电磁场课件5 分离变量法、有限差分法、有限元法

1、电磁场电磁场教案教案公共邮箱公共邮箱文件中心文件中心网盘：网盘：账号：账号：scu_密码：密码：scu20151425362泊松方程泊松方程E0E D所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程解二阶偏微分方程)DE微微分分方方程程边边界界条条件件外边界条件外边界条件内分界条件内分界条件 21nn2211)()3sfnS（环路定律环路定律高斯定律高斯定律静静电电场场定定解解问问题题1.4 静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题（边值问题）静静电电场场定定解解问

2、问题题静静电电场场定定解解问问题题1.5 分离变量法分离变量法 分离变量法采用正交坐标系，将分离变量法采用正交坐标系，将变量分离变量分离后得到微分方程后得到微分方程的的通解通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数积分常数，得到边值问题的解。，得到边值问题的解。1.5.1 解题的一般步骤：解题的一般步骤：2 2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；3 3）解常微分方程，并叠加得到通解；）解常微分方程，并叠加得到通解；1 1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；）写出边值问题（微分

3、方程和边界条件）；4 4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。 只含有一个变量的微分方程，采用只含有一个变量的微分方程，采用积分法积分法求解。含有两个求解。含有两个变量的微分方程，可以采用变量的微分方程，可以采用分量变量法分量变量法求解。求解。例例1.5.1 试求长直接地金属槽内试求长直接地金属槽内电位的分布。电位的分布。 解解: : 1 1）确定）确定边值问题边值问题1.5.2 应用实例应用实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0 ,0

4、, 00 , 022222（D 域内）域内）图图1.5.1 接地金属槽的截面接地金属槽的截面yxasin1002 2）分离变量）分离变量试探解试探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，则则- -分离常数分离常数, ,220, 0 0 ,nnkk 和有22122212dd11ddxy 设设0dd1dd122222121yx代入微分方程得代入微分方程得222220 xy电位方程为电位方程为二阶常系数齐次方程二阶常系数齐次方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程双曲函数双曲函数212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1( )cossinnnnnxAk xB

5、k x100( )xA xB200( )yC yD2( )nnnnyC shk yD chk y1( )nnjk xjk xxAeBe120000( , )( )( )()()x yxyA xBC yD即即 kn 为实数时，为实数时，12( , )( )( )(cossin)()nnnnnnnnx yxyAk xBk x C chk yD shk y若若 ，20nk 若若 ，20nk ()(cossin)nnnnnnnnA chk xB shk x Ck yDk y若若 ，20nk 2( )nnk yk yyCeDesinh( )2cosh( )2xxxxeexeexcossinixexix3

6、 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4 4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 00B sinsin0nnnnnBDk aFk a (1,2,3)nnkna0)0000axyaA左侧0)00000nbyxaCC底) 00cxaya右侧yanshxanFyx1nn)sin(),(图图1.5.1 接地金属槽的截面接地金属槽的截面yxasin100)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnn

7、nnnnnnnnnnnnn)()()(000021yDCxBAyx通解1sin()(ch()sh()nnnnnnnBk x Ck yDk y( , )x y 沿沿 x方向作正弦变化，知方向作正弦变化，知0nnnABA题设题设1sin()sh()nnnnnB Dk xk yayd)sin(100 ax)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn比较系数求常数比较系数求常数当当 时，时，1n)sh()sin(sh100),(yaxayx当当 时，时，1n100sh1Fsh1001F1( , )sin()sh()nnnnx yFxyaa等式无法成立！等式无法成立！若金属槽盖电位若金属槽盖电

8、位 ，再求槽内电位分布？，再求槽内电位分布？0U通解通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn等式两端同乘以等式两端同乘以 ，然后从，然后从 积分积分xamsina0(1) d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana左式左式 )cos1 ( 0mmaU1,3,5,. 20,2,4,. 00mmaUm当当 时，时，0Uay 右式右式 nmEaxxanEnmnn 2d )(sin 02a0代入式代入式（1）)sh(2220nFaEamaUnn代入通解代入通解)sh()sin(sh14),(1

9、0yanxannnUyxnn奇数奇数1,3,5,. sh40nmnnUFn图图1.5.3 接地金属槽内接地金属槽内的等位线分布的等位线分布 解：解：1 1）取圆柱坐标系，边值问题）取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112aa0cos ，0 10221021EExa根据对称性根据对称性0)2,( ),(),(及 例例1.5.2 垂直于均匀电场垂直于均匀电场 E 放置放置一根无限长均匀介质圆柱棒一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求试求圆柱内外圆柱内外 和和 E 的分布。的分布。 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒自然边界条件自然边界条件当当 时，时，0n000000)( ln)

