复变函数与积分变换期末考试题

1、百度文库-让每个人平等地提升自我哈尔滨工程大学本科生考试试卷(2010-2011 年 第一 学期)12得分评卷人选择题(每小题2分，共10分)1、A.2、A.2011-01-04Im z Im Zo limz z0 Z Zo).D.不存在).an(z 1在2 3发散，则它在01收敛2收敛C. z 2i发散D.均不正确3、已知函数f(z)11 coszz 分别是f的A.二阶极点、孤立奇点二阶极点、非孤立奇点C可去奇点、孤立奇点可去奇点、非孤立奇点4、映射w3在 z iA. /22i处的旋转角为).C./2D.Z0(5、下列命题或论断中,正确的个数是I ： Ln z Ln zu是v的共腕调和函数U

2、 :设 f (z) u(x,y) iv(x,y)解析,则III: f (z) u(x, y) iv(x, y)的导数f (z)存在的充要条件是u,v的偏导数分别百度文库-让每个人平等地提升自我存在IV: f(z) tan(1/z)在任意圆环域0z R不能展开为洛朗级数 / A. 0B.1/ C.2D.3得分评卷人填空题(每小题2分，共10分)226、设 ez i i , WJ Rez7、若函数v(x,y) x3 axy2为某一解析函数的虚部，则常数a z8、设函数J的泰勒展开式为CnZn ,则它的收敛半径为cos Zn 09、设信号f(t) (t 1),则通过Fourier变换得到的频谱函数F

3、( ) 110、设F(s),则通过Laplace逆变换得到f(t) s(s 1)得分评卷人(每小题5分,共25分)11、函数f(z) 2x3 i3y3在何处可导？何处解析?百度文库-让每个人平等地提升自我12、设 f(z) u(x,y) iv(x, y)是解析函数，且 u v (x y)(x2 4xy y2),求 f(z).13、计算积分C（zn Z）dz,其中C:|z 1为负向，n为整数.3414、计算积分A zdzUC(2z 1)(z 2)其中C: z3为正向.百度文库-让每个人平等地提升自我4415、利用留数定理计算定积分d0 1 cos2得分计算题R （每小题6分，共18分）百度文库-

4、让每个人平等地提升自我16、求函数f(z) 2 z 3 在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开: z2 3z 2圆Z i内；/环1 z 2内;55百度文库-让每个人平等地提升自我17、设 f(z) 1 Pl e3 sin 2 d , C: z 3正向，试求:2 i J 3 z 2 /(1) f(z)在复平面上除去z 3的点处的函数表达式；(2) f (i)及 f( i).18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z平面阴影部分是角形区域/6 argz /6 ,如下图所示。通过何种变换，保形映射为w1平面上的右半平面？必rw祁请1中填入该变换 .66百度文库-让每个人平等地提升自

5、我(2) W2i (wi 1),在下图中画出经过该映射后的区域19、质量为m的物体挂在弹簧系数为k m 2的弹簧一端(如下图所示)，其中常数为固有频率，f(t)为作用在物体上的外力。若物体从静止平衡位置x 0开始运动，物体的初始位移x(0) 0,初始速度大小x(0) 0,根据牛顿 定律可得到方程：m x (t) f(t) kx(t)假设在初始时刻t 0时，物体受到外力f(t) (t) ( (t)为单位冲击函数)，应用Laplace变换，求解物体的运动规律x(t)。f(t)77百度文库-让每个人平等地提升自我得分评卷人证明题(5+4=9分)20、假设f(z)在给定区域D解析，且f(z) 0,若f

6、(z)为常数，证明：f(z)为常数.21、若an收敛而级数卜。发散，证明：幕级数/ anzn的收敛半径为1.n 1n 1/ n 1题号一二三总分88百度文库-让每个人平等地提升自我哈尔滨工程大学本科生考试试卷(/2012年秋季学期)分数/评卷人得分评卷人填空题(每小题2分，共20分)1 . 3i ;.2 .设 f(z) x3 3x2yi 3xy2 y3i ,贝 f (z) =3 .幕级数 (cosin)zn的收敛半径R =. n 04 .设c为正向圆周z 3,则积分n 2 dz2一2 C (z2 1)(z2 4)15 .设C为包含原点的任意一条正向简单闭曲线，则0I与dz C z6 . z=0

