二次函数根的分布

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx0根的分布情况设方程ax bx c =0 a = 0的不等两根为x1,x2且治：x2， 相应的二次函数为 f（x）=ax +bx + c = 0， 方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）：0：0分布情况两个负根即两根都小于0X1 : 0, x2 : 0两个正根即两根都大于0为 0, x2 0一正根一负根即一个根小于 0,一个大于 0 x ： 0 ：x2O大致图象<a得出的结论o OO .O>A-OO：0得出的结论

2、 >0b02af 0 <0-b 02af 0 <0：0：0综合结论不讨论ab2a:02aa f 00a f 0 ： 0：0表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即x,： k, Xo : k两根都大于k即Xik, Xo k一个根小于k，一个大于k即Xi ： k ： Xoa得出的结论A >0b:：k2af k 0得出的结论.=0b :：: k2af k ：0综合结论不讨论aA-A>0I b> k2af k 0b k2af k <0表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 m,n内两根有且仅有一根在 m,n内 （图象有两种情况，只画了一种）一根在

3、 m, n内，另一根在 p,q 内，m ： n ： p . q得出的结论A>0f m 0f n ，0bmn2af m j、0f n ： ： 0 或 f m f n ： 0f P < 0 f P f q < 0f q 0得出的结论i>0f m： 0f n：0bm ： - 一 ：. n2af m ： 0f n O f m f n ： 0 或<f p 0 f P f q ： 0f q : 0综合结论不讨论af m f n ： 0f p f q < 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧 为：m,x2n ,（图形分别如下）需满足的条件

4、是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：1 若fm=O或fn=O,则此时f m|_ f n : 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx?m 2 x 2 = 0在区间2 2 2 21,3上有一根，因为f 1 =0,所以mx2 - m，2x，2 = x-1 mx-2 ，另一根为一，由13得m ： 2即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即几-0，此时由盘-0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间

5、内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2 - 4mx 2m 6 = 0有且15一根在区间 -3,0内，求m的取值范围。分析：由f -3 Lf 0 : 0即14m 15 m 3 : 0得出-3 ： m ： -1423由八=0即16m2 -4 2m 6 =0得出m - -1或m ，当m - -1时，根x - -2E 3,0，即m - -1满足题意；当3315m时，根x =3 - -3,0，故m 不满足题意；综上分析，得出-3 ： m或m二-12214根的分布练习题例仁已知二次方程 2m 1 x22mx m1 =0有一正根和一负根，求实数 m的取值范围。1解：由(2m+1 jjf (0 )v0即 (

6、2m+1m1£ 0从而得一一 cmv1即为所求的范围。2例2、已知方程2x2 - m V x，m=0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。解：由. 2m ： 3 - 2、2或 m3 2、2m 1-8m 0m a T 二m>00 : m : 3 -2、2 或m 3 2 2即为所求的范围。2例3、已知二次函数y = m 2 x - 2m 4 3m 3与x轴有两个交点，一个大于 1, 一个小于1，求实数m的 取值范围。解：由 m 2 |_f 1 ： 0 即 m 2 L 2m 1 ： 0 =-2 m:：-即为所求的范围。22 .例4、已知二次方程 mx亠2m-3 x 4=0只有一个正

7、根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f 0Lf 1: 0 -4 3m 1 : 0 - m ：-1即为所求范围。30,1内，由: - 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大)(注：对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在1. 二次函数及图象交点；当 =0时，y=f(x)X2就是相应一元二次方程 2 2设有一元二次函数y=ax +bx+c(a丰0),判别式 =b -4ac ,当 > 0时y=f(x)与x轴有二当4> 0 时，设 y=f(x)a > 0 > A> 0使 f(x)> 0 的 x 为 x 或 x

8、> x2 使 f?x)< Q 的 x 为 X < x < x2 使 f(x)=0 的 x 为 x=xj 9 或a < 0 f A > 0 使 f(x)> Cl 的 x 为 X < x < x2使 f(l) < 0 为 xj 或 x > X2使f(x)=0的x为或当y = f(或图象与苗由只有一个公共点迪2,其'图像为观察图象不难知道=0,使谑)>0的盘为总M -亠*使住)>0的II为妊0.2盘使f(X)<o的金为埜E 0!使的筈为益# - 2当< 0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察

9、图象不难知道.a> 0时,绝对不等式f(x) >0解为av 0时绝对不等式2讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式(组)(1)应用求根公式；(2)应用根与系数关系；x R.绝对不等式ffxK。解为区E 0*f(x) V 0 解为 x R.的求解问题，其方法有3种:f(x)=0的两根.观察图象不难知道.(3)应用二次函数图象在进行转化时，应保证这种转化的等价性. 就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.2 2 .设f (x) =ax + bx + c (a > 0),方程ax + bx+ x=0的个根为a , 3 ( a < 3 ),

