第4章蒙特卡罗仿真方法

1、航空航天中的计算方法航空航天中的计算方法授课教师：陈琪锋授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院中南大学航空航天学院第第4章章 蒙特卡罗蒙特卡罗仿真方法仿真方法航空航天中的计算方法Page 32021-12-31内容提要内容提要4.1蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的基本概念基本概念4.2蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的理论依据理论依据4.3随机变量的随机变量的抽样抽样4.4随机模拟随机模拟结果的统计分析结果的统计分析参考资料：参考资料：1 闫晓东闫晓东,许志许志. 飞行器系统仿真实训教程飞行器系统仿真实训教程, 西北工业大学出西北工业大学出版社，版社，2013. Chp. 6.2 David L. Darmofa

2、l, Computational Methods in Aerospace Engineering (Lecture Notes), MIT, 2005. Chp. 15, 16.3 Averill M. Law, 仿真仿真建模与建模与分析分析 (Fourth Edition), 清华清华大学出版社大学出版社, 2009. Chp. 1.5.航空航天中的计算方法Page 42021-12-314.1 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的基本基本概念概念问题问题 干扰和偏差客观存在，无法消除：干扰和偏差客观存在，无法消除：风、推力误差、结构和装配误差风、推力误差、结构和装配误差如何分析干扰和偏差对飞行过程的

3、影响？如何分析干扰和偏差对飞行过程的影响？随机因素对系统运动影响的统计规律？随机因素对系统运动影响的统计规律？蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte Carlo）法）法 通过随机变量的统计试验（或随机模拟），求解问题近通过随机变量的统计试验（或随机模拟），求解问题近似解的数值方法，又似解的数值方法，又称统计试验法或随机称统计试验法或随机模拟法。模拟法。4.1 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的基本概念基本概念航空航天中的计算方法Page 52021-12-31基本思想：基本思想：对随机现象总体进行抽样，通过样本对随机现象总体进行抽样，通过样本的的仿真和分析，仿真和分析，对结果进行统计。对结果进行统计。基本过程：

4、基本过程：对影响系统的随机现象根据其概率分布产生随机样本对影响系统的随机现象根据其概率分布产生随机样本（抽样）；（抽样）；用确定性方法对样本进行分析；用确定性方法对样本进行分析；对随机样本分析结果进行统计，得到统计规律。对随机样本分析结果进行统计，得到统计规律。4.1 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的基本概念基本概念航空航天中的计算方法Page 62021-12-31蒙特卡罗法的基本步骤蒙特卡罗法的基本步骤（1）建立系统数学模型；）建立系统数学模型；（2）确定系统中的各种随机扰动因素及概率分布；）确定系统中的各种随机扰动因素及概率分布；（3）产生各随机扰动变量的抽样值；）产生各随机扰动变量的抽样值；（

5、4）将随机扰动变量的抽样值输入系统数学模型，进行）将随机扰动变量的抽样值输入系统数学模型，进行确定性仿真计算，得到扰动下系统运动过程；确定性仿真计算，得到扰动下系统运动过程；（5）重复（）重复（4），进行多次抽样仿真，得到系统运动过），进行多次抽样仿真，得到系统运动过程子样；程子样；（6）对子样仿真结果进行处理，得到系统运动的统计特）对子样仿真结果进行处理，得到系统运动的统计特征量。征量。4.1 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的基本概念基本概念航空航天中的计算方法Page 72021-12-314.2 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的理论依据的理论依据大数定理大数定理 如果随机变量如果随机变量X1，X2，XN独

6、立同分布，且具有有限独立同分布，且具有有限期望值期望值E(X)，则：，则：即随机变量即随机变量X的简单子样的算术平均值，当子样数的简单子样的算术平均值，当子样数N充分充分大时，以概论大时，以概论1收敛于它的期望值。收敛于它的期望值。子样均值与数学期望的偏差？子样均值与数学期望的偏差？4.2 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的理论依据理论依据 lim()1NNPXE X11NNiiXXN 航空航天中的计算方法Page 82021-12-31方差：方差：得：得：4.2 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的理论依据理论依据 2221212212NEXEXXXXN 22NEXN NE X 航空航天中的计算方法Page 92

7、021-12-31中心极限定理中心极限定理 如果随机变量如果随机变量X1，X2，XN独立同分布，且具有有限独立同分布，且具有有限非零的方差非零的方差2，则当，则当N充分大时，有：充分大时，有：其中其中称为置信度，称为置信度，1- 称为置信水平。称为置信水平。蒙特卡罗方法（均值）的误差：蒙特卡罗方法（均值）的误差： 0.50.050.003 t0.67451.9634.2 蒙特卡罗法蒙特卡罗法的的理论依据理论依据2202()12ttNtPXE XedtN N 查标准正态查标准正态分布表确定分布表确定精度提高一个数量级，试验次数精度提高一个数量级，试验次数N需增加需增加2个数量级个数量级,NXNN

8、航空航天中的计算方法Page 102021-12-314.3 随机变量随机变量的的抽样抽样4.3.1 随机数随机数的的产生产生随机数序列随机数序列0,1上服从均匀分布的随机变量的抽样序上服从均匀分布的随机变量的抽样序列。列。 用专门的算法和程序可在计算机上生成用专门的算法和程序可在计算机上生成伪随机数伪随机数。 平方取中法、线性同余法、加同余法、平方同余法平方取中法、线性同余法、加同余法、平方同余法确定的算法、给定初值（种子），确定的序列！确定的算法、给定初值（种子），确定的序列！需对伪随机数进行需对伪随机数进行独立性独立性、均匀性等统计性质的检验、均匀性等统计性质的检验。周期长、统计性质好的