10、(DCBAR，当当 时，时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )(，)sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn 代入方程整理代入方程整理 分离变量分离变量, ,设设 )()(),(R0dd1dddd22222RRRR)(ln(),(0000DCBA3 3）通解）通解0dddd2222RnRR拆分为两个方程拆分为两个方程0dd222n2）根据根据 （自然边界条件），得（自然边界条件），得cos01E当当 时，时，1n，EABA100，0nBEnnncoscos),(11根据根据 0 ， 00002nBBA12cos),(nnnnA4 4）利用给定边界条件确定积分常数利用

11、给定边界条件确定积分常数当当 时，时，1n，00noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100通解通解根据根据),(),(0, 00nDC得到得到比较系数比较系数121011)( AaBEaAaBEa和当当n=1时，时，当当 时，时，An=Bn= 0， 则最终解则最终解1n1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面由分界面 的衔接条件，得的衔接条件，得acos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1 (),(00002EEaEaesin)()(12020 xxExeeE002222a0介

12、质圆柱内外的电场介质圆柱内外的电场 eEcos)()(1202011Ea求电场强度求电场强度E1.6 有限差分法有限差分法1.6.1 二维泊松方程的差分格式二维泊松方程的差分格式Fyx2222（1）二维静电场边值问题二维静电场边值问题 基本思想基本思想：将场域离散为许多：将场域离散为许多网格网格 ，应用，应用差分原差分原理理，将求解连续函数，将求解连续函数 的的微分方程微分方程问题转换为求解问题转换为求解网格节点上网格节点上 的的代数方程代数方程组的问题。组的问题。（2）)(LfL有限差分的网格分割有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格通常将场域分成足够小的正方形网格, ,网格线之

13、间的距离为网格线之间的距离为 h , ,节点节点0,1,2,3,40,1,2,3,4上的电位分别用上的电位分别用 表示。表示。 01234, 令令 h = x - x0，将，将 x = x1 和和 x3 分别代入式分别代入式 ( 3 ) 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）)(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式由式（4）+（5）2301222)(0hxxx（6）2402222)(0hyyy（7）同理同理, ,沿沿 x方向在方向在 x0 处的泰勒公式展开为处的泰勒公式展开为

14、2043214Fh当场域中当场域中00404321 若场域离散为矩形网若场域离散为矩形网格格, 宽宽h1高高h2，差分格式为，差分格式为13240222212121111()()()2Fhhhh1.6.2 矩形网格剖分矩形网格剖分五点差分格式五点差分格式20将式将式(6)、式、式(7)代入式代入式 ，得到，得到Fyx2222)(41243210Fh即即应用五点差分格式构建方程组应用五点差分格式构建方程组右图，对该区域划定右图，对该区域划定 4 4 方格，方格，内点为内点为 1-9，边界为，边界为 f1-f16，对待求，对待求的的 9 个点，逐点列差分方程个点，逐点列差分方程在场域内每一节点都有

15、一个差分方程，再结合边界上的电位在场域内每一节点都有一个差分方程，再结合边界上的电位关系，构成方程组，联立求解可得各个节点的电位值。关系，构成方程组，联立求解可得各个节点的电位值。2043214Fh1.6.2 边界条件离散化边界条件离散化（Discrete Boundary Condition)第二类边界条件第二类边界条件 hfhnf2100102 ,)()2(4124210Fh第一类边界条件第一类边界条件 分界面衔接条件分界面衔接条件 对称边界条件对称边界条件 , )1212(4143210KKKbaK其中其中图图1.6.5 介质分界面介质分界面10 f图图1.6.3 对称边界对称边界图图1

16、.6.4 对称分界对称分界1.6.3 差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法 ( Solution Method )2、高斯赛德尔迭代法412)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1) 1(,Fhkjikjikjikjikji 迭代过程直到节点电位满足 为止。)(,) 1(,kjikji3、超松弛迭代法44)(,2)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1)(,) 1(,kjikjikjikjikjikjikjiFh式中：a 加速收敛因子（1 a 2） 网格编号2,1,11,114i jiji jiji jFh1、基本迭代法2043214Fh20123414Fh一般迭代式：边界节点赋已