10、m n为常数，且nv m方程根的 分布无外乎两种情况： Q, B分居两区间阮只考虑端騒数值的符号，如口E (-cop n) rI “)Vo,P Em m)f (m)O. a,3同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑o及-8范2aA -b2 -4ac0,l亠广广、- 如：a 艮 (m m) U=> 彳 2aF (m) >0,F (n)0.、好题解给你 预习题 1.设有一元二次函数 y= 2x2-8x+1 .试问，当x 3 , 4时，随x变大，y的值变大还是变小？由此y = f(x)在3 , 4上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y= 2(x-2) 2-7对称轴x =

11、 2,区间3 , 4在对称轴右边, y = f(x)在3 , 4上随 x 变大，y 的值也变大，因此yma>=f(4) = 1. y min = f(3) = -5 .2. 设有一元二次函数 y = 2x2-4ax+2a 2+3 试问，此函数对称轴是什么？当x 3 , 4时，随x变大，y的值是变大还是变小？与 由此，求y= f(x)在3 , 4上的最大值与最小值.解：经配方有y= 2(x-a) +3.对称轴为x=a.当aw 3时，因为区间3 , 4在对称轴的右边，因此，当 当3v a v4时，对称轴x=a在区间3 , 4内，此时，若 大，y的值变大.当4w a时，因为区间3 , 4在对称

12、轴的左边，因此，当a取值有何关系？x 3 , 4时，随x变大，y的值也变大.3< x< a，随x变大，y的值变小，但若 a w x< 4，随x变x 3 , 4时，随x变大，y的值反而变小.2当 3v av 4 时，ymin= f(a) = 3.其中，aw 3.5 时，ymax= f(4) = 2a-16a+35 .222a3.5 时，ymax= f(3) = 2a -12a+21 .当 a4 时，ymax= f(3) = 2a -12a+21 . ymin = f(4) = 2a -16a+35 .2(1) (2)基础题 例1.设有一元二次方程 x +2(m-1)x+(m+2

13、) = 0 .试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根.m为何值时，有一根大于1、另一根小于1 .(3)m为何值时，有两正根.(4)m为何值时，有两负根.m为何值时，仅有一根在1 , 4内？解：(1)设方程一正根X2, 负根X1,显然X1、X2< 0，依违达定理有 m+2v 0. m v -2 . 反思回顾：X1、X2v 0条件下，ac v 0,因此能保证> 0. 设 X1 v 1 , X2> 1，贝y X1-1 v 0 , X2-1 > 0 只要求(X 仁 1)(x 2-1) v 0,即 X1X2-(X 1+X2)+1 v 0.解得- !-依韦达定理有 (m+2)+2

14、(m-1)+1 v 0.匚4(m-l)2 -4(m + 2)>0, -2(m-l)>0, m + 2CLXj +衍0,二-：依韦达定理有 若X1 > 0, X2> 0，贝U X1+X2>0且X1, X2> 0,故应满足条件 仏0,解得rA>0,(4)设叫<0, x2<0,则1勒>0,+x2<0故，应满足焜声2°，xL + x2>0.9+6(m-1)+(m+2) 16+8(m-1)+(m+2)< 0.(7m+1)(9m+10) < 0.例2.当m为何值时，方程 解：负数根首先是实数根， 两根之积为正.由

15、以上分析，有97_：二一匚1 -有两个负数根？.2- II，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负, = (4呦2 _4x2x(知T) > 0 一加 <0a 2c 3酬_、小=> 0a 2%.2>0潮已側1一潮或牌> 1).当时，原方程有两个负数根.(3)应用题例1. m取何实数值时，关于 x的方程x2+ ( m-2) x+ 5-m=0的两个实根都大于 2? 解：设f (x) =x2+ ( m-2) x+5-m,如图原方程两个实根都大于2m2 -160,m = 2->2,解得-5<m< -4.f >0,的充要条件是所

16、以当-5 v m< -4时，方程的两个实根大于2.2例2 .已知关于x方程：x-2ax + a = 0有两个实根a , 3，且满足0v a v 1, 3 > 2,求实根a的取值范围. 解：设f (x) =x2-2ax + a,则方程f (x) =0的两个根a , 3就是抛物线y=f (x)与x轴的两个交点的横坐标，如 图0 v a v 1, 3 > 2的条件是：4-3a<0.4"：''',_， ' '"'1"< 1, B >2.x的方程x2+ ( m-2) x + 5-m=0的一个

