上海高二数学矩阵及其运算

1、矩阵及其运算23324123m32441 n矩阵的概念5121281 、形如 1 、3638363232128m14 2 这样的矩形数表叫做矩阵n4称为 行向量 ； 垂直方向排列的2、 在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量a1,a2,b1数组成的向量b2称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为m n阶bn矩阵，m n阶矩阵可记做Amn,如矩阵1为2 1阶矩阵，可记做A21；矩阵351 21 2836 38 36为3 3阶矩阵，可记做A3 3。有时矩阵也可用A、B等字母表示。23 21 283、矩阵中的每一个数叫做矩阵的 元素，在一个m n阶矩阵Amn中的第i （i m）行第51 21

2、 28j （ j n ）列数可用字母aij 表示，如矩阵36 38 36 第 3 行第 2 个数为a32 21 。23 21 284、 当一个矩阵中所有元素均为0 时， 我们称这个矩阵为零矩阵 。 如 0 0 0 为一个 2 3000阶零矩阵。5、 当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵 ， 简称 方阵 ， 一个方阵有n51 21 282 3 m行 （列）， 可称此方阵为n 阶方阵 ， 如矩阵 36 38 36 、32 4 均为三阶方阵。23 21 284 1n在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1,其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵0

3、 0为2阶单位矩阵,1矩阵000 01 0为3阶单位矩阵。0 16、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A Bo7、对于方程组2x3x4x3y mz 12y 4z 2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵 y nz 4我们叫做方程组的2系数矩阵；而矩阵3412叫做方程组的增4广矩阵应用举例:例1、已知矩阵2x a 2b，B2a t2 且 A B , y求a、b的值及矩阵A。例2、写出下列线性方程组的增广矩阵:“、2x 3y 1“、4x y 6；x 2y

4、 3z 2x 3y 2z 52x y z例3、已知线性方程组的增广矩阵,写出其对应的方程组:（1）21 245例4、已知矩阵sinsincoscos为单位矩阵，且，-的值。矩阵的基本变换:（ 1 ）互换矩阵的两行或两列；（ 2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（ 3）某一行乘以一个数加到另一行。显然， 通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：4x 3y z 5例 1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组7x 2y z 4 的解。5x 2y 3z 8例2、运用矩阵变换方法解方程组：ax 3y 2 （a、b为常数）2x y

5、b课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（ 1 ）若方程组x y 2的解 x 与 y 相等，求k 的值。（k 1）x （k 1）y 43x 2y z 0（ 3）解方程组：x y 2z 55x 7y 8z 1矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容. ）1 相等定义 如果两个矩阵A aij， Bbij满足：j mnjsp（1） 行、列数相同，即m s, n p；（2）对应元素相等，即 aij =bj （i =1,2,，m； j=1,2,，n）,则称矩阵A与矩阵B相等

6、，记作A=Bm n 矩阵相等，等价于元素之间的m n 个等式 . ）例如，矩阵A=a11a21a12a22a13 ，B=3 0a232 1那么A=B,当且仅当a11 =3， a12 =0，a13=-5 ， a21=-2 ，a22=1， a23=4C=c11c21c12c22因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素Cii, C12, C21, C22取什么数都不会与矩阵B相等.2 加法定义设 A aij ， Bbij是两个 m n 矩阵，则称矩阵mnspa11b11a12b12a1nb1nC=a21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmn为A与B的和，记

7、作C=A+B= aij bij（由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算. ）同样，我们可以定义矩阵的减法：D=A-B=A+（- B）= aij bij称 D 为 A 与 B 的差 .例 1 设矩阵A=320514，B=023341，求A+B，A- B.(0, 2)，(-, )，求 sin的值。22,0，ctan tan例 2、矩阵 A cos cos0，B 0tan1tan矩阵加法满足的运算规则是什么 设A B C。都是m n矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1 .加法交换律：A+B=B+A;2 .加法结合律：(A+B)+ C=A+(C);3 .零矩阵满足：A+OA