17、知电位值边界节点赋已知电位值赋内节点电位初始值赋内节点电位初始值累计迭代次数累计迭代次数 N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求按超松弛法进行一次迭代，求 )1(,Nji打印打印 ),(jiN，NY程序框图程序框图)(,) 1(,kjikji作作 业业分量变量法：分量变量法：P35: 1-5-1有限差分法：有限差分法：P40: 1-6-3 电磁场有限元法（Finite Element Method, FEM） 有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本节以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。加权余量法回顾：对算子方程用 作近

18、似解：代入方程得余量：1. 1. 有限元法基本原理与实施步骤：一维问题有限元法基本原理与实施步骤：一维问题( )L uf1niiiu u( )RL uf 在有限元法中，基函数一般用 表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同，使其与余量正交化：(, ) ( ) d0iiN RN L uf (1, 2, , )iniNi 基基函数；函数；i 系数系数 ( )RL uf权函数权函数L( ) 为线性算子若 L为线性算子，设 ，代入加权余量正交公式得11 () d() d0nnijjijjjjN Lu NfNu L Nf 1niiiuu N或(1, 2, , )in1() ddnjijiju

19、N L NN f 得代数方程组：加权余量法回顾（续）(, ) ( ) d0iiN RN L uf Kub记diibN f,() di jijKN L Niiuu求出矩阵u得离散解.利用有限元法求解一维边值问题：（1）单元剖分 如图5个单元，6个节点（2）选取基函数 22d( ) 01d(0)(1)0uL uuxxxuu 111111 (, ) ( , )iiiiiiiiiiixxxxxxxNxxxxxxx1niiiuu N（3）方程离散）方程离散（计算系数阵（计算系数阵 K 和右端项和右端项 b）diibN f,() di jijKN L N Kub,2222() dd(+) ddd d dd

20、ddddddjjiii jijjijjiijxxjiijxxKN L NNNNxNNN NxNNxN Nxxx 11ddiixiiixbN fN f x 整理矩阵方程：11121121222322323334334344454454555655656666KKubKKKubKKKubKKKubKKKubKKub强加边界条件：u1 = 0, u6 = 01221222323323334344344454554555656100010uuKKKbuKKKbuKKKbuKKKbu（4）求解方程思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？（2）有限元的系数阵总是对称的吗？ux0000.20.0

21、3610.03600.40.06280.06250.60.07100.07080.80.05250.05231.000*u22d( ) 01d(0)(1)0uL uuxxxuu 与有限差分法（FDM）相比，有限差分法是对点的离散，得到一系列离散点上的解；而有限元（FEM）是对区域的离散（单元），尽管所求的是节点上的自由度，但它的解在场域中每一个点上都有定义。 所以，即是有限元节点上的解是精确的，有限元的整个解仍然是近似的。好的数据处理技术可以从该近似解中提取更精确的分析结果。 线性单元中，如果所求的自由度是电位j，单元中的电场 E是场量；节点上的 E 取邻近单元的平均。一些补充说明：关于有限元

22、的解 以二维静电场泊松方程的求解为例。以二维静电场泊松方程的求解为例。2. 有限元法基本原理与实施步骤：二维问题目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数Kij 和bi。diibN f,() di jijKN L N122222( )uuL ufxyuguhn 场域离散二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。节点：网格的交点，待求变量的设置点。该步骤需要记录的信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等)单元编号单元节点编号单元介质基函数 有限元采用分片逼近的思想，类似于一维情

23、况下使用折线逼近一条任意曲线。 使用分域基Ni，基函数的个数等于节点的个数；每个基函数Ni 的作用区域是与该节点 I 相关联的所有单元。112233( , )u x yNNN记住我们的任务寻找基函数对比312123( , )( , )( , )( , )x yx yx yu x yuuu( 1, 2, 3 )i 可得( , )iix yN基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：（1）是插值的；（2）（3）在相邻单元的公共边界上， Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。1 ()(,)0 ()ijjijN xyij312123( , )( , )( , )( , )x

24、yx yx yu x yuuu12312311112xxxyyy 1232311112xxxyyy 2131311112xxxyyy 3121211112xxxyyy 单元节点的编号按逆时针方向排列！其中，在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i 本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j 为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。()dijijKN L N计算系数阵 diibN f,() di jijKN L N 单元分析：单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。( )( )( )()deeeeijijKNL N系数阵元素： 当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子作用后值为0。 但是，在相邻单元的边界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对积分的贡献主要来自边界。 为考虑单元边界的影响，需要借助于格林公式：整体矩阵合成：iiijimiijijjmjjjmimjmmmmKKKubKKKubKKKub( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )eeeiiijimeeeejijjjmeeemimjmmKKKKKKKKKK( )( )( )( )d3eeeeeiibfNf 对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为媒质交界