9、伪随机数，用于模拟试验造成的周期长、统计性质好的伪随机数，用于模拟试验造成的误差不大。误差不大。 4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样航空航天中的计算方法Page 112021-12-314.3.2 离散随机变量离散随机变量的抽样的抽样 设设随机变量随机变量X，其概率分布为：，其概率分布为： 可按轮盘赌的方式可按轮盘赌的方式，由产生的随机数序列进行，由产生的随机数序列进行抽样抽样。 令：令： 依次产生随机数依次产生随机数ri，若，若 则第则第i次抽样时随机变量次抽样时随机变量X的抽样值为的抽样值为xk。 4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样 1,1,2,1kknkkP Xxpknp (0)(

10、)10,1,2,kkjjPPpkn (1)( ),1,2,kkiPrPkn 航空航天中的计算方法Page 122021-12-314.3.3 连续随机变量连续随机变量的抽样的抽样直接法（反变换法）直接法（反变换法） 0,1上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量R的分布函数：的分布函数： 连续随机变量连续随机变量X的分布函数的分布函数为为F(x)是是值域在值域在0,1上单调增上单调增的连续函数，利用的连续函数，利用ri得到得到X的抽样值：的抽样值： 函数函数F-1(R)可显示表示时，才能应用。可显示表示时，才能应用。 4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样0,0( ),011,1rG r

11、rrr 1( )iixFr 航空航天中的计算方法Page 132021-12-31例：指数分布随机变量的生成例：指数分布随机变量的生成 参数为参数为a的指数分布的概率密度函数：的指数分布的概率密度函数： 累积分布函数累积分布函数： 反函数：反函数： 用随机数产生服从指数分布的随机变量用随机数产生服从指数分布的随机变量X的抽样：的抽样：4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样( ),0axf xaex 0( )( )1,0 xaxF xf t dtex 11( )ln(1),0,1Frrra 1ln ,0,1xrRUa 航空航天中的计算方法Page 142021-12-31函数变换函数变换法法 已知

12、已知随机变量随机变量 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为 。 随机变量的变换随机变量的变换 若逆变换存在且具有一阶连续若逆变换存在且具有一阶连续偏导数，即偏导数，即4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样 1112221212,nnnnnYgXXXYgXXXYgXXX 12,nXXX 12,nfxxx 1111212212112,nnnnnXgY YYXgY YYXgY YY 航空航天中的计算方法Page 152021-12-31 则随机变量则随机变量 的联合概率密度函数的联合概率密度函数为：为：4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样1111222212120nnnnnnXXXYYYXXXYY

13、YJXXXYYY 12,nY YY 11111221212,nnnnfgyyygyyygyyy航空航天中的计算方法Page 162021-12-31例：正态分布随机变量的生成例：正态分布随机变量的生成 设设X，Y独立服从标准正态分布独立服从标准正态分布： 变换：变换： 随机变量随机变量?和和的分布函数：的分布函数： 用反变换法得用反变换法得?和和的抽样：的抽样： 得到随机变量得到随机变量X，Y的抽样：的抽样：4.3 随机变量随机变量的的抽样抽样 2221( , )2xyf x ye cossinxy 22( )1,( )2FeF 122ln,2rr 22221( , )( ) ( )21( )

14、,( )2fefffef 12122lncos(2)2lnsin(2)xrryrr 航空航天中的计算方法Page 172021-12-314.4 随机随机模拟结果的统计分析模拟结果的统计分析随机模拟试验随机模拟试验的目的是获得所研究的随机现象的的目的是获得所研究的随机现象的统计特统计特性。性。 把所要研究的随机现象用随机变量把所要研究的随机现象用随机变量X表示，表示，N次随机模拟次随机模拟试验试验得到的结果（抽样）序列为得到的结果（抽样）序列为 。 X的数学期望的数学期望和方差分别用样本均值和样本方差和方差分别用样本均值和样本方差来统计：来统计：4.4 随机随机模拟结果的统计分析模拟结果的统计

15、分析12,Nxxx 1221111NiiNiixxNSxxN 航空航天中的计算方法Page 182021-12-31方差方差的的估值为估值为： 数学期望的置信区间（置信水平数学期望的置信区间（置信水平为为1- ）为：为： 事件概率的估计为事件概率的估计为： 其中其中m为为N次试验中事件出现的次数。次试验中事件出现的次数。 4.4 随机随机模拟结果的统计分析模拟结果的统计分析 22211(1)NxiiSxxNN N ,SSxtxtNNxmpN 航空航天中的计算方法Page 192021-12-31作业：作业：考虑炮弹在二维铅锤平面内的运动，假设地面考虑炮弹在二维铅锤平面内的运动，假设地面为一为一水平水平面，重力加速度为面，重力加速度为9.8m/s2，大气密度为大气密度为1.29kg/m3。 炮弹炮弹质量质量30kg，阻力系数为，阻力系数为0.1，迎风截面积为，迎风截面积为0.05m2。初速。初速度为度为95,105m/s区间的均匀分布，发射角（初速度方向与区间的均匀分布，发射角（初速度方向与水平面的夹角）服从均值为水平面的夹角）服从均值为40deg、均方差为、均方差为0