8、;4 .存在矩阵-A，满足：AA=A+(-A)=O3.数乘定义设矩阵A ajmn，为任意实数，则称矩阵C Cjmn为数 与矩阵A的数乘，其 中 Cjaj (i 1,2, ,m; j 1,2, n)，记为C= A(由定义可知，数 乘一个矩阵A，需要用数 去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 =-1时，A=-A，得到A的负矩阵.)31 7例3设矩阵A= 4 0 5，用2去乘矩阵A，求2A.260数乘矩阵满足的运算规则是什么对数k, l和矩阵A= a。，B=. 满足以下运算规则:j m n /j m n1 .数对矩阵的分配律：k(A+B)=kA+kB；2 .矩阵对数的分配律：(k+l) A=kA+lA

9、 ；3 .数与矩阵的结合律：(kl )A=k(lA)=l (kA);4 .数1与矩阵满足：1A=A3例 4 设矩阵A= 51240 ， B= 86132 ，求3A-2 B.74乘法矩阵乘积的定义设A=aij 是一个 m s 矩阵，B=bij 是一个 s n 矩阵 ， 则称 m n 矩阵C=Cij为矩阵A与B的乘积，记作C=AB其中Cj =abj+ai2b2j+s+aisbsj =aikbkj (i =1,2, , mi j =1,2,，n).k1(由矩阵乘积的定义可知：)(1)只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，AB才能作乘法运算AB(2)两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A

10、的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数；(3)乘积矩阵AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则2例 6 设矩阵A= 4310 ， B= 98 ，计算AB.7 105例 7设矩阵A=12 42， B= 212 ,求AB和BA1由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵 AB和 BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩 阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵(A OB Q，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一 个零矩阵(ABQ ,即两个非零矩阵

11、的乘积可能是零矩阵.因此，当AB=Q不能得出 A和B中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵ABAC且A。时，不能消去矩阵A,而彳#到B=C这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢矩阵乘法满足下列运算规则:1 .乘法结合律：(AB C=A (BC ；(1)(a a2 Lan) b ；(2)bna2Lan(hbn)。例9、已知矩阵A f(x) , B x 1 x , C2a，若人=8。求函数f(x)在1,2上的2 .左乘分配律：A (B+Q =AB+AC最小值.例10:将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式2x y 3z 12x y 1(1)；(2) 4x 2y 3z 1。

12、4x 3y 72x y 4z 1例11：若AB BA,矩阵B就称为与A可变换，设A0* 1 ,求所有与a可交换的矩阵B。课堂练习与课后作业、选择题1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A、充分不必'要条件B、必要不充分条件是G充要条件D既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组力：2其中正确的是（）2 c 21 xB、132 y143、若A20 ,且2A 3X B ,则矩阵X534、点A （1, 2）在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是 5、已知00a是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么 a+b=. 0 2b6、若点A（也,鱼）在矩阵cos

13、 sin对应的变换作用下得到的点为（1, 0）,那么 22sin cos7、若点A在矩阵A的坐标2对应的变换作用下下得到的点为（2, 4）,那么点2为.8、已知Acos1sincossin1,B <2 若 A=B 那么 + B .219、设A为二阶矩阵，其元素满足,a。 aji 0i=1 , 2, j=1 , 2,且 a偌 a21 2,那么矩阵A=.1 u ,且 A B ,那么 A+AB= v 311、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为 1行3列的矩阵（1,2, 1）,那么 该线性方程组为。12、计算:若矩阵Acos60sin60sin60，B cos6032 ，贝 U AB1213、计算:3 4 25 4 6 二.2 2 114.线性方程组x y 6 0对应的系数矩阵是 ,增广矩阵是3x 5y 4 0215、已知矩阵 A 1 , B ( 1,2), C 3 0 ,则(AB)C.1 23二、简答题1 .已知A 1 0 ,分别计算A2、A3 ,猜测An(n 2, n N*);2 .将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解3x 2y 11 02x