数Page 24).()()2(, 1)2()(.113xuudyuxudxyxuxuuL面上与路径无关，求在右半平且连续可微，设).()(.)()(, 0)(.12222222222tFtFdVzyxftFtzyxyxztxf的导数求上半部分，令所围起来的由区域为连续函数，设Page 25.0,)(.1322222

11、22的常数为大于半球面为下其中计算ayxazzyxdxdyazaxdydz.),()(,),(),(),(.142，并求其通解所满足的一阶微分方程求足具有连续偏导数，且满设xxfexyuvvufvufvufxvu.2730272210.15222方程的切平面，求此切平面作曲面过直线zyxzyxzyxPage 26.1., 21 ,.16222间的引力之的质点和求在原点处的质量为为常数其面密度：设曲面zyxz.),(),(. 0, 02),(.182222xyyxfzzxyyffffffffyxfyxxyxyyxyyx数，求所确定的函是由方程且足有二阶连续偏导数，满设函数.|.1722122dx

12、dyyxyxIyx求二重积分Page 27.)0(2.192222所为立体的表面积和求曲面ayxazazyx.)2()2(.),(0),(),(.2022dxzyxzdyyzxzILvuFyzxyxzFyxzzL圆周，试求：为正向单位有连续的偏导数唯一确定，其中由方程设连续可微函数Page 28.)2() 1 ().()0 ,(),0( , 1.212222222值积是否有最大值和最小讨论椭圆薄板的面对于固定的转动惯量，；旋转的转动惯量绕求薄板其中于薄板的旋转轴且垂直为通过椭圆焦点的均质薄板；为面密度为椭圆形设JlDbacclbabyaxDPage 29 五、无穷级数.)(,) 1 ()()()(. 111之和求函数项级数为正整数）且满足：已知xuneunexxuxuxunnnxnnnn.212212. 2121221的和的和函数，并求级数求幂级数nnnnnnxnPage 30.)()., 2 , 1(),(ln, 10),(| )(|),()(. 31110绝对收敛证明：定义实数任取其中且内的可微函数，是在设nnnnnaanafaamxmfxfxf., 0)1(lim2, 0)1(lim1. 4111111111发散则发散，且）若（收敛；则）若（为正项级数，那么：与设nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabbbaaabbaa