图形与几何变形[1]

1、 图形与几何图形与几何优秀优秀试题的分析与试题的分析与变形变形 平邑县教研室祝福胜平邑县教研室祝福胜 2014年年12月月 数学题目浩如烟海，面对书山题海数学题目浩如烟海，面对书山题海我们数学教师应该采取怎样的教学策略？我们数学教师应该采取怎样的教学策略？ “熟熟”真的能生真的能生“巧巧”吗？吗？变式教学变式教学-打开学生思维大门的金钥匙打开学生思维大门的金钥匙 一、借助教材典型例习题一题多变一、借助教材典型例习题一题多变 中考题哪里来？中考题哪里来？课本例题或习题课本例题或习题中考题中考题如何去解？如何去解？化归化归来来源源拓展引申、类比迁移、图形变换拓展引申、类比迁移、图形变换 教材中典型

2、的例、习题，具有一定的代表性和教材中典型的例、习题，具有一定的代表性和典型性，是数学问题的精华，教师在平时教学典型性，是数学问题的精华，教师在平时教学和总复习时要重视典型例习题的作用，教学中和总复习时要重视典型例习题的作用，教学中要要“借题发挥借题发挥”，“小题大做小题大做”；引导学生对；引导学生对典型例、习题作必要的演伸与拓展。这对激发典型例、习题作必要的演伸与拓展。这对激发学生学习的兴趣，培养学生的发散性思维，都学生学习的兴趣，培养学生的发散性思维，都将起到积极的作用。将起到积极的作用。小题不小、规律来找，一题多变、举一反三小题不小、规律来找，一题多变、举一反三 一道典型的课本例题的变式与

3、拓展（八上一道典型的课本例题的变式与拓展（八上p78p78）变式一：交换其中一个条件和结论的位置变式一：交换其中一个条件和结论的位置变式二：交换另一个条件与结论的位置：则变式二：交换另一个条件与结论的位置：则有：有：“等腰等腰+角平分线角平分线=平行平行”题后反思：题后反思： 模糊感受：等腰三角形、角平分线、平行线三模糊感受：等腰三角形、角平分线、平行线三者之间似乎存在一定的联系者之间似乎存在一定的联系 反思结论：反思结论：“等腰三角形、角平分线、平行线等腰三角形、角平分线、平行线”往往往往“知二推一知二推一”。触类旁通（串题练习）触类旁通（串题练习）1、P79课后练习课后练习2：2 2、P8

4、2P82课后习题课后习题2 2：变式练习：变式练习：3.P83课后习题：课后习题：4、（20112011年临沂市年临沂市2222题）题）5 5、20142014年泰州中考年泰州中考2323题题6 6、20142014年山东菏泽第年山东菏泽第1616题题 在数学的天地里，重要的不是我在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什们知道什么，而是我们怎么知道什么！么！毕达哥拉斯毕达哥拉斯 二、变式基本图形，构建几何模二、变式基本图形，构建几何模型型一个基本图形的变式与应用一个基本图形的变式与应用引例引例 ： 6、如图，在如图，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，中，AC=

5、CAC=CD D，点，点E E在边在边BCBC的延长线上，且的延长线上，且ACACD D =B B = = E E = 90 = 900.0. 求证：求证：CAB CAB DCE.DCE. 一题多变的策略与途径：一题多变的策略与途径： 1 1、条件的弱化或强化；、条件的弱化或强化； 2 2、基本图形的变化拓展；、基本图形的变化拓展； 3 3、基本图形的构造与应用、基本图形的构造与应用 7 7、如图，、如图，ABABBDBD于点于点B B，CDCDBDBD于点于点D D，P P是是BDBD上上一点，一点，APAPPCPC，则，则ABP ABP PDCPDC。请说明理由。请说明理由。 弱化条件弱化

6、条件“线段相等线段相等”则结论由则结论由三角形的全等三角形的全等弱化弱化为为三角形相似三角形相似。当一个命题成立的条件较为丰当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中一两个条件一条件，或将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题结论，般化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新的命题从而加工概括成新的命题。E EA AD DC CB B8 8、20201414日照市中考日照市中考2020题题 如图，如图，ABCABC和和CDECDE中，点中，点D D在边在边BCBC的延的延长线上，长线上，AC=CEAC=CE，ACE=B=DACE=B=D，则则A

7、BCABCCDECDE . 若弱化条件若弱化条件“直角直角”，则，则“全等三角形全等三角形”结论仍然成立。结论仍然成立。=90 同时弱化条件同时弱化条件“线段相等线段相等”和和“直角直角”， 则结则结论由全等弱化为相似。论由全等弱化为相似。 这里条件为这里条件为“三个角相等三个角相等”，至于等于多少度，并无要，至于等于多少度，并无要求，这就将特殊化为了一般，因而该结论在中考命题中求，这就将特殊化为了一般，因而该结论在中考命题中应用更为广泛。应用更为广泛。 1111、（、（20142014南昌市南昌市2121题）题） 如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，AB=D

8、C=AD=6AB=DC=AD=6，ABCABC6060，点，点E E，F F分别分别在线段在线段ADAD、DCDC上（点上（点E E与点与点A A、D D不重合），且不重合），且BEFBEF120120，设，设AE=xAE=x，DF=yDF=y（1 1）求）求y y与与x x的函数解析式的函数解析式（2 2）当）当x x为何值时，为何值时，y y有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？ 1212、20142014年江西抚州年江西抚州2222题题ACE=B=D=90 ABPPDCAP=CP B=APC=D ABP PDCACE=B=DAP=CP B=APC=D=90 ABP PDCABP

9、PDC无论如何变换，本无论如何变换，本质是三个角相等，质是三个角相等，应用三角形相似应用三角形相似（全等）来解决（全等）来解决。2.强化条件强化条件 针对基本问题中的线段、角等几何元素，通过针对基本问题中的线段、角等几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段强化问题的条件，变化为实际应用问题等手段强化问题的条件，变化为一组新题，通过练习。培养学生综合应用知识一组新题，通过练习。培养学生综合应用知识解决问题的能力。解决问题的能力。 1313、如图，在笔直的公路如图，在笔直的公路L L的同侧有的同侧有A A、B B两个村庄，已知

10、两个村庄，已知A A、B B两村分别到公路的距离两村分别到公路的距离AC=3kmAC=3km，BD=4kmBD=4km。现要在公路上现要在公路上建一个汽车站建一个汽车站P P，使该车站到，使该车站到A A、B B两村的距离相等，两村的距离相等，（1 1）试用直尺和圆规在图中作出点）试用直尺和圆规在图中作出点P P；（2 2）在（）在（1 1）的条件下，若连接）的条件下，若连接APAP、BPBP，测得，测得APB=90APB=90，求，求A A村到车站的距离村到车站的距离. .添加应用背景添加应用背景3.图形的变式与延伸图形的变式与延伸 结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如结合基本图

11、形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中两个三角形相向移动交叉重叠，即可得到一个将习题中两个三角形相向移动交叉重叠，即可得到一个新的基本图形；如图所示。新的基本图形；如图所示。2014年广西钦州20题 如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、BCBC上的上的点，且点，且DFDFCECE 求证：求证：CE=DFCE=DF15、2014丽水第23题提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AEDHAEDH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，

12、DA上，若EFHGEFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HFGEHFGE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积基本图形的再演变基本图形的再演变BONBON = =9 90 00 0BONBON = =？BONBON = =？1616、（、（20132013年常州中考年常州中考2121题）题） 问题背景问题背景 某课外学习小组在一次某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：学习研讨中，得到了如下两个命题：1 1）如图）如图(1)(1)，在正，在正ABCABC中，中，M M，N N分别是分别是ABAB，A

13、CAC上的点，上的点，BNBN与与CMCM相相交于点交于点O O，若，若BOM = 60BOM = 600 0，则，则BN=CMBN=CM；2 2）如图）如图(2)(2)，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M，N N分别是分别是CDCD，ADAD上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON = 90BON = 900 0，则，则BM=CNBM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题；3）如图(3)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 1080，则BM=CN。任务要求任务要求（1）请你从1）、2）、3）

