29.4 切线长定理

1、九年级数学九年级数学下下 新课标新课标冀教冀教第二十九章第二十九章 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知如图所示,小明同学测量一个光盘的直径,他将直尺、光盘和三角尺置于桌面上,如果量出AB的长度,就可以求此光盘的直径,你能说出怎样求出光盘的直径吗?一起探究一起探究如图所示,已知O及圆外一点P.如何过点P作出O的切线呢?小亮是按下列步骤画图的:如图所示,连接OP,以OP为直径作圆,交O于A,B两点.AB连接PA,PB.则PA,PB就是O的切线.【思考思考1】1.PA,PB是O的切线吗?若是,请说明理由.2.过圆外一点P,可以作圆的几条切线?

2、3.猜想线段PA,PB具有怎样的数量关系?4.完成下面的证明过程.已知:如图所示,P是O外一点,PA,PB分别与O相切于点A,B.求证PA=PB.证明:如图所示,连接OA,OB,OP.在RtOAP和RtOBP中,PA,PB分别与O相切于点A,B,PAOA,PBOB.OAP=OBP=90.又OA=OB,OP=OP,RtOAP RtOBP.PA=PB.切线长切线长:我们把线段我们把线段PA,PB的长叫的长叫做点做点P到到O的切线长的切线长.【思考思考2】切线与切线长有什么区别?(切线是直线,无法度量;切线长是切线上一条线段的长,即圆外一点与切点之间的距离,可以度量.)【思考思考3】1.你能用语言叙

3、述上述结论吗?2.在上图中还有其他的结论成立吗?若连接AB,你又能得到哪些结论?切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.上图中的结论还有:APO=BPO= APB,AOP=BOP= AOB,OAP=OBP=90,BOA+APB=180.若连接AB,则有PO垂直平分AB等结论.1212(教材第12页例1)已知:如图所示,过点P的两条直线分别与O相切于点A,B,Q为劣弧 上异于点A,B的任意一点,过点Q的切线分别与切线PA,PB相交于点C,D.求证PCD的周长等于2PA.证明:PA,PB,CD都是O的切线,PA=PB,CQ=CA,DQ=DB.PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD

4、+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA.AB(教材第12页例2)用尺规作圆,使其与已知三角形的三边都相切.已知:如图所示,ABC.求作:I,使它与ABC的三边都相切.分析分析:1.作圆的关键是什么?2.如果I与ABC的三边都相切,那么圆心I到三边的距离有什么等量关系?3.三角形三条角平分线的交点有什么性质?4.圆心I与三角形三条角平分线的交点有什么关系?5.找到圆心后,如何确定圆的半径?(找圆心和半径)(圆心I到三边的距离相等)(到三角形三边的距离相等)(圆心I为三角形三条角平分线的交点)(圆心到三边的距离相等,且为半径)作法作法:如图所示.(1)分别作B和C的平分线BM和C

5、N.设BM与CN交于点I.(2)过点I作IDBC,垂足为D.(3)以点I为圆心、ID的长为半径作I,I即为所求.内切圆内切圆:与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.内心内心: :内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.MNID检测反馈检测反馈1.如图所示,PA切O于点A,PB切O于点B,OP交O于点C,下列结论中错误的是 ()A.APO=BPOB.PA=PBC.ABOP D.C是PO的中点解析解析:根据切线长定理可得APO=BPO,PA=PB,ABOP都成立,只有D不正确.故选D.D2.如图所示,从圆外一点P引O的两条切线PA,PB,切点分别为A

6、,B,若APB=60,PA=10,则弦AB的长为()A.5 B. 5 C.10D. 10 解析解析:PA,PB都是O的切线,PA=PB.APB=60,PAB是等边三角形.PA=10,AB=10.故选C.C333.如图所示,PA,PB分别切O于A,B两点,并与O的切线分别相交于C,D两点,已知PA=7 cm,则PCD的周长等于.解析解析:设DC与O的切点为E,PA,PB分别是O的切线,且切点为A,B,PA=PB=7 cm.同理可得DE=DA,CE=CB,即PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14(cm).故填14 cm.14 cm.4.在ABC中,A=50,I是ABC的内心,则BIC=.解析解析:IB,IC分别是ABC,ACB的平分线,IBC+ICB= (ABC+ACB)= (180-50)=65,BIC=180-65=115.故填115.12121155.如图所示,已知AB为O的直径,PA,PC是O的切线,A,C为切点,BAC=30.(1)求P的大小;(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).解:(1)PA是O的切线,AB为O的直径,PAAB,BAP=90.BAC=30,CAP=90-BAC=60.又PA,PC分别切O于点A,C,PA=