17、实根大于 2,另一个实根小于 2.2，另一个实根小于 2的充要条件是f (2)< 0, 另一个实根小于 2.例1.已知函数- ：；的图象都在x轴上方，求实数 解：(1)当:'涉；，则所给函数为二次函数，图象满足：加 +44-50k的取值范围.(上十为(七一1) >0(*-l)(fr-19)< 0解得：1(2)当 > ：-一-：时，1：=若：.,则"一-的图象不可能都在 x轴上方，：冬若'；-!,则y=3的图象都在x轴上方 由(1) (2)得： l<i<19 反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论.例2.已知关于x

18、的方程(m-1)< 1 < B ,求实数m的取值范围.2 2解：设 f(x)=x -2mx+m + m-6,(x )与x轴的两个交点的横坐标.如图，0< a < 1 < B的条件是A< 0，即x2-2mx+ ni+m-6=0有两个实根a , B ,且满足则方程f (x) =0的两个根a , B ,就是抛物线(O) >0, f (1) <0,即l-a<0,f(2)<0,L解得W 所以当时，方程的两个实根J队满足0<a例3. m为何实数时，关于解：设f (x) =x2+( m-2) x + 5-m，如图，原方程一个实根大于即4 +

19、2 (m-2)+ 5-mv 0.解得m< -5 .所以当m< -5时，方程的一个实根大于 2,m .或 F(0)<0, j(i) 5解得2<血<打或3<m< 显x的方程3x2-5x + a=0的有两个实根a , B，满足条件a ( -2 , 0), B ( 1, 3)，求实数a的<0,<0,解得-12 < a< 0.1.已知方程(m1)x 2+3x- 1=0的两根都是正数，则-< < 1 - - < < 1 B.丨C.I四、课后演武场-< W < 1Am -10. f(0)>0, f (

20、1) <0例3已知关于取值范围.解：设f (x)=3x2-5x + a,由图象特征可知方程f(x)=0的两根a , B ,并且a ( -2 ,0),B ( 1 ,3)的C-2) >0,条件:f 3)f (i)f( 3)m的取值范围是(B )m < -或牌>1D.42 2 .2. 方程x+(m-1) x+(m2)=0的一个根比1大，另一个根比A0vmv2B.-3 vmv 1C.-2 vmv 03. 已知方程' - - 1有两个不相等的实数根，则( n* 13lkk<B.C.4.( 1?上|-1<七<0或。<无< 35.最大最小值-1D

21、.小，贝U m的取值范围是(-1 v m< 1k的取值范围是(Cn卜311 亠 1 2上1-<怎<0或。<七<“3已知关于X的方程3x2+( m-5)X + 7=0的一个根大于4，而另一个根小于 4,求实数35 ,提莎 令f(x)二3x"+ (m-5)x+7,由图象特征可知方程f (x) =0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：已知关于x的方程x2+ 2mx+ 2m+ 3=0的两个不等实根都在区间(35_(-1P 提可J 令f肆)=盟空十+2m+3,征可知方程f (x) =0的两根都在(0, 2 )内的充要条件是f (0) >0, f(2)&g

22、t;0,)L0< -m<22、二次函数在闭区间m,n 1上的最大、D.f (4)v 0)0, 2)内，求实数由图象特m的取值范围.m的取值范围.最小值问题探讨设f X = ax2 bx 0 a 0 ,则二次函数在闭区间 m,n上的最大、最小值有如下的分布情况:bm : n ： 一2ay j X 1 = <3兀'+ 必兀 + c = 0 '(3 >0 11m n即2ab2am,nlb m ： n2a/'?r i =朋 +bx-he = 0> 0 »f X max 二 maxf n , f m jb、-II 2a丿i = dx2 +&

23、#163;?片 + 卫=0 i(a > 0"对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:(1)若-2am, n ,贝y f (x hax = max,f(n)>, f(xhin =minf(m)fb J匕a""；(2)若一 'm,n则 f X max 二 max If m , f n，f x min 二 mi n、f m , f n 匚 2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 对称轴轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题5和最小值2，求a,b的值。3a b 2 = 5 一 |a=12 b=2b=0f b，2 = 51a = -13ab2 = 2|b = 3fxmax=f3fxmin=f2fxmax=f2fxmin=f31111当a(3)f X min-2时，=f i 4 aV 2x +xa+1 x兰a.< 2，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线x2 x a 1, x ： a1 1各代表一种情况。例 1函数f x=ax2