14、三个命题中选择一个进行证明；（2）如图(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，EA上的点，BM与CN相交于点O，若BON = 1080，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由。4.基本图形的应用基本图形的应用 几何综合性问题通常是由若干个几何综合性问题通常是由若干个基本问题基本问题组合组合而成，其图形也是由若干个而成，其图形也是由若干个基本图形基本图形组合而成，组合而成，因而，在解决综合性问题时，教师应引导学生因而，在解决综合性问题时，教师应引导学生从复杂图形中寻找基本模型；从而将复杂化简从复杂图形中寻找基本模型；从而将复杂化简单，将一般化特殊，化难为

15、易；单，将一般化特殊，化难为易；培养学生的图培养学生的图形分解能力，转化思想意识形分解能力，转化思想意识。寻找基本图形巧解规律探究题：寻找基本图形巧解规律探究题：1717、在直线、在直线l l上依次摆放着七个正方形上依次摆放着七个正方形( (如图所示如图所示) )。已。已知斜放置的三个正方形的面积分别是知斜放置的三个正方形的面积分别是1 1、2 2、3 3，正放置，正放置的四个正方形的面积依次是的四个正方形的面积依次是S S1 1、S S2 2、S S3 3、S S4 4，则，则S S1 1S S2 2S S3 3S S4 4 . .321S4S3S2S1利用基本图形，巧解压轴题利用基本图形，

16、巧解压轴题1818、（20201010年临沂年临沂2525题）题）1919、（、（20142014浙江金华）浙江金华）如图，有一矩形纸板如图，有一矩形纸板ABCDABCD，长，长AD=10cmAD=10cm，宽，宽AB=4cmAB=4cm，将你手中足够大的透明三角板，将你手中足够大的透明三角板PHFPHF的直角顶点的直角顶点P P落在线段落在线段BCBC上（不与上（不与B B、C C重合）移动。重合）移动。（1 1）若三角板的两直角边分别通过点）若三角板的两直角边分别通过点A A与与D D， 求证：求证：ABPABPPCD.PCD.（2 2）若三角板的一直角边）若三角板的一直角边PHPH始终通

17、过点始终通过点D D，另一直角边，另一直角边PFPF与与BABA延长线交于点延长线交于点Q Q，与，与ADAD交于点交于点E E，能否使，能否使AE=2cmAE=2cm？若能，请你求出若能，请你求出CPCP的长；若不能，请说明理由。的长；若不能，请说明理由。构建基本图形，巧解综合题构建基本图形，巧解综合题ABCDPFHABCDPFHQEGx8-x442020、（、（20112011年济南年济南2525题）题）如图，如图，已知平面直角坐标系中，点已知平面直角坐标系中，点A A（m m，6 6），），B B（n n，1 1）为两动点，）为两动点，其中其中0m30m3，连结，连结OAOBOAOB，。

18、，。（1 1）求证：）求证：mn=mn=6 6；（2 2）当）当S SAOB=10AOB=10时，抛物线时，抛物线经过经过A A，B B两点且以两点且以y y轴为对称轴，轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关求抛物线对应的二次函数的关系式；系式；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，在）的条件下，在ABAB的上方抛物线上是否存在一点的上方抛物线上是否存在一点P P使得三角形使得三角形APBAPB面积最大，若存面积最大，若存在，求出点在，求出点P P的坐标，若不存的坐标，若不存在，请说明理由在，请说明理由OBAxyCD构建基本图形，巧解压轴题构建基本图形，巧解压轴题 踏破铁鞋无觅处，得来全不费工

19、夫。踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫。 “他强由他强，清风拂山岗，他横任他横，明月照他强由他强，清风拂山岗，他横任他横，明月照大江大江”。 现在看来现在看来“基本图形基本图形”已达到这种境界，不管题目已达到这种境界，不管题目如何复杂，如何来的就如何去！如何复杂，如何来的就如何去！三、三、动静结合动静结合、迁移转化、迁移转化 -巧解动态几何压轴题巧解动态几何压轴题 题型概述：题型概述：2525题题 命制方法：命制方法：静态变动态，特殊化一般静态变动态，特殊化一般 解题策略：解题策略：动静结合动静结合 2121. .（0707临沂）临沂）如图1，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。(1)(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。证明DMDN；在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明