7、是函数f(z) 8sz 1的孤立奇点,其类型为 z(如果是极点，则要说明阶数)7 .函数f (z) 一1一2在复平面内的所有有限奇点处留数的和为 z(z 1)2 一 1 8 .映射w -将z平面内的圆域z 1 1映射到w平面内的区域为 z9 .函数w sinz在z 一处的转动角为 ./410 .已知函数 u(t) 0, t0, f(t) 0, t 0, /则 u(t)* f(t)1, t 0.et, t 0.得分 评卷人单项选择题(每小题2分，共20分)99百度文库-让每个人平等地提升自我说明：请将以下单项选择题的答案按题号写入下表中12345 / 6789101 .方程Rez2 1所表示的平

8、面曲线为().(A)圆/(B)直线(C)椭圆(D)双曲线2 .极限lim 士的值为().z 0 z z(A) 0(B) 1(C)3 .设 w Ln(1 i),则 Imw 为().(A) - -(B)4(C) -(D)4 .下列等式中，不成立的是().4(A) arg( 3 4i) arctan-(B)(C) arg( 3 4i)2 2arg( 3 4i)(D)1(D)不存在2k -7,k 0, 1,|H2k 7k 0, Mlarg( 3i) arg( i)z z |z|25 .下列函数中，在整个复平面上解析的函数是()(A) z ez (B) tan z ez(C) sin z ez6 .在复

9、平面内，下列命题正确的是().(A) eiz cosz isin z(B) , z2 |z|(D)sin zz2 1(C) cosz是有界函数(D) Ln z2 2Ln z7.下列积分中，积分值不为零的是().(A) Pl (z3 2z 3)dz,其中C为正向圆周|z 1| 2n(B) i I ezdz,其中C为正向圆周|z| 5(C) 4sndz,其中C为正向圆周|z| 11010百度文库-让每个人平等地提升自我1112dz,其中C为正向圆周|z| 28.设C为正向圆周|z| 4,则积分 C(z(A) 10!ze10 dz的值为 (i)(C) 29!i9. z 一是函数f(z) 3(A)可去

10、奇点sin(z -)3-的(3z(B) 一阶极点康(C)本性奇点(D) 一阶零点10.已知 Ff(t) F(),则下列命题中正确的是(A) Ff(t 2)2ie F()(B) Fe2itf(t)F( 2)(C) Ff(2t) 2F(2 )(D) F 1F(2) e2it f (t)得分评卷人计算题(每小题5分，共30分)1.已知v ex sin y为调和函数，求以v为虚部的解析函数f (z).百度文库-让每个人平等地提升自我2 .求f(z) z在圆环域1 z 2和1 z 2内的洛朗展开式.(z 1)(z 2)3 .利用留数计算积分 228sx dx.x 4x 51212百度文库-让每个人平等地

11、提升自我4 .求分式线性映射 w f(z),使下半平面映射为单位圆内部，并满足条件f( 2i) 0 , f (0)1：5 .利用拉氏变换解常微分方程初值问题y y 6y 2y(0) i,y(o) 01313百度文库-让每个人平等地提升自我6 .求函数f（t） u（t） （3 t）的傅氏变换，其中u为单位阶跃函数，为单位脉冲函数./复变函数与积分变换期末考试A卷/标准答案与评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）、1 .e 2k iln3 或 e2k iln3 ;2. 3z2 或 3x2 3y2 6xyi ;3. - ;4. 0;5. 0;6.三阶极点；7. 0;8. Re w二、选择题（每小

12、题2分，共20分）1. D;2. D;3. B; 4. C;5. C;三、计算题（每小题5分，共30分）e,或 u - ;9. 0;10. 1 et226. A;7. D;8. D;9. A;10. B1415exsin y ,故C (y) 0,所以 C(y) C。.2分 /,. 1f(z)z(20d)n).3分2 .解答：因为v ex sin y是调和函数，则由C-R方程,u - excosy,则 u(x,y)excosydx ex cosy C(y) , .2分x y又由，即 ex sin y C (y)y x贝 f (z) ex cos y i ex sin y C .分3 .解答：（1）在1 z%2内:在1 | z 2| 内:百度文库-让每个人平等地提升自我15162)(11)n(z1(z 2)2分3.解答：被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点, 在上半平面有一个一阶极点2 i,故ixedx4x 5ize4zdz5i Res ziz e4z 5,2 i 故zi)izez2 4z 5一 (cos2 ei sin 2).2分2cosxdx4x 52Reix e dx x 4x 5cos2e4.解答:f(2i),由对称性知f (2i),& w=k-2i , z 2if(0),即1 k,