高中数学王尚莲椭圆定义及其标准方程Word版

1、高中数学椭圆定义及其标准方程万源市第三中学 王尚莲一、教学目标1使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用。2、掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程及其轨迹。3、掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提高分析问题的能力。4营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。二、教学重点和难点教学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导（通过学生自主建立直角坐标系和

2、对方程的讨论选择突出重点）。教学难点：椭圆概念的形成。通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破难点。三、教学过程设计 （一） 设置情景，导入新课 人造地球卫星 太阳系行星运行轨道 玻璃餐桌 椭圆是由圆压扁得到的吗?让学生观察上面的图片，说说这些图片有什么共同点，得出本节课的主题椭圆。（二）引导探究，获得新知 问题1：我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有系吗？（让学生讨论这个问题，并抽一些同学说说讨论的结果。）为了解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如下图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧

3、，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆我们来看一看椭圆和圆的画法。(找2个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆,之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程)yoFFMx 问题2：这椭圆是怎么画出来的啊？（让学生讨论回答）问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?(可以提问，也可以集体回答.)（1）F1、F2点固定，是定点。 （2）MF1+MF2就是细绳的长度。我们来看,因为 F1、F2、M三个点是构成的是一个三角形所以MF1+MF2大于F1F2的长度.让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定义)椭圆的定义: 平面内到两定点F1、F2的距离之和等

4、于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距. 下面我们来看看, MF1+MF2小于等于F1F2的长度时,M点的轨迹是什么情况呢?(学生思考) 结论：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”(强调MF1+MF2是定长但是大于|F1F2|)（三）深入探索，推导方程接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤:(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;（2）写出适合条件 P（M） ;（3）用坐标表示条件P（M

5、），列出方程 ; （4）化方程为最简形式;第一步，该如何建立坐标系呢？(学生会说出不同的方案，选取下列方案)oFyx2FM 以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。(老师在黑板上画出适当的图，如下图) yoFFMx （方案一） （方案二） 这样建系很合理。建立坐标系后F1、F2的坐标分别是, 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 为了后面化简方便，我们这里把定长定为2a.下面列出方程. 让学生将方程化为最简形式;(一段时间后，投影仪展示化简的过程) 原方程要移项平方、整理得 上式两边平方、

6、整理得，.，因为，所以可化为： 为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要讲。因为，所以令，其中b>0,代入上式，得 （）这说明椭圆上点的坐标满足以上方程，关于证明所得的方程是椭圆方程，可参考课本62页的证明，根据情况也可从略）因此，我们将方程（）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标，其中.那么象方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?（让学生思考）结论：只需要将互换就可以了,应写成同样有.（四）指导应用，鼓励创新例1:已知B,C是2个定点, ,且的周长等于22,求顶点A满足的一个轨迹方程.例2:下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是( )A. 与 B. 与C. 与 D. 与 例3

7、求椭圆16x225y2400的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。分析：将方程化为标准方程即可求解，列表只要在0x5的范围内算出几个点的坐标，画出椭圆在第一象限内的图形然后利用对称性作出整个图形。 解：把已知方程化为标准方程x2/52y2/421，这里a5，b4，所以c3。 因此长轴长2a10,短轴长2b8,离心率ec/a3/5,焦点F1(3,0)和F2(3,0),椭圆的四个顶点是A1(5,0)、A2(5,0)、B1(0,4)、B2(0,4) 将已知方程变形为，根据在0x5的范围内算出几个点的坐标(x,y)：先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆。 x

8、012345y43.93.73.22.40例4求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于20，离心率3/5。分析一：设方程为mx2ny21，将点的坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为x2/,9y2/41。由已知2a20，e3/5，a10，c6，b8，由于焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以椭圆的标准方程为x2/100y2/641或x2/64y2/1001随堂练习1 、在下列方程所表示的曲线中

9、，关于x轴、y轴都对称的是（）DA、x2yB、x22xyy0C、x24y25xD、9x2y242 、 求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标x24y216；2a=8,2b=4,A1(4,0),A2(4,0),B1(0,2),B2(0,2)9x2y2812a=18,2b=6,A1(0,9),A2(0，9),B1(3,0),B2(3,0)3 、在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？9x2y236与x2/16y2/121；x29y236与x2/6y2/101x2/16y2/121；x2/6y2/1014 、已知椭圆mx25y25m的离心率，求m的值。分析：椭圆的标准方程是x2/5y2/m1

10、(m0，m5)当焦点在x轴上，即0m5时，解得m3当焦点在x轴上，即m5时，解得m25/3 5、若椭圆的离心率是1/2，求m的值。m5/4，m5/3 探索嫦娥奔月1、2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道。已知月球半径约3475公里，试求“嫦娥”二号卫星运行的轨迹方程。 2、我们假设地球是个球体,半径是6371千米,而且知道“东方红一号”的近地点：430千米; 远地点：2075千米,你们能建个坐标系,求出“东方红一号”运行轨道的标准方程吗?. （五）小结本堂内容 用表格形式学生结合图形更容易理解定义椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹标准方程（）图形12yoFFMx1oFyx2FM焦点坐标a、b、c之间的