(完整版)【初数】几何专题课程(共9讲)_第07讲_正方形与弦图-5月6日-周三-10点15-黄欣欣

1、几/嗔专g题g课g程几/嗔专g题g课g程知识点睛、正方形的弦图早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图（左）就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”DGC弦图中垂直往往对应着全易知 Sg边形efgh =一2S巨形ABCD +S巨形OPQR易知 AEF、 RFE. DFG、 OGF > BHE> QEH、 PHG、 CGH 都全等.其中我们把正方形的弦图分为内弦图和外弦图（见下图）.通常情况下, 等，由全等得出对应边相等，对应角相等.由三角形全等，可知他们的面积相等，设它们的面积都为a,则1 1 11

2、F=It r r人 _1 _S正方形ABCD =8a+S正方形OPQR ) 于是可得出如下结论：S正方形EFGH = SiE方形 ABCD+S正方形 OPQR2直角三角形学生版初中数学专题课程DGC1 / 13正方形的弦图可以推广延伸到矩形和平行四边形中去，见（右）图:例题精讲【例1】 正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接 AP,分别过B、D两点作BEXAP, DFXAP,垂足为E、F,如图(1)请你通过观察或测量 BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系.若点 P在 DC的延长线上，如图，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图，这三条线段长度

3、之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论.(2)请在(1)中的三个结论中任意选择一个加以证明.初中数学专题课程直角三角形学生版2 / 13几/嗔专g题g课g程【例2】 如图所示，四边形 EFGH是由矩形ABCD的外角平£ 求证：四边形 EFGH是止方形.'线围成的.z/Xf/H-VM ¥【例3】 如图，E是BC上的一点，B C 90 ,且RtABERtECD.(1)求证： AED是等腰直角三角形；(2)若 AED的面积是25 , ABE的面积是62,求4ABE的周长.BEC初中数学专题课程直角三角形学生版3 / 13CH、DE分别相交于点 A、B'、C

4、'、D'.求证：四边形A'B'C'D'是正方形.【例5】 如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形 ABCD的4个顶点出发，沿着 AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动.(1)判定四边形 PQEF的形状；(2) PE是否总是经过某一定点，并说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?直角三角形学生版初中数学专题课程4 / 13几/嗔专义题g课g程【例6】 如图（1）,已知正方形 以AE为边在直线MNABCD在直线 MN的上方，BC在直线 MN上，E是线段 BC上一点, 的上方作正方形 AEFG

5、(1)连接GD,求证:连接FC,求证: ADGA ABE;FCN 45 ,并说明理由;(3)当E点在CB的延长线上时，如图（2）,连接FC,则/ FCN等于多少度？请说明理由.直角三角形学生版5 / 13初中数学专题课程几/嗔专g题g课g程【例7】（1）如图（1）正方形ABCD中，AELBF于点G,试说明AE BF .（2）如果把线段BF变动位置如图（2）,其余条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由.（3）如果把AE与BF变动位置如图（3）,结论还成立吗？请说明理由.初中数学专题课程(3>直角三角形学生版6 / 13【例8】 (2009?威海)如图1,在正方形 ABCD中，E, F,

6、 G, H分别为边 AB, BC, CD, DA上的 点，HA EB FC GD ,连接EG, FH,交点为 O.(1)如图2,连接EF, FG, GH, HE,试判断四边形 EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG, HF剪开，再把得到的四个四边形按图 3的方式拼接成一个 四边形.若正方形 ABCD的边长为3cm, HA EB FC GD 1cm,则图3中阴影部分的面 积为 cm2.初中数学专题课程图1图2图3直角三角形学生版7 / 13几/嗔专g题名课g程【例9】（1）已知 ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边 BC、斜边AB为边向外作正方形 BCEF、ABM

7、N,如图甲，连接 MF ,延长CB交MF于D .试观测 DF与DM的长度关系，你 会发现（2）如果将（1）中的 ABC改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图乙，这时 D点 还具有（1）的结论吗？请证明你的判断.（3）如果将（1）中的 ABC改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图丙，则应在图中过B点作 ABC的 线，它与MF的交点D恰好也具有（1）的结论.请证明在你的作法下结论的正确性.初中数学专题课程直角三角形学生版8 / 13.一几身何g专g题g课g程【例 10如图 1 ,在 ABC和 ADE 中， BAC DAE 90 , AB AC , AD AE .(1 )求证：Sa

8、 abdSa ace，(2)如图2, AM是 ACE的中线，MA的延长线交 BD于N,求证：MNBD.初中数学专题课程直角三角形学生版9 / 13【例11】(2005?河北)操作示例:对于边长为a的两个正方形 ABCD和EFGH,按图1所示的方式摆放，在沿虚线 BD, EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED.从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形; S正方形ABCDS正方形EFGHS正方形BNED 实践与探究：(1)对于边长分别为 a, b (a b )的两个正方形 ABCD和EFGH ,按图2所示的方式摆放， 连接DE,过点D作DM，DE,交AB于点M,过

9、点M作MN，DM,过点E作EN，DE , MN 与EN相交于点N;证明四边形 MNED是正方形，并用含 a, b的代数式表示正方形 MNED的面积；在图2中，将正方形 ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED,请简略说明你的拼接方法(类比图1,用数字表示对应的图形)；(2)对于n (n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由.AD刁、J* G17' *初中数学专题课程直角三角形学生版10 / 13c(h3'e小明遇到一个问题：如图 1,正方形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边

10、上靠近A、B、C、D的n等分点，连接 AF、BG、CH、DE,形成四边形 MNPQ .求四边形 MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含 n的代数式表示）.小明的做法是：先取n 2 ,如图2,将 ABN绕点B顺时针旋转 90°至 CBN ',再将 ADM绕点D逆时 针旋转90°至 CDM ',得到5个小正方形，所以四边形 MNPQ与正方形ABCD的面积比是1-； 5请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）取n 3,如图3,四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为 （直接写出结果）；（2）在图4中探究，n 4时四边形 MNPQ与正方形ABCD的面积比为 （在图4

11、上画 图并直接写出结果）；（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近 A、B、C、D的n等分点 时，四边形 MNPQ与正方形ABCD的面积比为 （用含n的代数式表示）；图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形初中数学专题课程AH D金3 FC图I,4X。3 pC图4A产JA上 D故心 图2图&二|L_ I. 图s学生版 11 / 13直角三角形几g何g专g题g课g程【作业1】如图，已知在正方形 ABCD中，E为DC的中点，连接BE,作CFLBE于P,交AD于F点, 求证：F是AD的中点.F DBC【作业2】已知:于Q, ABC是等腰直角三角形，/ C是直角，直线 NM过点C, BPLMN于P, AQXMN BP 3 , AQ 4 ,求 PQ 的长.初中数学专题课程直角三角形学生版12 / 13【作业3】如图，已知四边形 ABCD是正方形，分别过 A、C两点作11 / 12 ,作