对数的换底公式及其推论

1、课 题：对数的换底公式及其推论 教学目的：1 .掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2 .培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力;教学重点：换底公式及推论.教学难点：换底公式的证明和灵活应用.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：对数的运算法那么如果 a > 0 , a 1 , M > 0 , N > 0 有：lOga(MN) lOgaM lOgaN lOgaMN lOgaM lOgaNlogaM n nlOgaM(n R) (3)二、新授内容：lOga NlOgm NlOgma(a &g

2、t; 0 ,a1 , m > 0 ,m 1,N>0) 页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除!证明：设log a N = x , 那么 ax = N *X lOg m a lOg m N两边取以m为底的对数：10gm ax 10gm NlOg mNlOg m N从而倚：x . lOg a N lOg m alOgma2.两个常用的推论： lOg a b lOg b a 1 , lOg a b 10gbe lOg c a 1 . lOgambn lOga b a, b > 0且均不为 1*m证： lOg a b lOg b a g- g-a1 lga lg b log am bn

3、lgbnlgamnlg b n ,loga b.m Iga m三、讲解范例:用 a, b 表示 log 42 56例1 log 2 3 = a , log 37 = b,1. 一 一log 356, , log 42 56log 3 421 log 0 2 3例2计算：5log3 7 3 log32 ab 3log 37 log 3 2 1 ab b 1D log4 3 10g9 2log 1 4 322解：原式=510g0.2 35110g5 315.一 ,115原式=510g 2 3 310g 3 2 710g 2 215 34 4 2例 3 设 x, y,z (0,)且3、 4y 6z

4、1111 求证 - 一 ；2x 2y z比拟3x,4y,6z的大小*证明1 ：设3x4y 6z kv x, y, z (0,) k 1斛：因为 log 2 3 = a ,那么一log3 2 , 又 log3 7 = b,a,zQ lg klg k lg k取对数得：x 、一 , y 上一，z1g31g41g611 lg 31g421g 3 1g421g 3 21g 2 lg 6x 2y lg k 2 lg k 2 lg k21g k lg k64_ lg klg -34lg 64 lg 81 g g 813x 4y ()1gk - g lgk 8101g3 1g41g31g41g31g43x

5、4y1g k 1g 46 1g 36 1g 64 g g 16又：4y 6z ()1gk g Igk -1g 4 1g 61g 21g 61g 21g 61- 4y 6z1- 3x 4y 6z,例 41og a x= 1og a c+b,求 x.分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为1ogac移到等式左端,两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将或者将b变为对数形式. 解法一：由对数定义可知：x a10g1oga c bba a c a 解法二：x .由移项可得 1oga x 1oga c b ,即 1oga- b.c由对数定义知： abx c abc解

6、法三：b 1oga ab 1og a x 1oga c 1og a ab 1og a c ab x cab四、课堂练习： 1og 18 9 = a ,18b = 5 , 用 a, b 表示 10g 36 45解：: 1og 18 9 = a18 10g18 万1 1og18 2 a l 1og 18 2 = 1 ab18 = 510g18 5 = b1og 18 4510g18 9 10g 18 51og 36 45 1og 18 361 1og18 2假设 10g 8 3 = p ,10g 3 5 = q , 求 1g 5解：: log 8 3 = plog 23 3 = plog 23 3

7、plog 3 213p又log 3 5 q lg5log3 5log 3 10log 3 5log 3 2 log 3 53 Pq1 3pq三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：log a x1 .证明："a 1 loga blog ab x证法 1：设 log a x p , log ab x q , log a b r那么：x ap x (ab)qaqbqb arap (ab)q aq(1 r) 从而 p q(1 r)plog a xq 0，- 1 r 即：1 log a b获证qlog ab x证法2:由换底公式左边=咽叱 log ab xlog x ablogxalog a ab 1 loga b=右边2 . log a1 b1log a2 b2log an bn求证：loga1a2 an(b1b2bn)证明：由换底公式lg b1lg b2lg a1lg a2lg bnlg an由等比定理得:lg b1lg b2lg bnlga1lga2lg anl