2018年全国高中数学联合竞赛(A)

1、实用标准文档2018年全国高中数学联赛竞赛1、 填空题：本大题共 8小题，每小题8分，满分64分。1 .设集合 A =1,2,3, 99 , B =2x|xw A, C =x|2xw A,贝 U Bp|C 的元素个数为.2 .设点P到平面口的距离为 阴，点Q在平面口上，使得直线PQ与口所成 角不小于30。且不大于60则这样的点 Q所构成的区域的面积为3 .将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f ,贝U abc+ def是偶数的概率为 .224 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆0冬+与=1但,>0)的左、右焦点分别 a b是Fi、F2,椭圆C的弦ST与UV分别平行

2、于x轴与y轴，且相交于点P。已知线段PU,PS, PV,PT的长分别为1,2,3,6 ,则APFR的面积为 .5 .设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足f(n)=1,f(2n)=2,则不等式组11 " x- 2的解集为1< f(x) <26 .设复数z满足|z|=1,使得关于x的方程zx2+2Zx + 2=0有实根，则这样的 复数z的和为.7 .设。为AABC的外心，若 AO = AB + 2AC ,贝U sin/BAC 的值为 .8 .设整数数列 劣但,a10满足9。=3a1, a2 +a8 =2a5 ,且ai + -1 +ai,2

3、+aj, i =1,2,9 ,则这样的数列的个数为。文案大全2、 解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 .(本题满分16分)已知定义在R片的函数f(x)为110g 3 x -1|,0 :二 x <9,f(x), 4 - . x, x 9设a,b,c是三个互不相同的实数，满足 f (a) = f (b) = f (c),求abc的取值范围。10 .（本题满分20分）已知实数列 同e2超3, 满足：对任意正整数n,有a"2Sn - aj = 1 ,其 中且表示数列的前n项和。证明：1）对任意正整数n ,有an <2而；2）对任意正整数

4、n ,有anan书<1。11 .在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y2 =4x的过点F (1,0)的弦，AOB的外接圆交 抛物线于点P (不同于点O,A,B)o若PF平分/APB,求|PF|的所有可能值。加试（A卷）（本题满分40分）设n是正整数，明®,an,bi,b2,bn , A,B均为正 实数，满足a助通4A,i =1,2,，n ,且b1b2bn b- oa1a2 an A（本题满分40分）如图，；：ABC为锐角三角形，AB； AC , M为BC 边的中点，点D和E分别为AABC的外接圆BAC和BC的中点，F为AABC 的内切圆在 AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上， 满足 NB_LAB。证明：若BN=EM,则DF_LFG。（答题时请将图画在答卷纸上）三、（本题满分50分）设n,k,m是正整数，满足3,且nvm筝n。设A是1,2,m的n元子集。证明：区间（0,。）中的每个整数均可表k -17K为 aa 其中 a,ar A o四、（本题满分50分）数列an定义如下：ai是任意正整数，对